第1章邏輯代數基礎周開利版

2023/2/6第1章邏輯代數基礎2023/2/6本章要點

數字電路以二進制信號作為其基本工作信號，與邏輯代數以0、1表示真假剛好一致，從而邏輯代數成為數字電路分析和設計的重要工具。本章主要講述邏輯代數的基本概念、基本邏輯運算、邏輯關系的表示及其相互轉換的方法、邏輯代數的基本公式和定理、邏輯函數的公式化簡和卡諾圖化簡方法。2023/2/6內容提綱第一講：

1.1概述

1.2基本邏輯運算

1.3邏輯函數的表示方法第二講：

1.4邏輯代數的公式和定理

1.5邏輯函數式及其轉換方法

1.6邏輯函數的化簡——公式法第三講：

1.6邏輯函數的化簡——卡諾圖法化2023/2/61.1概述圖1.1串聯(lián)開關電路表1-1串聯(lián)開關電路功能表輸入輸出開關A開關B燈Y斷開斷開斷開閉合閉合斷開閉合閉合滅滅滅亮問題引入：

圖1.1所示電路，開關A、B在不同開關狀態(tài)下燈Y亮滅的情況如何？

問題：開關和燈分別有幾種狀態(tài)？Back2023/2/61.1概述設開關A、B分別用變量A和B表示，開關斷開與閉合的狀態(tài)分別用0和1表示；燈Y以變量Y表示，分別以0和1表示燈滅與亮的狀態(tài)，則表1-1可以轉換為表1-2表示。表1-1串聯(lián)開關電路功能表輸入輸出開關A開關B燈Y斷開斷開斷開閉合閉合斷開閉合閉合滅滅滅亮表1-2輸入變量輸出變量A

BY0011010100012023/2/61.1概述1.1.1邏輯變量類似“斷開”與“閉合”、“亮”與“滅”、“是”與“否”、“有”與“無”、“高”與“低”、“真”與“假”等只有2種對立狀態(tài)（邏輯屬性）的變量，稱之為邏輯變量。它只能取“0”和“1”兩個值，且無大小、正負之分。1.1.2邏輯與邏輯運算邏輯：事物間的因果關系。邏輯運算：邏輯狀態(tài)按照指定的某種因果關系進行推理的過程。問題：如何進行邏輯運算？2023/2/61.1概述1.1.3邏輯代數（布爾代數）

邏輯代數是描述客觀事物邏輯關系的數學方法，是進行邏輯分析與綜合的數學工具。邏輯代數是1847年由英國數學家喬治·布爾（GeorgeBoole)首先創(chuàng)立的，所以通常人們又稱邏輯代數為布爾代數。邏輯代數與普通代數有著不同概念，邏輯代數表示的不是數的大小之間的關系，而是邏輯的關系，它僅有兩種狀態(tài)，即邏輯值只有“0”和“1”兩種取值。這和數字電路中采用“1”和“0”表示高低電平的方式不謀而合，因此，邏輯代數被廣泛應用于開關電路和數字電路的設計中，成為分析和設計數字系統(tǒng)的數學基礎。數字電路也被稱為數字邏輯電路。2023/2/61.1概述1.1.5邏輯函數表1-2圖1-1電路真值表輸入變量輸出變量A

BY0011010100011.1.4真值表表1-2中列出了輸入變量所有可能的取值組合所對應的輸出變量的值，這種描述輸入、輸出變量邏輯關系的圖表，稱之為真值表。輸出和輸入（邏輯）變量之間的函數關系。Y=F（A，B，C，…）2023/2/61.1概述1.1.6邏輯表達式描述邏輯關系的表達式稱之為邏輯表達式。對于表1-2：Y=AB=AB式中，符號“”表示邏輯乘，可省略。可以看出，只有當A、B同時為1時，函數Y才為1。表1-2圖1-1電路真值表輸入變量輸出變量A

BY001101010001決定某一事件的全部條件都具備時，該事件才會發(fā)生。這樣的因果關系稱為“與邏輯（AND）”，它是3種最基本的邏輯運算之一?！坝?出0，全1出1”2023/2/61.1概述1.1.7邏輯符號ABY圖1.2與邏輯符號(a)國標符號(b)國外符號至此，我們介紹了3種邏輯函數的表示方法：真值表、邏輯表達式、邏輯符號。2023/2/61.2基本邏輯運算圖1.3并聯(lián)開關電路

