第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

現(xiàn)實生活中完全對立的矛盾狀態(tài)的實例邏輯變量X取值所代表的具體含義01速度的“快”與“慢”“慢”（小于100公里/小時）“快”（大于200公里/小時）面積的“大”與“小”“小”（小于10平方米）“大”（大于20平方米）人類行為的“非”與“是”“非”“是”某件事情的“真”與“假”“假”“真”信號的“有”與“無”“無”“有”開關(guān)的“斷”與“通”“斷”“通”燈泡的“滅”與“亮”“滅”“亮”電位的“高”與“低”“低”“高”電容器的“放電”與“充電”“放電”“充電”晶體三極管的“截止”與“導(dǎo)通”“導(dǎo)通”“截止”邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)就是研究上述因果關(guān)系問題的一個數(shù)學(xué)分支邏輯代數(shù)：LogicAlgebra開關(guān)函數(shù)：SwitchFunction布爾代數(shù)：BooleanAlgebra以上是邏輯代數(shù)的不同名稱本章研究內(nèi)容：公理、定理、各種表達方式、化簡方法等是本門課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，必須掌握邏輯“與”運算燈泡F有兩個狀態(tài)：亮、滅開關(guān)A、B也有兩個狀態(tài)：通、斷燈泡F的狀態(tài)受開關(guān)A、B的狀態(tài)控制設(shè)燈泡亮為狀態(tài)1，滅為狀態(tài)0開關(guān)通為狀態(tài)1，斷為狀態(tài)0則有該真值表定義了一個邏輯關(guān)系~ABF

A

B

F00001010 0111真值表Truthtable邏輯函數(shù)A、B為邏輯自變量、邏輯變量，又稱為輸入變量、輸入F為邏輯因變量、是A、B的邏輯函數(shù)，輸出變量、輸出與數(shù)學(xué)中的函數(shù)的區(qū)別：可以枚舉所有輸入變量組合：兩輸入變量共有4種組合，均列入真值表中n輸入變量共有2n種組合真值表定義了所有輸入組合所對應(yīng)的輸出值A(chǔ)

B

F00001010 0111真值表邏輯“與”運算真值表定義了邏輯“與”（AND）運算：“全1出1”，或“有0出0”邏輯表達式：F=A∧B=A∩B=A&B=A?B=AB邏輯符號：波形圖（低電平為邏輯0，高電平為邏輯1）：A

B

F00001010 0111真值表ABFBAF幾種表達方式?五種表達方式,表示的是同一個邏輯關(guān)系由一種表達方式應(yīng)能得到任意其它方式邏輯“或”運算仍假設(shè)設(shè)燈泡亮為狀態(tài)1，滅為狀態(tài)0；開關(guān)通為狀態(tài)1，斷為狀態(tài)0則得真值表該表定義了邏輯“或”（OR）運算：“有1出1”，或“全0出0”A

B

F00001110 1111真值表~ABF邏輯“或”運算真值表邏輯表達式：F=A∨B=A∪B=A|B=A+B邏輯符號：波形圖A

B

F00001110 1111ABFBAF邏輯“非”運算仍假設(shè)設(shè)燈泡亮為狀態(tài)1，滅為狀態(tài)0；開關(guān)通為狀態(tài)1，斷為狀態(tài)0則得真值表該表定義了邏輯“非”（NOT）運算：對輸入變量求反，“入1出0”，“入0出1”邏輯表達式：F=A邏輯符號：波形圖略ARF~AF0110真值表FA基本邏輯運算與、或、非五種描述方法：運算名稱、真值表、邏輯表達式、邏輯符號、波形圖正、負邏輯前面假設(shè)高電平為狀態(tài)1，低電平為狀態(tài)0，得到的邏輯關(guān)系為正邏輯由真值表知，這是“與”如果設(shè)高電平為狀態(tài)0，低電平為狀態(tài)1，則得到負邏輯該真值表是或邏輯，稱為“負或”“負或”的邏輯符號：同一電路,兩種真值表,如何解釋除特殊說明，本課程采用正邏輯，即高電平為邏輯1，低電平為邏輯0A

B

F11110101 1000真值表ABFA

B

FLLLLHLHL LHHH電平關(guān)系表A

B

F00001010 0111一般邏輯函數(shù)一般的邏輯函數(shù)由“與”、“或”、“非”這三種基本邏輯運算組合而成如：F=A+B（C+D）邏輯運算的優(yōu)先級：非、與、或邏輯代數(shù)公理

