第4章 二維圖形變換

計算機輔助設計圖形幾何變換

在計算機繪圖中，經常根據需要將已定義的圖形從屏幕的某一位置移動到另一位置，或改變圖形的大小或形狀,或利用已有的圖形生成復雜圖形，這種變換過程稱為幾何變換。利用圖形變換還可以實現二維圖形和三維圖形之間轉換，甚至還可以把靜態(tài)圖形變?yōu)閯討B(tài)圖形。

圖形幾何變換4.1預備知識4.2二維圖形幾何變換4.3二維圖形組合變換圖形幾何變換

一種是圖形不動，而坐標系變動，即變換前與變換后的圖形是針對不同坐標系而言的，稱之為坐標模式變換；

另一種是坐標系不動，而圖形改變，即變換前與變換后的坐標值是針對同一坐標系而言的，稱之為圖形模式變換。

圖形變換有兩種不同的變換形式：4.1.1圖形變換形式4.1預備知識工程圖形的齊次坐標矩陣表示齊次坐標：將一個n維向量用n+1維向量表示。例：平面三角形A齊次坐標矩陣表示

123oxy

若圖形A經過某種變換后得到圖形B，則有：

B=A·TT稱為變換矩陣，二維：T為3x3矩陣，三維：T為4x4矩陣。A4.1.2齊次坐標的引入

齊次坐標技術的引入平移、比例和旋轉等變換處理形式不統(tǒng)一，組合變換時將很難把它們級聯在一起。

變換應具有統(tǒng)一的表示形式便于變換合成便于軟件實現4.1.2齊次坐標的引入

圖形變換的方法：借助變換矩陣來實現圖形（可用點集表示）齊次坐標矩陣P新齊次坐標矩陣P’新圖形P×變換矩陣T表示成表示成4.1.3圖形變換的方法

矩陣乘法：矩陣的乘法不滿足交換率，兩個矩陣相乘必須滿足的基本條件是前者矩陣的列數與后者矩陣的行數應相等。4.1.4矩陣乘法

4.2二維圖形基本幾何變換

4.2.1二維基本變換平移變換旋轉變換比例變換對稱變換錯切變換（1）平移變換

其中：l為x方向平移量，m為y方向平移量。

平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。（2）比例變換變換矩陣為：

坐標點(x,y,1)變換運算：若a=d=1，為恒等變換，變換后的圖形不變；若a=d≠1，>1時為等比例放大，<1時為等比例縮??；若a≠d，圖形在x，y兩個坐標方向以不同的比例變換。

相對于坐標原點圖形的比例變換，相當于每一點相對于坐標原點的變換，因此，它不但改變圖形的大小，而且改變圖形的位置。（2）比例變換（3）旋轉變換

繞坐標原點旋轉，逆時針為正，順時針為負

對字母T進行旋轉變換（旋轉60°)（3）旋轉變換

（4）對稱變換根據abcd不同的取值情況，可以獲得不同的對稱變換。①y軸對稱變換

②x軸對稱

③對原點對稱

④45°線對稱

⑤-45°線對稱

①沿x軸方向關于y錯切變換前和變換后y坐標不變，而x坐標根據y坐標值呈線性變化。變換前后點的坐標之間的關系為：△x

錯切變換（1）yx（5）錯切變換

②沿y軸方向關于x錯切變換前和變換后x坐標不變，而y坐標根據x坐標值呈線性變化。變換前后點的坐標之間的關系為：

錯切變換（2）y△y（5）錯切變換

二維圖形基本變換矩陣討論：

實現圖形的比例、對稱、錯切、旋轉等基本幾何變換；

實現圖形平移變換；

實現圖形透視變換；

實現圖形全比例變換，s>1等比例縮??；0<s<1等比例放大。

4.2二維圖形基本幾何變換總結

4.2二維圖形幾何變換

4.3二維圖形的組合變換

基本變換是在特定的約束條件下進行的，如比例變換是關于坐標原點的放大或縮小，旋轉變換是指繞原點旋轉等。有些變換僅用一種基本變換是不能實現的，必須由兩種或多種基本變換組合才能實現。這種由多種基本變換組合而成的變換稱為組合變換。齊次坐標統(tǒng)一了圖形變換的表示形式，為組合變換提供了基礎。復合變換矩陣：等于各基本變換矩陣的有序乘積。

例：三角形abc繞任意點A旋轉α角，步驟：旋轉中心平移到坐標原點T平；繞原點旋轉T轉；

旋轉中心平移到原來位置T—平。復合變換矩陣T為：坐標點變換：

[X′Y′1]=[XY1]T

1關于繞任意參照點A旋轉α的變換

4.3二維圖形的組合變換2關于任意參照點的比例變換

變換矩陣：T=T1?T2?T3（平移，比例，-平移）

4.3二維圖形的組合變換3關于任意軸的對稱變換

設任意直線的方程為：Ax+By+C=0，直線在X軸的截距為-C/A，在Y軸上的截距為-C/B，直線與X軸夾角為，對該直線做對稱變換。

關于任意軸的對稱變換步驟：1)平移直線，使其通過原點（可以沿X向或Y向平移，這里沿X向平移），變換矩陣為：2)繞原點旋轉，使直線與某坐標軸重合（這里與X軸重合）,變換矩陣為：3)對X坐標軸對稱變換，其變換矩陣為：4)繞原點放置使直線回到原來與X軸成θ角的位置，變換矩陣為：5)平移直線，使其回到原來的位置，變換矩陣為：

通過上述5個步驟，即可實現圖形