練習：如圖1.3所示電路，請寫出電路功能表、真值表、邏輯表達式。開關A開關B燈Y斷開斷開滅斷開閉合亮閉合斷開亮閉合閉合亮表1-3并聯(lián)開關電路功能表1.2.1或邏輯（OR）ABY000011101111表1-4或邏輯真值表

Back2023/2/6當決定某一事件的所有條件中，只要有一個具備，該事件就會發(fā)生，這樣的因果關系叫做或（OR）邏輯?；蜻壿嫳磉_式：

Y=A+B（邏輯加）或邏輯符號：ABY“有1出1，全0出0”1.2基本邏輯運算(a)國標符號(b)國外符號2023/2/61.2基本邏輯運算

練習：如圖1.4所示電路，請寫出電路功能表、真值表、邏輯表達式。圖1.4電路圖1.2.2非邏輯（NOT）表1-5電路功能表開關A燈Y斷開亮閉合滅表1-6非邏輯真值表AY01102023/2/6非邏輯表達式：

Y=A=A’（邏輯非）非邏輯符號：AY當某一條件具備了，事情不會發(fā)生；而此條件不具備時，事情反而發(fā)生。這種邏輯關系稱為非邏輯或邏輯非。1.2基本邏輯運算問題：如何用分立元件構成與、或、非門電路？與(AND)、或(OR)、非(NOT)是邏輯代數中三種基本的邏輯運算，以這三種邏輯運算，可以實現任意復雜的邏輯函數。(a)國標符號(b)國外符號2023/2/6仿真：AND_Gate(Diode).ewb表1-7二極管與門電路功能表輸入（V）輸出（V）VA

VBVY000+5+50+5+5（+5V）（1）二極管與門電路000+51.2基本邏輯運算1.2.3分立元件構成的與、或、非門電路2023/2/6可以看出，輸入、輸出電壓只有0V和+5V兩個值，如果分別以“0”和“1”表示，則可得到表1-8所示二極管與門電路的真值表。表1-8二極管與門電路真值表輸入輸出A

BY000010100111邏輯表達式：

Y=AB1.2基本邏輯運算2023/2/6仿真：OR_Gate(Diode).ewb

表1-9二極管或門電路功能表輸入（V）輸出（V）VA

VBVY000+5+50+5+5（2）二極管或門電路0+5+5+51.2基本邏輯運算2023/2/6表1-10二極管或門電路真值表輸入輸出A

BY000010100111邏輯表達式：Y=A+B1.2基本邏輯運算2023/2/6仿真：NOT_Gate(BJT).ewb表1-11三極管非門電路功能表輸入（V）輸出（V）VAVY0+5（3）三極管非門電路0+5表1-12三極管非門電路真值表輸入輸出AY0110非邏輯表達式：

Y=A=A’1.2基本邏輯運算2023/2/6（1）與非表1-13真值表XYFXYF001101011110&XYF1.2.4復合邏輯邏輯符號1.2基本邏輯運算(a)國標符號(b)國外符號2023/2/6XYF001101011000XYF（2）或非XYF≥1表1-14真值表邏輯符號1.2基本邏輯運算(a)國標符號(b)國外符號2023/2/6（3）異或XYF001101010110BAF=1BAF表1-15真值表邏輯符號1.2基本邏輯運算(a)國標符號(b)國外符號2023/2/6XYF001101011001（4）同或BAFBAF=表1-16真值表邏輯符號1.2基本邏輯運算(a)國標符號(b)國外符號2023/2/6（5）與或非1.2基本邏輯運算國標符號2023/2/61.2基本邏輯運算各組均有0出1；某組全為1出0相同出1相異出0相同出0相異出1有1出0全0出1有0出1全1出0邏輯規(guī)律100101101000111000011011

Y

Y

Y

YAB真

值表（真值表略）邏輯符號函數式與或非同或異或或非與非⊙表1-17復合邏輯簡表2023/2/61.3邏輯函數的表示方法邏輯函數可以由真值表、邏輯函數式和邏輯圖表示外，還可以由波形圖和卡諾圖等方式表示。既然它們都是表示同一種邏輯關系，顯然可以互相轉換。（1）邏輯圖真值表ABCY00000101001110010111011100010101真值表開關電路邏輯圖在真值表中，根據輸入變量的取值和邏輯圖中的邏輯運算關系，對應寫出輸出變量的邏輯值即可。仿真：LogicConversions.ewbBack2023/2/61.3邏輯函數及其表示方法方法2：在邏輯圖中，按列列出所有輸入變量可能的取值，根據邏輯運算關系，逐級運算，得到輸出變量的邏輯值，將其填入真值表即可。X00001111Y00110011Z0101010111001111111100000011001110101010010001010010000001100101