0?0=0 0+0=00?1=1?0=0 1+0=0+1=11?1=1 1+1=11=0 0=1基本定律

自等律 A?1=A A+0=A0-1律 A?0=0 A+1=1互補律 A?A=0 A+A=1交換律 A?B=B?A A+B=B+A結(jié)合律 (AB)C=A(BC) (A+B)+C=A+(B+C)分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)基本定律(續(xù))重疊律 AA=A A+A=A反演律 AB=A+B A+B=AB還原律 A=A基本定律的證明用真值表證明關(guān)系式，是最基本，也是最根本的證明方法反演律[又稱狄摩根（DE?MORGAN）定理]的證明：AB=A+B左邊的真值表等于右邊的真值表所以二者相等ABABABABA+B0001111010110110010111110000如果兩個函數(shù)的真值表相同，則稱它們等價或相等三個重要規(guī)則

代入規(guī)則反演規(guī)則對偶規(guī)則代入規(guī)則代入規(guī)則：任何一個邏輯等式，如果將等式兩邊所出現(xiàn)的同一個邏輯變量都代之以同一個邏輯表達式，則該邏輯等式仍然成立代入規(guī)則也叫代入定理邏輯代數(shù)的代入規(guī)則和普通代數(shù)的代入規(guī)則的形式類似如果A+B=A+C，則(D+E)+B=(D+E)+C如果將等式兩端的相同變量代以相同的表達式，則相等關(guān)系仍然成立反演律反演律的擴展：AB=A+BABC=A+BC=A+B+CA+B=ABA+B+C=ABC同理，反演律可擴展到n變量反函數(shù)ABFG0001011010101110F=A+BG=A+B=FG為或非運算G與F互補(反)反函數(shù)若兩個邏輯函數(shù)F和G的輸入變量相同，而且F和G對于任意的一組輸入變量取值都有相反的函數(shù)值，則稱這兩個函數(shù)互反（或稱互補），記作：F=G或G=FG叫做F的反函數(shù)（或補函數(shù)）；而F(或)也叫G的反函數(shù)（或補函數(shù)），F(xiàn)和G互為反函數(shù)注意：這里所說的“反函數(shù)”概念與普通代數(shù)里的反函數(shù)概念是不一樣的反演規(guī)則如果將F中的

?+，+?

10，01AA，AA則得到F的反函數(shù)F利用反演律可直接求出一個函數(shù)的反函數(shù)反演規(guī)則對于任意的邏輯函數(shù)F，如果把F的表達式中所有的“·”運算符換成“+”運算符，同時把所有的“+”運算符換成“·”運算符把F的原表達式中所有的邏輯常量“0”換成邏輯常量“1”，而把所有的邏輯常量“1”換成邏輯常量“0”把F的原表達式中所有的原變量換成反變量，再把所有的反變量換成原變量。則由此所得到的新的邏輯表達式就是邏輯函數(shù)F的反函數(shù)的邏輯表達式反演規(guī)則的應(yīng)用設(shè)F=AB+(A+C)(C+DE)則F=(A+B)[AC+C(D+E)]直接求F時應(yīng)注意:絕對不能打亂原表達式(F)的運算順序；不屬于單變量上的非號應(yīng)保持不變。設(shè)F=A+B+C則F=ABC對偶如果將邏輯函數(shù)F中的

?+，+?

10，01則得到F的對偶函數(shù)F＇與反演律的區(qū)別是不需對變量求反設(shè)F=AB+(A+C)(C+DE)則F’=(A+B)[AC+C(D+E)]對偶對于任意的邏輯函數(shù)F，如果把原表達式中所有的“·”運算符換成“+”運算符，同時把所有的“+”運算符換成“·”運算符；把原表達式中所有的邏輯常量“0”換成邏輯常量“1”，而把所有的邏輯常量“1”換成邏輯常量“0”；則由此所得到的新邏輯表達式就是原邏輯函數(shù)F表達式的對偶式（對偶函數(shù)），記作：F＇。對偶律對偶律：如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)（對偶式）也相等既：如果F=G,則F＇=G＇對偶律的應(yīng)用：證明關(guān)系式、化簡函數(shù)等已知AB+AB=A兩邊取對偶，則(A+B)(A+B)=A與或式或與式基本定理

合并定理AB+AB=A (A+B)(A+B)=A吸收定理A+AB=A A(A+B)=A A+AB=A+B A(A+B)=AB添加項定理AB+AC+BC=AB+AC (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)AB+AC=AB+AC (A+B)(A+C)=(A+B)(A+C)基本定理的證明添加項定理AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC =AB+ABC+AC+ABC =AB(1+C)+AC(1+B) =AB+ACAB+AC+BCDEFG=?基本定理的證明AB+AC=AB+ACAB+AC=(A+B)(A+C) =A(A+C)+B(A+C) =AA+AC+AB+BC =0+AB+AC+BC =AB+AC常用復(fù)合邏輯運算“與非”：F=AB“或非”：F=A+B“與或非”運算：F=AB+CDABFABFFABCDFABCD常用復(fù)合邏輯運算與非、或非、與或非是最常用、最重要的復(fù)合運算做一下它們的真值表。異或運算表達式：F=A⊕B=AB+AB相異時輸出1，相同時輸出0邏輯符號特性：0⊕0=0，0⊕1=1⊕0=1，1⊕1=0，A⊕A=0，A⊕A=10⊕A=A，1⊕A=A，可用做可控反相器A

