第1章邏輯代數(shù)基礎

自動化學院電子教學中心黃曉梅huangxm@

數(shù)字電子技術基礎

數(shù)字電路與系統(tǒng)設計2數(shù)字電子技術基礎

數(shù)字電路與系統(tǒng)設計教材：《數(shù)字電子技術基礎》（機械工業(yè)出版社，王友仁主編）基本信息：課程類別：必修課自然班號：0312501~502,1512201~202學時安排：理論課(56學時)授課時間(1~19周)星期二，第3,4節(jié)，教室2104；星期四，第1,2節(jié)，教室2504；1~5，9~11，15~16，18~19周星期五，第3,4節(jié)，教室2104；1~4周課程簡介學習參考書1.清華大學電子學教研組編，閻石主編.數(shù)字電子技術基礎(第五版).北京：高等教育出版社，2006.2.華中科技大學電子技術課程組編，康華光主編.電子技術基礎數(shù)字部分(第五版).北京：高等教育出版社，2006.3.王毓銀主編.數(shù)字電路邏輯設計(第2版).北京：高等教育出版社，2005.4.臧春華，沈嗣昌主編.數(shù)字設計引論(第2版).北京：高等教育出版社，2010.5.電子工程手冊編委會等編.中外集成電路簡明速查手冊－TTL、CMOS，電子工業(yè)出版社5

技術基礎課程。是學習計算機硬件技術、接口技術等課程的基礎。既有豐富的理論體系，又有很強的實踐性。一、課程特點6數(shù)學工具——邏輯代數(shù)基礎基本單元——集成門電路記憶單元——觸發(fā)器兩類電路——組合、時序邏輯電路信號——脈沖波形產(chǎn)生與變換接口——數(shù)/模和模/數(shù)轉換器其他——半導體存儲器、可編程邏輯器件、數(shù)字系統(tǒng)設計與測試二、課程內(nèi)容7（1）在具體的數(shù)字電路，與分析和設計方法之間，以分析和設計方法為主；（2）在具體的設計步驟，與所依據(jù)的概念和原理之間，以概念和原理為主；（3）在集成電路的內(nèi)部工作原理，和外部特性之間，以外部特性為主。三、學習重點8

第一章邏輯代數(shù)基礎數(shù)字電路與系統(tǒng)設計9第一章邏輯代數(shù)基礎1.1概述1.2數(shù)制與碼制1.3基本邏輯運算1.4邏輯代數(shù)基本定理及常用公式1.5邏輯函數(shù)及其表示方法1.6邏輯函數(shù)的化簡101.1

概述1.數(shù)字量與模擬量的概念數(shù)字信號特點：數(shù)字量的變化在時間上和數(shù)值上都是離散的。數(shù)字信號在電路中常表現(xiàn)為突變的電壓或電流。504030201050t(ms)V(V)圖1.1.1典型的數(shù)字信號111.1

概述1.數(shù)字量與模擬量的概念模擬信號：在時間上和數(shù)值上連續(xù)的。數(shù)字信號：在時間上和數(shù)值上是離散的。uu模擬信號波形數(shù)字信號波形tt對模擬信號進行傳輸、處理的電子線路稱為模擬電路。對數(shù)字信號進行傳輸、處理的電子線路稱為數(shù)字電路。

有兩種邏輯體制：正邏輯體制規(guī)定：高電平為邏輯1，低電平為邏輯0。

負邏輯體制規(guī)定：低電平為邏輯1，高電平為邏輯0。如果采用正邏輯，圖1.1.1所示的數(shù)字電壓信號就成為下圖所示邏輯信號。

2、正邏輯與負邏輯

數(shù)字信號是一種二值信號，用兩個電平（高電平和低電平）分別來表示兩個邏輯值（邏輯1和邏輯0）。132.數(shù)字電路的分類（1）據(jù)電路結構和工作原理

