牛頓法最優(yōu)潮流

電力系統(tǒng)潮流計(jì)算方法----牛頓法電力系統(tǒng)分析包括潮流、最優(yōu)潮流、預(yù)想故障分析、電壓穩(wěn)定、暫態(tài)穩(wěn)定和其他分析，電力系統(tǒng)分析是輸電系統(tǒng)規(guī)劃中的關(guān)鍵技術(shù)之一。潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)，所謂潮流計(jì)算即在給定電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洹⒃?shù)和發(fā)電、負(fù)荷參量條件下，計(jì)算有功功率、無功功率及電壓在電力網(wǎng)中的分布。手算如何計(jì)算？一般來說，各個(gè)母線所供負(fù)荷的功率S是已知的，各個(gè)節(jié)點(diǎn)V是未知的（平衡節(jié)點(diǎn)外）可以根據(jù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣B，然后由B列寫功率方程，由于功率方程里功率是已知的，電壓的幅值和相角是未知的，這樣潮流計(jì)算的問題就轉(zhuǎn)化為求解非線性方程組的問題了。數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析為了便于用迭代法解方程組，需要將上述功率方程改寫成功率平衡方程，并對功率平衡方程求偏導(dǎo)，得出對應(yīng)的雅可比矩陣，給未知節(jié)點(diǎn)賦電壓初值，一般為額定電壓，將初值帶入功率平衡方程，得到功率不平衡量，這樣由功率不平衡量、雅可比矩陣、節(jié)點(diǎn)電壓平衡量（未知的）構(gòu)成了誤差方程，解誤差方程，得到節(jié)點(diǎn)電壓不平衡量，節(jié)點(diǎn)電壓加上節(jié)點(diǎn)電壓不平衡量構(gòu)成新的節(jié)點(diǎn)電壓初值，將新的初值帶入原來的功率平衡方程，并重新形成雅可比矩陣，然后計(jì)算新的電壓不平衡量，這樣不斷迭代，不斷修正，一般迭代三到五次就能收斂。數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析牛頓法是解非線性方程式的一個(gè)有效方法，所以也被廣泛的應(yīng)用于潮流計(jì)算。核心是修正方程式的建立與求解。如圖所示利用泰勒公式展開，取其線性部分代替非線性方程近似求解。數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析其近似解與精確解分別相差上式全部用泰勒展開即可數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析J稱函數(shù)的雅克比矩陣；△x為列向量，△f稱不平衡量的列向量，把初始值X（0）代入，可得△f，J中的元素，然后運(yùn)用解線性方程的方法，求得第一次迭代計(jì)算出的值

然后把計(jì)算值再次代入求得△f，J中的元素，直到滿足精確度即可。但是，初值一定要選取的足夠接近精確值，否則迭代過程可能不收斂。（何以見得）數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析潮流方程的描述對于N個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力網(wǎng)絡(luò)若元件參數(shù)已知則網(wǎng)絡(luò)方程表示為其中Y為n*n階節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣，U為N*1階，I*為N*1階節(jié)點(diǎn)注入電流列向量但是電力網(wǎng)絡(luò)中給定的往往是S而不是電流，所以線性方程就變成令展開得j=1,2……N數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析若

則潮流方程的極坐標(biāo)形式如下：上式即為電力系統(tǒng)的潮流方程數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析綜上所述，若一個(gè)電力系統(tǒng)含有N個(gè)節(jié)點(diǎn)，選取第N個(gè)作平衡節(jié)點(diǎn)，剩余n=N-1各節(jié)點(diǎn)中有r個(gè)節(jié)點(diǎn)是PV節(jié)點(diǎn)，有n-r個(gè)節(jié)點(diǎn)是PQ節(jié)點(diǎn)，因此出平衡節(jié)點(diǎn)外，有n個(gè)節(jié)點(diǎn)注入有功P，有n-r個(gè)節(jié)點(diǎn)注入無功Q，有r個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓是已知的。在直角坐標(biāo)系下，待求未知數(shù)共有2n個(gè)，代求變量潮流方程線性化給節(jié)點(diǎn)i的有功無功給定值