B

F00001110 1110真值表F=ACtrlA，Ctrl=0A，Ctrl=1同或運算表達式：F=A⊙B=AB+AB相同時輸出1，相異時輸出0邏輯符號特性：0⊙0=1，0⊙1=1⊙0=0，1⊙1=1，A⊙A=1，A⊙A=00⊙A=A，1⊙A=A，也可用做可控反相器A

B

F00101010 0111真值表F=ACtrlA，Ctrl=1A，Ctrl=0異或、同或運算的關(guān)系A(chǔ)⊕B=AB+AB=(A+B)(A+B)=AB+AB=A⊙B(A⊕B)'=(AB+AB)'=(A+B)(A+B)=A⊙B可見，異或、同或運算互為反函數(shù)，也互為對偶函數(shù)一般情況下，一個函數(shù)的反函數(shù)和對偶函數(shù)不相等A⊕B=AB+AB=(A+B)(A+B)A⊙B=AB+AB=(A+B)(A+B)與或式或與式與或式:何時取1?或與式:何時取0?異或、同或運算的規(guī)律二者均滿足交換律、結(jié)合律和分配律：A⊕B=B⊕A A⊙B=B⊙AA⊕B⊕C=A⊕(B⊕C) A⊙B⊙C=A⊙(B⊙C)A(B⊕C)=AB⊕AC A+(B⊙C)=(A+B)⊙(A+C)異或運算分配律的證明A(B⊕C)=AB⊕ACA(B⊕C)=A(BC+BC)=ABC+ABCAB⊕AC=ABAC+ABAC =AB(A+C)+(A+B)AC =AAB+ABC+AAC+ABC =ABC+ABC左邊=右邊多變量異或運算A⊕B⊕C…異或邏輯門只有兩個輸入端多變量異或要用多個邏輯門實現(xiàn)CABF多變量異或運算的特性I根據(jù)1⊕1=0，0⊕A=A，0⊕1=1多變量相異或，結(jié)果取決與1的個數(shù)：當(dāng)1的個數(shù)為奇數(shù)時結(jié)果為1；而當(dāng)1的個數(shù)為偶數(shù)時結(jié)果為0奇偶校驗就是用異或門完成的多變量異或運算的特性II如果 F=A1⊕A2⊕…⊕Ai⊕…

⊕An則F=A1⊕A2⊕…⊕Ai⊕…

⊕An依據(jù)：將F兩邊同時異或1，1⊕A=A多變量異或運算的特性III“異或”運算具有因果互換的關(guān)系。即，等式兩邊的邏輯變量可以互相交換位置而仍然保持等式的成立例如：若A=B⊕C成立則B=A⊕C成立證明：原式兩邊同時異或CC=A⊕B也成立多變量同或運算的特性I根據(jù)0⊙0=1，1⊙A=A，0⊙1=0有多變量相同或，結(jié)果取決與0的個數(shù)：當(dāng)0的個數(shù)為奇數(shù)時結(jié)果為0；而當(dāng)0的個數(shù)為偶數(shù)時結(jié)果為1多變量同或運算的特性II如果 F=A1⊙A2⊙…⊙Ai⊙…⊙An則 F=A1⊙A2⊙…⊙Ai⊙…⊙An依據(jù)：將F兩邊同時同或0，0⊙A=A多變量異或運算的特性III“同或”運算具有因果互換的關(guān)系。即，等式兩邊的邏輯變量可以互相交換位置而仍然保持等式的成立例如：若A=B⊙C成立則B=A⊙C成立證明：將上式兩邊同時同或C或C=A⊙B也成立多變量異或、同或運算的關(guān)系設(shè)F=A1⊕A2⊕…⊕Ai⊕…⊕AnG=A1⊙A2⊙…⊙Ai⊙…⊙An則當(dāng)n=偶數(shù)時F=G，當(dāng)n=奇數(shù)時F=G多變量異或、異或運算的關(guān)系當(dāng)n為偶數(shù)時：如果F=1，則表明輸入變量中有奇數(shù)個1那么就有奇數(shù)個0，所以G=0如果F=0，則表明輸入變量中有偶數(shù)個1那么就有偶數(shù)個0，所以G=1所以F=G多變量異或、異或運算的關(guān)系當(dāng)n=奇數(shù)時：如果F=1，則表明輸入變量中有奇數(shù)個1那么就有偶數(shù)個0，所以G=1如果F=0，則表明輸入變量中有偶數(shù)個1那么就有奇數(shù)個0，所以G=0所以F=G復(fù)合邏輯運算的完備性