組合邏輯電路：無記憶功能，其輸出僅取決于當前輸入。時序邏輯電路：有記憶功能，其輸出由當前輸入和電路狀態(tài)共同決定。（2）按集成度

SSI、MSI、LSI。（3）按制作工藝

TTL、CMOS。3、數(shù)字電路的優(yōu)點(1)工作可靠性高、抗干擾能力強：數(shù)字電路其信號是用高（1）、低（0）電平來描述的，大大提高了電路工作的可靠性及抗噪聲干擾能力。(2)集成度高：數(shù)字電路采用二進制，基本單元電路的結構簡單，對電路元件的精度要求不高，有利于高度集成。(3)數(shù)字集成電路功耗低、通用性強、成本低、電路簡單。(4)保密性好：對數(shù)字信息進行編碼加密處理簡單，且難于被破解。(5)數(shù)字電路能夠?qū)斎氲臄?shù)字信號進行各種算術運算和邏輯運算，具有一定的“邏輯思維”能力，易于實現(xiàn)各種控制和決策系統(tǒng)。151.2數(shù)制和碼制數(shù)制＝進位制＋基數(shù)＋位權（1）進位制：用多位數(shù)碼表示數(shù)時，從低位到高位的進位規(guī)則。如：9+1=10（2）基數(shù)：進位制中單位代碼所能表達的最大數(shù)加1，即逢幾進一。（3）位權：數(shù)的每一位的大小都對應著該位上的數(shù)碼乘上一個固定的數(shù)，這個固定的數(shù)就是這一位的位權。=3102+3101+

3100+310-1+310-2333.331.2.1

幾種常用的計數(shù)制161.十進制(Decimal)=3102+3101+

3100+310-1+310-2權權權權權基數(shù)10，逢十進一；有0-9十個數(shù)碼；第i位的位權為10i。

(333.33)10(D)10=(kn-1k1k0.k-1k-m)10=kn-1×10n-1++k1×101+k0×100

+k-1×10-1++k-m×10-m特點：172.

二進制(Binary)特點：a.基數(shù)2，逢二進一，即1+1=10

b.有0-1兩個數(shù)碼

c.第i位的位權為2i。(D)2=(kn-1k1k0.k-1k-m)2=kn-1×2n-1++k1×21+k0×20

+

k-1×2-1+k-m×2-m3.十六進制(Hexadecimal)與八進制（Octal）18a.基數(shù)R，逢R進一b.有R個數(shù)碼c.第i位的位權為Ri。(D)R=(kn-1k1k0.k-1k-m)2=kn-1×Rn-1++k1×R1+k0×R0

+k-1×R-1+k-m×R-m4.

任意進制19201.2.2.數(shù)制間的相互轉換十進制與非十進制間的轉換非十進制間的轉換十進制非十進制非十進制十進制二進制八、十六進制八、十六進制二進制211.非十進制轉成十進制方法：冪級數(shù)展開，按十進制求和(F8C.B)16=

F×162+8×161+C×160+B×16-1=

3840+128+12+0.6875=3980.6875例1.2.1：22例1.2.2：二、八、十六進制轉換為十進制(111.11)8＝1×82

＋1×81

＋1×80＋1×8－1

＋1×8－2

＝(73.140625)10(111.11)16＝1×162＋1×161＋1×160＋1×16-1＋1×16-2

＝(273.06640625)10(111.11)2＝1×22＋1×21＋1×20＋1×2－1

＋1×2－2

＝(7.75)1023整數(shù)部分轉換：

除底取余法：用目標數(shù)制的基數(shù)（R）連續(xù)去除十進制數(shù)，直至余數(shù)為0。先得到的余數(shù)為低位，后得到的余數(shù)為高位。2.

十進制轉換成非十進制整數(shù)部分：除底取余∴(44)D＝(101100)2例：將十進制數(shù)44轉換成二進制。25小數(shù)部分轉換：

乘底取整法：小數(shù)連續(xù)乘以目標數(shù)制的基數(shù)（R），先得到的整數(shù)為高位，后得到的為低位。終止：小數(shù)部分為“0”，或滿足要求精度。26小數(shù)部分：乘底取整例:將十進制數(shù)0.375轉換成二進制?！?0.375)D＝(0.011)2故(44.375)D＝(101100.011)2采用基數(shù)連除、連乘法，可將十進制數(shù)轉換為任意的N進制數(shù)。273.