F1100110000001111010101012023/2/61.3邏輯函數及其表示方法000001010011100101110111X

Y

Z0110010101234567FRow真值表2023/2/6（2）真值表邏輯表達式ABCY00000101001110010111011100010101真值表（1）找出真值表中使輸出函數Y為1的輸入變量取值的組合；（2）每組輸入變量取值組合對應一個乘積項，這個乘積項包含所有輸入變量，取值為1的以原變量表示，取值為0的以反變量表示；（3）將這些乘積項相加，就得到邏輯函數的表達式。1.3邏輯函數及其表示方法2023/2/6（3）邏輯表達式邏輯電路圖根據邏輯表達式，按先“與”后“或”的運算順序，用邏輯符號表示并正確連接起來，即可畫出其邏輯圖或叫邏輯電路。具有相同的邏輯功能、且真值表是相同，但邏輯表達式可能不同，實現電路也不同。1.3邏輯函數及其表示方法2023/2/6（4）邏輯表達式真值表已知邏輯式，只需要把輸入變量取值的所有組合狀態(tài)代入表達式中，算出邏輯函數值，并將其列成表格，就可得邏輯函數的真值表。一般，輸入變量取值組合按對應的二進制數從小到大排列。111011110110010000100000000001010011100101110111

YABCCACB

由邏輯式填真值表還可以采用觀察的方法，找出每個乘積項使Y為1的條件，先把對應輸出Y位置的1填上；其余的位置填0。B＝0且C＝1A＝0且C＝0。只要A＝11.3邏輯函數及其表示方法2023/2/6（5）邏輯圖邏輯表達式將邏輯圖中每一個邏輯符號所表示的邏輯運算從前到后依次寫出來，就可得邏輯表達式。1.3邏輯函數及其表示方法2023/2/6（6）真值表波形圖按照真值表所給出的各種輸入變量的取值及其對應的輸出變量的結果，按時間順序依次排列畫成以時間為橫軸的波形，就得到了邏輯函數的波形圖。ABCY000001010011100101110111000101011.3邏輯函數及其表示方法2023/2/6（7）波形圖真值表從波形圖中找出每個時間段輸入變量及函數輸出的取值，然后將這些輸入、輸出取值對應列表，就可得到真值表。ABY0010101001111.3邏輯函數及其表示方法2023/2/6本講小結1.本講主要介紹了邏輯代數的相關概念，基本邏輯運算、邏輯函數的表示方法及其相互轉換等內容。2.邏輯代數是按一定的邏輯關系進行運算的代數，是分析和設計數字電路的數學工具。在邏輯代數，只有０和１兩種邏輯值，有與、或、非三種基本邏輯運算。由它們構成的常用復合邏輯運算有：與非、或非、異或、同或、與或非等。3.常用的邏輯函數表示方法有真值表、函數表達式、邏輯圖、波形圖、卡諾圖等，它們之間可以任意地相互轉換。Back作業(yè)

P231-2(1)、(4)、(5)、(7)2023/2/6內容提綱第一講：

1.1概述

1.2基本邏輯運算

1.3邏輯函數的表示方法第二講：

1.4邏輯代數的公式和定理

1.5邏輯函數式及其轉換方法

1.6邏輯函數的化簡——公式法第三講：

1.6邏輯函數的化簡——卡諾圖法化2023/2/61.4邏輯代數的公式和定理序號公式規(guī)律1A·0=0A+1=10-1律2A·1=AA+0=A0-1律3還原律4A·A=AA+A=A重疊律5互補律6A·B=B·AA+B=B+A交換律7A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C結合律8A·(B+C)=A·B+A·CA+(B·C)=(A+B)·(A+C)分配律9反演律（1）邏輯代數的基本公式（P12）1.4.1邏輯代數的公式Back2023/2/61.4邏輯代數的公式和定理（2）邏輯代數的常用公式（P12）序號公式規(guī)律1A+A·B=A吸收律2吸收律3——4A(A+B)=A——5吸收律6——問題：如何證明或推導以上公式？2023/2/61.4邏輯代數的公式和定理練習：試證明公式：（1）

（2）

ABY001011101110（1）證明：分別列出等式兩邊表達式的真值表進行對照，完全一致，故等式成立。（2）證明：2023/2/61.4邏輯代數的公式和定理（1）代入定理1.4.2邏輯代數的定理