集成電路發(fā)展的早期，各種門電路五花八門，給設(shè)計電路帶來許多麻煩人們希望用盡可能少種類的門去完成盡可能多的邏輯功能，這樣設(shè)計電路時只需采購一種集成電路即可“與非”、“或非”及“與或非”三種復(fù)合邏輯運算都可獨立完成所有邏輯運算（功能），所以說它們是完備的與非運算的完備性F1=AB=AB=ABAB=AB1F2=A+B=A+B=AB=AABB=A1B1F3=A=A1=AAABF1AAF3A1F3AAF2BBA1F2B1ABF111個邏輯函數(shù)可寫成不同的形式邏輯函數(shù)形式不同電路形式也不同不用輸入端的處理與非運算的完備性上例說明：只用與非門可以單獨完成三種基本邏輯運算，從而可以完成所有邏輯運算（以后講）邏輯門多余輸入端的處理方法或非門的完備性見教材P29與或非門的完備性做練習(xí)P78，2-20最小項（minterm）

在n個輸入變量函數(shù)中，如果其中的一項滿足：是與項包含所有輸入變量每個輸入變量或以原變量的形式出現(xiàn)，或以反變量的形式出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次則該項稱為最小項例如：三變量函數(shù)中ABC，ABC，ABC是最小項而ABCA，AB，AC，B則不是最小項三變量最小項No.ABCABCABCABCABCABCABCABCABC000010000000100101000000201000100000301100010000410000001000510100000100611000000010711100000001最小項特點n變量函數(shù)共有2n個最小項對于任意的一個最小項，只有一組輸入變量的取值使得它的值為“1”，而在其它各組變量取值時，這個最小項的值都是“0”最小項不同，使得它的值為“1”的那一組變量的取值也不同使得某一個最小項的值為“1”的那組輸入變量取值為該最小項中的原變量取“1”、反變量取“0”最小項如果將輸入變量取值按ABC順序排列（原變量取1，反變量取0），則組成一個二進制數(shù)當(dāng)輸入變量按此二進制數(shù)取值時使最小項為1ABC000，ABC001，ABC010，ABC011，ABC100，ABC101，ABC110，ABC111記ABC為m0，ABC為m1，ABC為m2，ABC為m3，ABC為m4，ABC為m5，ABC為m6，ABC為m7，最小項雖然“與”運算中邏輯變量的順序無關(guān)，但在使用最小項時變量順序不能改變m4=ABC BAC=m?這就要求寫函數(shù)時，要表明變量順序F(A,B,C)以后在處理最小項時可只寫mi，而不需再寫整個與項四變量m5=ABCD五變量m5=ABCDE最小項性質(zhì)每一個最小項僅和一組變量取值相對應(yīng)，只有在該組取值下這個最小項的值才為“1”，而在其它的取值下它都為“0”n個變量的任意兩個不同最小項的乘積（相“與”）恒為“0”，即：mi?mj=0，其中i≠jn個變量的全體最小項之和（相“或”）恒為“1”，即：∑mi=1,i=0,1…2n-1最大項（maxterm）在n個輸入變量函數(shù)中，如果其中的一項滿足：是或項包含所有輸入變量每個輸入變量或以原變量的形式出現(xiàn)，或以反變量的形式出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次則該項稱為最大項例如：三變量函數(shù)中A+B+C，A+B+C，A+B+C是最大項而A+B+CA，A+B，A+C，B則不是最大項三變量最大項No.ABCA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+CA+B+C000011111110100111111101201011111011301111110111410011101111510111011111611010111111711101111111最大項特點n變量函數(shù)共有2n個最大項對于任意的一個最大項，只有一組變量的取值使得它的值為“0”，而在其它變量各組取值時，這個最大項的值都是“1”最大項不同，使得它的值為“0”的那一組變量的取值也不同使得某一個最大項的值為“0”的那組變量取值為該最大項中的原變量取“0”、反變量取“1”最大項如果將輸入變量取值按ABC順序排列，則組成一個二進制數(shù)其中一組變量取值最大項為0A+B+C111，A+B+C110，A+B+C101，A+B+C100，A+B+C011，A+B+C010，A+B+C001，A+B+C000M7=A+B+C，M6=A+B+C，M5=A+B+C，M4=A+B+C，M3=A+B+C，M2=A+B+C，M1=A+B+C，M0=A+B+C最大項雖然與運算中邏輯變量的順序無關(guān)，但在使用最大項時變量順序不能改變M4=A+B+C B+A+C=M?以后遇到最大項時可只寫Mi，而不需再寫整個或項四變量M5=A+B+C+D五變量M5=A+B+C+D+E最大項性質(zhì)每一個最大項僅和一組變量取值相對應(yīng)，只有在該組取值下這個最大項的值才為“0”，而在其它的取值下它都為“1”n個變量的任意兩個不同最大項的和（相“或”）恒為“1”，即：Mi+Mj=1，其中i≠jn個變量的全體最大項之積（相“與”）恒為“0”，即：∏Mi=0,i=0,1…2n-1最小項與最大項的關(guān)系變量相同且編號相同的最小項和最大項之間，存在著互補的關(guān)系即：Mi=mi或：mi=Mi例：對于4變量函數(shù)有M5=A+B+C+D=A+B+C+D=ABCD=m5m13=ABCD=ABCD=A+B+C+D=M13標(biāo)準(zhǔn)表達式一個函數(shù)可以有許多種邏輯表達式如：F=AB+AC+BC=AB+AC =(AB+AC)’’=[(A+B)(A+C)]’ =(AB+AC+BC)’=(AB+AC)’ =(A+B)(A+C)=…可否定義一種唯一的形式？這就是最小項之和（或）式和最大項之積（與）式任一邏輯函數(shù)均可寫成唯一的最小項之和式或最大項之積式最小項之和式F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC =m2+m5+m6 =∑m(2,5,6) =∑(2,5,6)F(A,B,C)=m0+m1+m3+m4+m7 =∑m(0,1,3,4,7) =∑(0,1,3,4,7)No.ABCF0000010010201013011041000510116110171110最小項之和式F(A,B,C)=AB+AC =AB(C+C)+A(B+B)C =ABC+ABC+ABC+ABC =∑m(1,3,6,7)=∑(1,3,6,7)F(A,B,C)=∑(0,2,4,5)最小項之和式F(A,B,C)=AB+AC=∑m(1,3,6,7)=∑(1,3,6,7)F(A,B,C)=∑(0,2,4,5)最小項之和式真值表邏輯函數(shù)的與或式真值表反函數(shù)的最小項之和式No.ABCF0000010011201003011141000510106110171111標(biāo)準(zhǔn)與或式（最小項之和式）一個邏輯函數(shù)的表示形式有若干種如果一個函數(shù)F的形式為若干個最小項相“加”（相“或”），則稱這種形式為F的最小項之和式，又稱為標(biāo)準(zhǔn)“與或”式