二進制轉換成八、十六進制（1）

二進制轉換為八進制

以小數(shù)點為起點，將整數(shù)和小數(shù)部分每三位分為一組，不足三位的加“0”補足，然后每組用等值的八進制碼替代。例1.2.3：11010111.0100111B=?O

（11010111.0100111）

B=（327.234）O11010111.0100111小數(shù)點為界00072323428（2）

二進制轉換為十六進制

每四位分為一組。例1.2.4：111011.10101B=?H

（111011.10101）

B=（3B.A8）

H111011.1010100000B3A83.

二進制轉換成八、十六進制294.

十六、八進制轉換成二進制方法：將十六、八進制數(shù)的每一位用等值的4、3位二進制數(shù)代替即可。例1.2.5

將下列十進制數(shù)轉換成非十進制數(shù)：

(89.875)10=()2=()8=()161011001.111131.759.E301.2.4幾種常用的編碼制

數(shù)碼不僅可以表示數(shù)量的不同大小，還可表示不同事物的代號——代碼。編制代碼時遵循的一定規(guī)則——碼制。31

常用的二值編碼自然二進制編碼二進制原碼、補碼和反碼二—十進制碼格雷碼

ASCII碼321.自然二進制編碼十進制數(shù)四位自然二進制碼十進制數(shù)四位自然二進制碼00000810001000191001200101010103001111101140100121100501011311016011014111070111151111用0、1符號表示數(shù)值大小的一種編碼方法333.二—十進制碼

二—十進制碼－－用二進制碼表示十進制的0～9十個數(shù)碼，簡稱BCD（BinaryCodedDecimal）碼，至少要4位二進制碼。

有權碼有權碼表示十進制數(shù)碼：D=b3w3+b2w2+b1w1+b0w0+c偏權系數(shù)c

=

0時為有權碼。

8421BCD（NBCD）碼34

無權碼

其它有權碼

余3碼余3碼中有效的十組代碼為0011～1100代表十進制數(shù)0--92421碼、5421碼、5211碼3536

多位十進制數(shù)的表示方法

n位十進制數(shù)由n組BCD碼構成例1：例2：(64)16=(？)2

=(

？)8421BCD01100100000100000000276.8↓↓↓↓010011101101000（276.8）10=（？）NBCD（276.8）10=（001001110110.1000）NBCD378421BCD碼的加法若某一十進制位的計算結果產(chǎn)生進位或產(chǎn)生非法碼要做加6修正，修正時產(chǎn)生新的非法碼要再做加6修正。384.格雷碼39ASCII碼--是一種常用的表示各種符號的編碼，其全稱是AmericanStandardCodeforInformationInterchange,即美國信息交換標準碼。

ASCⅡ碼由7位二進制代碼組成，可表示128個字符，包括0～9十個數(shù)碼、英文大小寫字母、標點和控制的附加符。

30H～39H表示0～9，

41H～5AH表示A～Z。5.ASCII碼401.3基本邏輯運算

布爾代數(shù)——描述客觀事物邏輯關系的數(shù)學方法。廣泛應用于解決開關電路和數(shù)字邏輯電路的分析與設計。別名：開關代數(shù)、邏輯代數(shù)。411.3

基本邏輯運算1.3.1

基本邏輯運算與邏輯或邏輯非邏輯42只有決定某一事件的所有條件全部具備，這一事件才能發(fā)生邏輯表達式L=AB=AB與邏輯真值表與邏輯關系表1.與邏輯開關A開關B燈L斷斷斷合合斷合合滅滅滅亮ABL101101000010ABL圖形符號與邏輯運算符，也有用“”、“∧”、“∩”、“&”表示43邏輯表達式L=A+B或邏輯真值表2.或邏輯1圖形符號只有決定某一事件的原因有一個或一個以上具備，這一事件才能發(fā)生ABL101101001110ABL443.非邏輯非邏輯真值表AL0110邏輯表達式F=A當決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生圖形符號AL145L與非邏輯運算L=AB或非邏輯運算L=A+B與或非邏輯運算L=AB+CD1.3.2