在任何一個含有變量A的邏輯等式中，若以一函數式取代該等式中所有A的位置，該等式仍然成立。

例如：

令：

則：2023/2/61.4邏輯代數的公式和定理（2）反演定理

例如：

則：

在一個邏輯式Y中，若將其中所有的“+”變成“·”，“·”變成“+”，“0”變成“1”，“1”變成“0”，原變量變成反變量，反變量變成原變量，所得函數式即為原函數式的反邏輯式，記作

。使用反演規(guī)則時必須遵守“先括號、然后乘、最后加”的運算順序。2023/2/61.4邏輯代數的公式和定理（3）對偶定理

例如：在一個邏輯式Y中,若將其中所有的“+”變成“·”，“·”變成“+”，“0”變成“1”，“1”變成“0”，所得函數式即為原函數式的對偶式，記作：Y’。

若兩個函數式相等，那么它們的對偶式也相等，這將有助于記憶一些邏輯代數公式。X+X·Y=XX·(X+Y)=XX·Y+X·Z+Y·Z=X·Y+X·Z(X+Y)·(X+Z)·(Y+Z)=(X+Y)·(X+Z)邏輯函數值除了1就是0，所以上述兩種形式均是邏輯函數功能的完整表述，是邏輯函數式的兩種標準形式。問題引入：邏輯函數的真值表列出了輸入變量所有可能的取值組合所對應的輸出變量的值，是邏輯函數功能的完整描述。請將下列真值表分別以函數值（Y）為1和0，寫出對應的函數表達式。2023/2/61.5邏輯函數式及其轉換方法BackABCY00000101001110010111011100010101真值表最小項和的形式——積之和（與-或表達式）最大項積的形式——和之積（或-與表達式）1.5.1邏輯函數式的兩種標準形式

（1）最小項和的形式——積之和（“與—或”表達式）最小項：設m為包含n個因子的乘積項，且這n個因子以原變量形式或者反變量形式在m中出現且只出現一次，稱m為n變量的一個最小項。n變量共有2n個最小項。

最小項的編號規(guī)則：把最小項m值為1的輸入變量取值看作二進制數，其對應的十進制數即為該最小項的編號，記作mi

。2023/2/61.5邏輯函數式及其轉換方法Back2023/2/6最小項編號的二進制數編號的十進制數最小項編號0000m00011m10102m20113m31004m41015m51106m61117m7三變量的最小項編號1.5邏輯函數式及其轉換方法2023/2/6最小項的性質：

a)對應任意一組輸入變量取值，有且只有一個最小項值為1；

b)任意兩個最小項之積為0；

c)全體最小項之和為1；

d)具有邏輯相鄰性的兩個最小項相加，可合并為一項，并消去一個不同因子。將函數式化成最小項和的形式的方法：代數法：

利用公式，將函數式中的每個乘積項所缺因子乘以該因子加上其反變量，展開即可。1.5邏輯函數式及其轉換方法2023/2/6例：將函數式化成最小項和的形式。1.5邏輯函數式及其轉換方法觀察法：012023/2/6

（2）最大項積的形式——和之積（“或—與”表達式）最大項：設M為包含n個因子的和，且這n個因子以原變量形式或者反變量形式在M中出現且只出現一次，稱M為n變量的一個最大項。n變量共有2n個最大項。

最大項的編號規(guī)則：把最大項M值為0的輸入變量取值看作二進制數，其對應的十進制數即為該最大項的編號，記作Mi

。1.5邏輯函數式及其轉換方法2023/2/61.5邏輯函數式及其轉換方法2023/2/6最大項的性質：

a)對應任意一組輸入變量取值，有且只有一個最大項值為0；

b)任意兩個最大項之和為1；

c)全體最大項之積為0；

d)具有邏輯相鄰性的兩個最大項相乘，可合并為一項，并消去一個不同因子。將函數式化成最大項積的形式的方法為：

最小項和最大項為互補關系，可將函數式首先化成最小項和的形式，然后直接寫成除了這些最小項編號以外的最大項積的形式。1.5邏輯函數式及其轉換方法2023/2/6例：將函數式化成最大項積的形式。解：

1.5邏輯函數式及其轉換方法2023/2/61.5.2邏輯函數形式的變換與非-與非式或-與非式或非-或式或非-或非式與或非式與非-與式

一個邏輯函數確定以后，其真值表是唯一的，但其函數式的表達形式卻有多種，即邏輯函數的實現電路可以有多種形式。因為不管哪種表達形式，對于具有相同真值表的邏輯函數而言所表達的邏輯功能是一致的。各種表達式可以互相轉換。與-或式或-與式1.5邏輯函數式及其轉換方法1.6邏輯函數的化簡——公式法2023/2/61.6.1邏輯函數的最簡表達式（1）最簡與-或表達式