最小項之和式與真值表F(A,B,C)=∑(1,3,6,7)在真值表中F=1所對應(yīng)的編號出現(xiàn)在最小項之和式中最小項之和式表明：當(dāng)輸入中出現(xiàn)這些變量取值組合之一時，F(xiàn)=1；否則F=0由真值表可方便地寫出最小項之和式；反之亦然最小項之和式又稱標(biāo)準(zhǔn)與或式一個邏輯函數(shù)的最小項之和式是唯一的No.ABCF0000010011201003011141000510106110171111最大項之積式F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =M2M5M6 =∏M(2,5,6) =∏(2,5,6)F(A,B,C)=∑(0,1,3,4,7)F(A,B,C)=∑(2,5,6)F(A,B,C)=∏(0,1,3,4,7)No.ABCF0000110011201003011141001510106110071111最大項之積式F(A,B,C)=(A+B)(A+C) =(A+B+CC)(A+BB+C) =(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) =∏(0,1,4,6)最大項之積式F(A,B,C)=(A+B)(A+C)=∏(0,1,4,6)=∑(2,3,5,7)F(A,B,C)=∏(2,3,5,7)=∑(0,1,4,6)No.ABCF0000010010201013011141000510116110071111標(biāo)準(zhǔn)或與式（最大項之積式）一個邏輯函數(shù)的表示形式有若干種如果一個函數(shù)F的形式為若干個最大項相“乘”（相“與”），則稱這種形式為F的最大項之積式，又稱為標(biāo)準(zhǔn)“或與”式

最大項之積式與真值表F(A,B,C)=∏(0,2,4,5)在真值表中F=0所對應(yīng)的編號出現(xiàn)在最大項之積式中最大項之積式表明：當(dāng)輸入中出現(xiàn)這些變量取值組合之一時，F(xiàn)=0；否則F=1由真值表可方便地寫出最大項之積式；反之亦然最大項之積式又稱標(biāo)準(zhǔn)或與式一個邏輯函數(shù)的最大項之積式是唯一的No.ABCF0000010011201003011141000510106110171111兩種標(biāo)準(zhǔn)表達式之間的關(guān)系

設(shè)F=∑(1,3,6,7)F+F=1根據(jù)最小項性質(zhì)：∑mi=1而F=∑(1,3,6,7)所以F=∑(0,2,4,5)所以F=∑(0,2,4,5)=m0+m2+m4+m5 =m0m2m4m5=M0M2M4M5=∏(0,2,4,5)所以F=∑(1,3,6,7)=∏(0,2,4,5)兩種標(biāo)準(zhǔn)表達式之間的關(guān)系n變量函數(shù)的最小項、最大項的標(biāo)號均是0~2n-1n變量函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)表達式中的標(biāo)號互補：0~2n-1共2n個標(biāo)號中，不在最小項之和式中，就在最大項之積式中；反之亦然反函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表達式設(shè)F=∑(1,3,6,7)根據(jù)F+F=1，知F=∑(0,2,4,5)另一方面：F=∑(1,3,6,7)=∏(1,3,6,7)由此知，給定Ｆ，可直接寫出Ｆ的兩種標(biāo)準(zhǔn)表達式還可直接寫出Ｆ的兩種標(biāo)準(zhǔn)表達式邏輯函數(shù)的化簡