常用復合邏輯運算LL46異或運算ABL101101001100ABL=1圖形符號ABL101101000011同或運算邏輯表達式L=AB=AB

邏輯表達式L=AB=AB+AB=ABL圖形符號⊙=AB+AB47常用復合邏輯運算481.4邏輯代數(shù)的基本定理及常用公式1.4.1邏輯代數(shù)的基本定律11=100=001=10=00+0=00+1=1+0=11+1=1公理

A1=AA+0=A0-1律A0=0A+1=1自等律重疊律AA=AA+A=AAA=0A+A=1互補律分配律反演律交換律結合律還原律AB=BAA+B=B+A(AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)AB=A+BA+B=ABA=A50證明方法用真值表證明反演律ABABA+BABA+B000110111110111010001000AB=A+BA+B=AB利用真值表511.4.2

邏輯代數(shù)中的基本規(guī)則1.代入規(guī)則

在任何一個邏輯等式中，如果將等號兩邊所出現(xiàn)的某一變量的地方，都代之以一個表達式，則等式仍然成立。例1.4.1

求證A(B+C+D)=AB+AC+AD。解：根據(jù)分配律可知：A(B+E)=AB+AE用代入規(guī)則，將等式兩邊的E都用C+D代替，則A(B+C+D）=AB+A(C+D)

=AB+AC+AD522.反演規(guī)則對邏輯函數(shù)式Y，做如下處理：“·”換成“+”,“+”換成“·”;

“0”換成“1”，“1”換成“0”；

原變量換成反變量，反變量換成原變量。

得到的新函數(shù)式稱為原函數(shù)式Y的反函數(shù)式。注：①遵守原運算優(yōu)先次序；②不屬于單個變量上的反號應保留不變。53例1.4.1

已知Y=A(B+C)+CD,求。解：根據(jù)反演定理可寫出：例1.4.2

已知Y=,求。解：根據(jù)反演定理可寫出：543.對偶規(guī)則對邏輯函數(shù)式Y，做如下處理：“·”換成“+”,“+”換成“·”;“0”換成“1”，“1”換成“0”。

得到的新函數(shù)式稱為原函數(shù)式Y的對偶式。原等式與其對偶式互為對偶式。

兩函數(shù)式相等，則其對偶式也相等例1.4.3：其對偶式551.4.3邏輯代數(shù)中的幾個常用公式公式1公式2公式3公式4推論例：公式4證明成立等式右邊571.6邏輯函數(shù)的化簡

意義：表達式最簡→電路最簡→節(jié)省器件，降低成本，提高可靠性。最簡形式：函數(shù)式中乘積項個數(shù)不能再減少，且每項中相乘的因子不能再減少。

1.6.1化簡的意義58

邏輯函數(shù)常見形式：1.6.1化簡的意義

最常見：與-或表達式591.6.2代數(shù)化簡法1.并項法

運用公式將兩項合并為一項，消去一個變量。例1.6.1

試用并項法化簡下列邏輯函數(shù)：解：601.6.2代數(shù)化簡法2.

吸收法

運用公式、消去多余的與項。例1.6.2

試用吸收法化簡下列邏輯函數(shù)：解：611.6.2代數(shù)化簡法3.

消去法用消去多余的因子。例1.6.3

試用消項法化簡下列邏輯函數(shù)：（1）（2）解：（1）（2）621.6.2代數(shù)化簡法4.

配項法例1.6.4

試用配項法化簡下列邏輯函數(shù)：

運用公式、消去多余的與項。解：63綜合應用例1.6.5

試化簡邏輯函數(shù)：解：64綜合應用例1.6.6

試用配項法化簡邏輯函數(shù)：解：651.5邏輯函數(shù)及其表示方法

若輸入邏輯變量A、B、C…的取值確定，輸出邏輯變量Y的值也唯一確定，則稱Y是A、B、C的邏輯函數(shù)，寫作：

Y=F（A，B，C…）1.5.1邏輯函數(shù)的定義66（1）邏輯真值表（2）邏輯函數(shù)式（3）邏輯圖（4）卡諾圖（5）波形圖1.5.2邏輯函數(shù)的常用的表示方法671.邏輯真值表例1.5.1：舉重裁判電路——三人表決電路，結果按“少數(shù)服從多數(shù)”的原則決定，主裁判必須同意，試建立該邏輯函數(shù)。1.5.2邏輯函數(shù)的常用的表示方法681.邏輯真值表輸入輸出YABC000000100100011010001011110111113.