表達式中的乘積項最少；乘積項中含的變量最少。（2）最簡或-與表達式

表達式中的或項最少；或項中含的變量最少。邏輯函數常用的最簡式有最簡與-或式和最簡或-與式兩種。Back1.6邏輯函數的化簡——公式法1.6.2公式法化簡邏輯函數的常用方法吸收：利用A+AB=A消去多余的項AB。2023/2/6并項：利用

將兩項并為一項，且消去一個變量B。消項：利用

消去多余項BC或BCD。消元：利用

消去多余變量A。配項：利用A+A=A、或進行配項。1.6邏輯函數的化簡——公式法2023/2/6吸收：利用A+AB=A消去多余的項AB。并項：利用

將兩項并為一項，消去一個變量B。1.6邏輯函數的化簡——公式法2023/2/61.6邏輯函數的化簡——公式法2023/2/61.6邏輯函數的化簡——公式法2023/2/62023/2/6本講小結1.本講主要介紹了邏輯函數式及其轉換方法、邏輯代數的公式和定理以及邏輯函數的公式化簡法。2.

標準邏輯函數式有與或表達式和或與表達式兩種形式。具有相同真值表的邏輯功能，可以有不同的邏輯函數式（即實現的邏輯電路可以不同），它們之間可以相互轉換。3.

邏輯代數的公式和定理是邏輯代數運算和公式法化簡邏輯函數的基礎。Back作業(yè)

P241.3，1.6（a），1.7（1）

4.

公式法化簡邏輯函數對邏輯函數沒有什么局限性，化簡需要一定技巧，且要對常用公式較熟悉。2023/2/6內容提綱第一講：

1.1概述

1.2基本邏輯運算

1.3邏輯函數的表示方法第二講：

1.4邏輯代數的公式和定理

1.5邏輯函數式及其轉換方法

1.6邏輯函數的化簡——公式法第三講：

1.6邏輯函數的化簡——卡諾圖法化1.6邏輯函數的化簡——卡諾圖法2023/2/61.6.1邏輯函數的卡諾圖化表示法

用各小方塊表示n變量的全部最小項，并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得圖形稱為n變量最小項的卡諾圖。二變量卡諾圖三變量卡諾圖

Back1.6邏輯函數的化簡——卡諾圖法2023/2/6五變量卡諾圖四變量卡諾圖1.6邏輯函數的化簡——卡諾圖法2023/2/6首先將該函數式化成最小項和的形式；然后將該函數式中包含的最小項在卡諾圖相應位置處填1，其余位置處填0。1.6.2邏輯函數式轉換成卡諾圖1.6邏輯函數的化簡——卡諾圖法2023/2/6為了簡化卡諾圖的畫法，可以只填寫“1”，不填寫“0”。

1.6邏輯函數的化簡——卡諾圖法2023/2/6觀察法填寫卡諾圖：找出每一個乘積項的所有最小項，并在其中填1。1.6邏輯函數的化簡——卡諾圖法2023/2/61.6.3用卡諾圖化簡邏輯函數

兩個邏輯相鄰的最小項之和可以合并為一項，且消去一個因子。所以在卡諾圖中兩個位置相鄰方格的最小項之和亦可合并化簡，得到簡化的函數式。用卡諾圖化簡邏輯函數的步驟（1）首先將邏輯函數變換成與或表達式；（2）畫出邏輯函數的卡諾圖；（3）用圈將那些函數值為1的可以合并的方格（最小項）圈起來，并找出其公因子；（4）每個圈對應一個乘積項（即公因子），將所有乘積項相加就得到化簡后的與或式。1.6邏輯函數的化簡——卡諾圖法2023/2/6卡諾圖化簡圈“1”的原則：yz1111x00011110011111yzx000111100111

（1）每次所圈最小項（卡諾圖中的1）個數盡量多，但所圈1的的個數應為2i個；11111111yzwx00011110000111101.6邏輯函數的化簡——卡諾圖法2023/2/6卡諾圖化簡圈“1”的原則：yz1111x00011110011111yzx000111100111（1）每次所圈最小項（卡諾圖中的1）個數盡量多，但所圈1的的個數應為2i個；11111111yzwx00011110000111101.6邏輯函數的化簡——卡諾圖法

（2）每個圈至少包括一個沒有被圈過的1；11111111yzwx00011110000111101111111111yzwx00011110000111102023/2/611111111yzwx00011110000111101.6邏輯函數的化簡——卡諾圖法2023/2/6（3）所有1至少被圈過一次。1111yzx00011