F=AB+AC+BC=AB+AC化簡邏輯函數(shù)帶來的好處：實現(xiàn)同一個邏輯關(guān)系可節(jié)省門、減少輸入端數(shù)，提高電路的經(jīng)濟性、穩(wěn)定性ABFACBCABFAC邏輯函數(shù)的化簡集成電路發(fā)展的早期，有與非門、或非門、與或非門等系列產(chǎn)品由于它們的完備性，只用它們當(dāng)中的一種即可實現(xiàn)任意邏輯函數(shù)使用中規(guī)模集成電路實現(xiàn)函數(shù)，多使用標(biāo)準(zhǔn)表達式現(xiàn)代可編程器件中則更多使用與或（加反相器）實現(xiàn)邏輯函數(shù)所以化簡函數(shù)應(yīng)該向這些方向進行邏輯函數(shù)的化簡經(jīng)常需要將函數(shù)化簡為下列五種形式之一“與或”表達式：F=AB+AD“或與”表達式：F=(A+B)(C+D)“與非-與非”表達式：F=ABCD“或非-或非”表達式：F=A+B+C+D“與或非”表達式：F=AB+CD這是我們的基本技能之一，必須熟練掌握邏輯圖CABDF=AB+CDABDCF=(A+B)(C+D)ABCDF=AB+CD第一級第二級兩級結(jié)構(gòu)邏輯圖AF=ABCDF=(A+B)+(C+D)BCDABCD邏輯函數(shù)的化簡

代數(shù)法化簡法卡諾圖化簡法系統(tǒng)化簡法，可用機器去做與或式的代數(shù)法化簡F=ACD+ACD+ABC+ABD+ABD+BCD=ACD+ACD+ABC+AB+BCD=ACD+ACD+AB+BCD=ACD+ACD+AB+ABCD+ABCD=ACD+AC(D+BD)+AB=ACD+AC(D+B)+AB=ACD+ACD+ABC+AB=ACD+ACD+BC+AB與或式的代數(shù)法化簡

ABBDCD+BC+ABD+A+CD=(AB+BD+CD)(B+C)+A(BDA)+C+D=BD+BCD+ABC+BCD+CD+C+D=B+AB+1+C=1化簡為‘與非-與非’式將函數(shù)化簡為與或式求兩次反去掉一次反F=AB+CDE=AB+CDE=ABCDE熟悉過程以后，中間一步可省略或與式的化簡

直接利用或與式的關(guān)系式利用比較熟悉的與或式關(guān)系將F’化簡為與或式，將化簡結(jié)果再求對偶F=(A+B)(A+B+C)(A+C)(B+C+D)F’=AB+ABC+AC+BCD=AB+AC+BCD=AB+ACF=(A+B)(A+C)化簡為‘或非-或非’式

將函數(shù)化簡為或與式求兩次反去掉一次反F=(A+B)(C+D+E)=(A+B)(C+D+E)=A+B+C+D+E熟悉過程以后，中間一步可省略化簡為‘與或非’式I將F化簡為或與式F=(A+B)(C+D+E)兩邊取反得F=AB+CDE兩邊再取反得F=AB+CDE化簡為‘與或非’式II將F化簡為與或式F=AB+CDE兩邊取反得F=AB+CDE化簡函數(shù)為五種最簡形式舉例F=(A+C+D)(B+C)(A+B+D)(B+C)(B+C+D)令G=(A+C+D)(B+C)(A+B+D)(B+C)(B+C+D)則G’=ACD+BC+ABD+BC+BCD =ACD+BC+ABD =CB+CAD+BAD =BC+ACD所以G=(B+C)(A+C+D)化簡函數(shù)為五種最簡形式舉例F=G=(B+C)(A+C+D)=AB+AC+BC+0+BD+CD=AC+BC+CDF的與或式F=AC+BC+CD F的與或非式

=(A+C)(B+C)(C+D) F的或與式

=A+C+B+C+C+D F的或非-或非式F=G=(B+C)(A+C+D)=BC+ACDF的與或式

=BCACD F的與非-與非式化簡函數(shù)為五種最簡形式舉例F=(A+C+D)(B+C)(A+B+D)(B+C)(B+C+D)=ACD+BC+ABD+BC+BCD=BC+ACD F的與或式