為注入功率和給定電壓的不平衡量上式方程一共2n個(gè)方程，2n個(gè)代求量，兩者個(gè)數(shù)相等。數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析為了清晰的表達(dá)潮流方程中的未知量請看下表。平衡節(jié)點(diǎn)為第N節(jié)點(diǎn)、剩余N-1=n個(gè)節(jié)點(diǎn)中，含有r個(gè)PQ節(jié)點(diǎn)，n-r個(gè)PV節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)PQPV平衡變量數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析電力網(wǎng)絡(luò)方程的一般形式可以寫成牛頓法求解如下，在給定初始值的條件下，對上式做一階泰勒展開用△x修正X的初始值得到新值，用k表示迭代次數(shù)寫成表達(dá)式即為（偏差形式）數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析由于歐拉公式的存在，我們也可以把直角坐標(biāo)系下的功率方程變形為極坐標(biāo)系下的功率方程，那么極坐標(biāo)系的牛頓法是怎樣的？我們注意到：由于r個(gè)PV節(jié)點(diǎn)1個(gè)平衡節(jié)點(diǎn)n-r個(gè)PQ節(jié)點(diǎn)的存在，所以A1應(yīng)該為n維的，A2為n-r維的，就是說有n個(gè)未知的，有n-r個(gè)未知的V。所以雅克比矩陣為(2n-r)*(2n-r)維。數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析上式右側(cè)對電壓幅值的偏導(dǎo)數(shù)中電壓幅值的階次減少了1，為使雅克比矩陣各部分矩陣具有一樣的形式，在實(shí)際計(jì)算中往往乘以電壓幅值，并【△V/V】列向量作為修正量。數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析當(dāng)j=i時(shí)，所有的V、θ均為變量，當(dāng)j≠i時(shí)，只有特定節(jié)點(diǎn)的V、θ為變量。數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析迄今為止還沒提到節(jié)點(diǎn)分類時(shí)約束條件，不等式約束大致分為三類：①注入功率的約束——威脅電源機(jī)組的安全運(yùn)行②節(jié)點(diǎn)電壓的約束——影響用戶供電電壓的質(zhì)量③對相位角的約束——危及電力系統(tǒng)運(yùn)行穩(wěn)定性所以，在迭代時(shí)要注意是否滿足約束條件，其中，前者具有優(yōu)先性，那么問題就來了？PV到PQ節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化問題。在迭代時(shí)發(fā)現(xiàn)，為保持給定的V，某一個(gè)PV節(jié)點(diǎn)的無功功率已經(jīng)越限，為保證源設(shè)備正常運(yùn)行，不得以將其固定在邊界上，令其Q等于Qmin或者Qmax為一定值。任憑電壓偏移給定值V，實(shí)現(xiàn)PV節(jié)點(diǎn)到PQ節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)化。一旦發(fā)生PV到PQ節(jié)點(diǎn)類型的轉(zhuǎn)化，修正方程的結(jié)構(gòu)將要發(fā)生改變，若采用直角坐標(biāo)時(shí)，該節(jié)點(diǎn)關(guān)于Q的關(guān)系式將取代V的關(guān)系式。若采用極坐標(biāo)則要增加一組Q的關(guān)系式即數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析最優(yōu)潮流數(shù)學(xué)模型最先是法國電力公司提出來的，其本身是數(shù)學(xué)上的優(yōu)化，數(shù)學(xué)模型描述為確定一組解使得目標(biāo)函數(shù)的值極小?？刂谱兞繝顟B(tài)變量，統(tǒng)一寫成x來表示。最優(yōu)潮流的重點(diǎn)在于如何確定修正量△x和不等式約束。其中解決不等式約束尤為重要，方法也多種分類方法，不在一一陳述。總的來說牛頓法最優(yōu)潮流是一種具有二階收斂的算法，在最優(yōu)潮流領(lǐng)域有較為成功的應(yīng)用。最優(yōu)潮流的目標(biāo)函數(shù)一般為系統(tǒng)的總發(fā)電成本，有功損耗，等式約束就是潮流方程，不等式約束為控制變量約束如發(fā)電機(jī)有功出力極端電壓以及狀態(tài)變量約束如負(fù)荷節(jié)點(diǎn)上的電壓幅值以及各種函數(shù)不等式約束如線上傳輸功率以及發(fā)電機(jī)的無功出力。數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析牛頓法一般不區(qū)分控制變量和狀態(tài)變量優(yōu)化計(jì)算在全變量上進(jìn)行，在最優(yōu)解處，全部等式約束應(yīng)當(dāng)滿足，當(dāng)有越界發(fā)生時(shí)將其固定在限值上，將不等式約束化為等式約束，這些約束是原問題的起作用的不等式約束。F中既有等式約束又有不等式約束中因越界而轉(zhuǎn)化為等式約束的方程。如果預(yù)先已知在最優(yōu)解點(diǎn)處全部起作用的不等式約束，并把他們用等式約束引入，則全部化為只包含等式約束的優(yōu)化問題。數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析加入不等式約束，而不等式約束條件h(x)≥0，用二次罰函數(shù)來處理，擴(kuò)展后的Lagrange函數(shù)表示為數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析H為拉格朗日函數(shù)中的海森矩陣，J是起約束作用的雅克比矩陣，計(jì)算可得到修正量。與常規(guī)潮流不同的是，在最優(yōu)潮流迭代過程中潮流方程并不滿足，只有在最優(yōu)點(diǎn)解出潮流方程才滿足。如果已知最優(yōu)點(diǎn)處的起作用的不等式約束集，使用前面迭代格式算法將具有二階收斂，但對于復(fù)雜的大電力網(wǎng)絡(luò)，在獲得最優(yōu)解之前，起作用的不等式約束集一般是未知的，估計(jì)正確的起作用的不等式約束是重點(diǎn)，最優(yōu)潮流的難點(diǎn)在于如何確定起作用的不等式的約束集。一般都是在迭代過程中不斷的調(diào)整起作用的不等式約束。牛頓法的缺點(diǎn)是：約束集的確定比較困難，目前普遍用試驗(yàn)迭代法來確定約束集；編程實(shí)現(xiàn)困難；對應(yīng)控制變量的

Hessian陣對角元容易出現(xiàn)小值或零值，造成矩

陣奇異；引入的Lagrange乘子的初值對迭代計(jì)

算的穩(wěn)定性影響大。數(shù)學(xué)描述潮流計(jì)算最優(yōu)潮流總結(jié)分析牛頓法在按上述的基本格式進(jìn)行迭代時(shí)，其搜索方向?yàn)榭梢娺@種方法與最速下降法比較，除了利用了目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)之外，還利用了目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，考慮了梯度變化的趨勢，因此所得到的搜索方向比最速下降法好，能較快地找到最優(yōu)點(diǎn)。牛頓法在有