邏輯圖2.

邏輯函數(shù)式691.邏輯真值表輸入輸出YABC000000100100011010001011110111113.

邏輯圖2.

邏輯函數(shù)式4.

波形圖5.卡諾圖6.硬件描述語言701.最小項

1.5.3邏輯函數(shù)的卡諾圖（1）概念最小項是邏輯函數(shù)自變量的乘積項，特點:①每一項都含有與函數(shù)的自變量個數(shù)相同的變量因子；②每個自變量都以原變量或反變量的形式作為一個因子在乘積項中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。71三變量最小項的編號表最小項使最小項為1的變量取值對應的十進制數(shù)編號ABC00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m7721.最小項

1.5.3邏輯函數(shù)的卡諾圖（2）性質(zhì)

①對任意一個最小項，只有一組變量的取值使其值為1；②對變量的任一組取值，任意兩個不同的最小項的乘積為0；③對變量的任一組取值，全體最小項之和為1。732.邏輯函數(shù)的最小項表達式1.5.3邏輯函數(shù)的卡諾圖

定義：將所有使函數(shù)值為1的最小項“或”在一起構成的與或式。任何邏輯函數(shù)式轉化成唯一的最小項表達式。舉重裁判電路——三人表決電路743.卡諾圖1.5.3邏輯函數(shù)的卡諾圖

將n變量的最小項各用一個小方塊表示，并使邏輯相鄰的最小項幾何位置也相鄰，所得到的圖形。ABABBAABAB1010ABC01000111100001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCD二變量卡諾圖三變量卡諾圖四變量卡諾圖754.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示1.5.3邏輯函數(shù)的卡諾圖

（1）最小項表達式→卡諾圖

例1.5.2

畫出以下邏輯函數(shù)的卡諾圖：

解：764.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示1.5.3邏輯函數(shù)的卡諾圖解：

（2）邏輯函數(shù)→卡諾圖

例1.5.2

畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。

方法一：邏輯函數(shù)→最小項表達式→卡諾圖方法二：直接填1.將函數(shù)化為最小項之和的形式2.畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖3.找出可以合并的最小項4.選取化簡后的乘積項。選取的原則為：（1）這些乘積項應包含函數(shù)式中所有的最小項（應覆蓋卡諾圖中所有的1）（圈要全）

（2）所用的乘積項數(shù)目最少。也就是可合并的最小項組成的圈數(shù)目最少。（圈盡量少）

（3）每個乘積項包含的因子最少。也就是每個可合并的最小項圈中應包含盡量多的最小項。（圈盡量大）1.6.3卡諾圖化簡法

化簡步驟：781.6.3卡諾圖化簡法例1.6.7

試用用卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)：解：（1）卡諾圖（2）畫包圍圈（3）表達式791.6.3卡諾圖化簡法例1.6.8

試用卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)：解：（1）卡諾圖（2）畫包圍圈（3）最簡與-或表達式801.6.3卡諾圖化簡法例1.6.9

試用用卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)：解：例

例：將F(A、B、C、D)化為最簡與非—與非式解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBCBDABC化簡得：最簡與非—與非式為：例畫0可得Y，當0很少時，可以通過畫0來求Y。841.6.4具有無關項的邏輯函數(shù)化簡

定義：受實際問題約束，某些輸入變量的取值組合不允許出現(xiàn)，或出現(xiàn)后邏輯值任意。這樣的取值組合所對應的最小項稱為無關項。無關項也稱任意項或約束項。

表示方法：帶有無關項的邏輯函數(shù)可表示為最小項與無關項的和。

化簡方法：利用無關項可以當0也可以當1（可圈可不圈）的特點，將函數(shù)畫至最簡。例：在十字路口有紅綠黃三色交通信號燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