=BCACD F的與非-與非式F=BC+ACD小結(jié)如果求最簡“與或”式(“與非-與非”式)，先求F的最簡與或式如果求最簡“或與”式(“或非-或非”式)或者最簡”與或非”式，則先求F的最簡或與式小結(jié)F之最簡“與或”式F之最簡“與非—與非”式F之最簡“與或”式F之最簡“或與”式F之最簡“或與”式F之最簡“或非—或非”式F之最簡“或與”式F之最簡“與或”式F之最簡“與或”式F之最簡“與或非”式求一次反求反加非求反加非反演反演卡諾圖（KarnaughMap)邏輯函數(shù)的化簡最終可歸結(jié)為AB+AB=AABC+ABC+ABC+ABC=AC+AC=A即邏輯相鄰項的合并如果能將邏輯相鄰轉(zhuǎn)換為幾何相鄰，則會給函數(shù)的化簡帶來很大的方便卡諾圖就是這樣一個用于化簡函數(shù)的工具卡諾圖的組成是：表示最小項的一些小方格卡諾圖的構(gòu)成m0m1m3m2F(A,B)AB兩變量卡諾圖高位低位A三變量卡諾圖m0m1m3m2F(A,B,C)ABm4m5m7m6CABABABABABCABCABCABCABCABCABCABC卡諾圖的構(gòu)成三變量卡諾圖m0m1m3m2F(A,B,C)ABm4m5m7m6C四變量卡諾圖m0m1m3m2F(A,B,C,D)ABm4m5m7m6C0000 0001 0010 00110100 0101 0110 01111000 1001 1010 10111100 1101 1110 1111m12m13m15m14m8m9m11m10D卡諾圖的構(gòu)成四變量卡諾圖m0m1m3m2F(A,B,C,D)ABm4m5m7m6Cm12m13m15m14m8m9m11m10Dm18m19m17m16m22m23m21m20m30m31m29m28m26m27m25m24五變量卡諾圖F(A,B,C,D,E)ABCDEE卡諾圖特點n變量函數(shù)的K圖有2n個小方格，每個小方格代表一個最小項K圖中幾何位置相鄰的最小項在邏輯上也是相鄰的位于K圖上任何一行或一列的兩端上的小方格所代表的最小項在邏輯上是相鄰的對于變量個數(shù)大于四個的情形，僅用二維幾何空間的位置相鄰性已經(jīng)不能完全地表示最小項的邏輯相鄰性卡諾圖的畫法因為最小項的編號與變量順序有關(guān)，所以畫卡諾圖時要注意卡諾圖有多種畫法，只要熟悉一種即可。但其它畫法應(yīng)該能看懂不同畫法時，最小項編號的順序不同其它畫法BCA000111100013214576最小項之和式與卡諾圖F=∑(0,2,5,7,8,10,13,15)真值表與最小項之和式真值表與卡諾圖給定最小項之和式時，在對應(yīng)最小項編號處填1即可F(A,B,C,D)ABCD1111111100000000最大項之積式與卡諾圖F=∏(0,2,5,7,8,10,13,15)真值表與最大項之積式真值表與卡諾圖給定最大項之積式時，在對應(yīng)最小項編號處填0即可F(A,B,C,D)ABCD0000000011111111與或式與卡諾圖F=AB+CD+ACD每個與項中變量相交處填1將所有與項均填完即可如果一個格被覆蓋多次，只要填一次即可依據(jù)：只要有一個1，則結(jié)果為1F(A,B,C,D)ABCD

11111

1

11=∑(3,7,8,9,10,11,13,15）用此法可方便地得到標(biāo)準(zhǔn)表達式=∏

(0,1,2,4,5,6,12,14）或與式的卡諾圖F=(A+B)(C+D)(A+C+D)每個或項中變量相交處填0，注意原、反變量將所有與項均填完即可如果一個格被覆蓋多次，只要填一次即可依據(jù)：只要有一個0，則結(jié)果為0F(A,B,C,D)ABCD00000

000

最小項與卡諾圖m5=ABCDF(A,B,C,D)ABCD1

最大項與卡諾圖M5=A+B+C+DF(A,B,C,D)ABCD0

111111111111111其它形式表達式的卡諾圖如果函數(shù)是以其它的邏輯表達式的形式給出則可先將這些表達式變換為“與或”式或者“或與”式（根據(jù)實際情況而定）然后再填寫卡諾圖卡諾圖的性質(zhì)若F之K圖中所有的小格都填“1”，則F=1

若F之K圖中所有的小格都填“0”，則F=0F的卡諾圖

如果F之卡諾圖為K，則F的卡諾圖為KK為K中所有的“0”都換成“1”、“1”都換成“0”這是與真值表一致的00010100F(A,B,C)CAB11101011F(A,B,C)CABF1?F2的卡諾圖如果F1的卡諾圖為K1，F(xiàn)2的卡諾圖為K2則F1?F2的卡諾圖為K1?K2其中K1?K2為K1、K2中對應(yīng)小格相與所組成的新的卡諾圖F1?F2的卡諾圖10010111F1(A,B,C)CAB11101011F2(A,B,C)CAB10000011F1?F2CAB卡諾圖的或運算如果F1的卡諾圖為K1，F(xiàn)2的卡諾圖為K2則F1+F2的卡諾圖為K1+K2其中K1+K2為K1、K2中對應(yīng)小格相或所組成的新的卡諾圖卡諾圖的異或運算如果F1的卡諾圖為K1，F(xiàn)2的卡諾圖為K2則F1⊕F2的卡諾圖為K1⊕K2其中K1⊕

K2為K1、K2中對應(yīng)小格相異或所組成的新的卡諾圖卡諾圖化簡法邏輯相鄰項可合并，同時削去一個變量例F(A,B,C)=m5+m7

=ABC+ABC =AC卡諾圖上代表最小項的方格是按邏輯相鄰排列的，故可以直接在卡諾圖上化簡函數(shù)在卡諾圖上做一個卡諾圈，覆蓋兩個相鄰的“1”得：F(A,B,C)=AC，卡諾圈在A、C原變量處00000110F

(A,B,C)CAB卡諾圖化簡法F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC+ABC=AC+AC=C卡諾圈應(yīng)該盡可能的大01100110F

(A,B,C)CAB卡諾圖化簡法F=ABDF(A,B,C,D)ABCD11

卡諾圖化簡法F=ADF(A,B,C,D)AB11CD11

卡諾圖化簡法F=BDF(A,B,C,D)ABCD1111卡諾圖化簡為與或式F=AC+AC=AF=A卡諾圈應(yīng)盡可能大1F(A,B,C,D)AB1111CD111

卡諾圖化簡為與或式F(A,B,C,D)=∑(1,2,3,5,6,7,13)=AC+AD+BCD卡諾圈必須為矩形每個卡諾圈所含項數(shù)必須為2i，消掉i

個變量每個最小項至少被圈一次每個最小項可被圈任意多次1F(A,B,C,D)AB111CD111

卡諾圖化簡為與或式F(A,B,C,D)=ABC+ABD+ABC+BCD=ABD+ACD+BCD+ACD正確答案不一定唯一F(A,B,C,D)AB11C11D1111卡諾圖化簡為與或式F(A,B,C,D)=BD+ACD+ABC+ACD+ABC=ACD+ABC+ACD+ABC先圈只有一種圈法的項每個卡諾圈必須至少包含一個沒被其它卡諾圈圈過的項F(A,B,C,D)AB111C1111D1卡諾圖化簡為與或式F(A,B,C,D)=BC+ABD+ABC+ACD=BC+ACD+ABD如果有多種圈法，應(yīng)盡量圈沒被圈過的項11F(A,B,C,D)AB111C11D1五變量函數(shù)化簡F(A,B,C,D,E)=∑(0,2,4,13,16,18,19,20,23,29)02413181916232029F(A,B,C,D,E)ABCDEE=BCDE+BDE+BCE+ABDE卡諾圖化簡的原理

如果卡諾圈跨越某變量的原變量與反變量的邊界，則該變量被消去最小覆蓋覆蓋所有最小項所含卡諾圈數(shù)最少。如果去掉一個卡諾圈，就不能覆蓋全部“1”每個卡諾圈都盡量大，即包含盡量多的最小項每個卡諾圈至少包含一個其它卡諾圈沒包含的最小項卡諾圖化簡原則每個卡諾圈所含項數(shù)必須為2i，消掉i個變量每個卡諾圈的形狀必須是矩形（含正方形）每個卡諾圈至少包含一個未被其它卡諾圈所包含的最小項每個最小項至少被圈一次每個卡諾圈必須盡可能大每個最小項可被圈任意多次先圈只有一種圈法的項；如果都有多種圈法，則先圈大的如果有多種圈法,則圈沒被其它圈覆蓋過的化簡為“與或”式利用卡諾圖

將函數(shù)化簡為與或式

與或式、與非－與非式其它三種形式？化簡函數(shù)為或與式圈０，直接得到最簡或與式方法與原則與圈１得最簡與或式同注意原變量與反變量化簡函數(shù)為或與式F(A,B,C,D)=(A+B)(A+B+C)(A+C)=(B+C)(A+C)圈０，寫或與式原理與原則與化簡為 與或式同寫結(jié)果時不同：原變量 的位置寫反變量，反 變量的位置寫原變量0000F(A,B,C)CAB化簡函數(shù)為與或非式圈０，寫與或式，得Ｆ的最簡與或式F(A,B,C)=BC+ACF(A,B,C)=BC+ACF(A,B,C)=(B+C)(A+C)=B+C+A+C=BC+AC0000F(A,B,C)CAB化簡函數(shù)舉例F=ACD+CD+AD+BDF=(A+C+D)(A+B+D)(B+C+D)F=ACD+ABD+BCD1１F(A,B,C,D)AB１11C１11１１D１多輸出函數(shù)的卡諾圖化簡法

F1(A,B,C)=∑(3,6,7)=AB+