第4章熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法

第四章熱傳導(dǎo)問題的數(shù)值解法§4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解基本思想§4-2內(nèi)節(jié)點離散方程的建立§4-3邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)

方程的求解§4-4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法1、重點內(nèi)容：

①掌握導(dǎo)熱問題數(shù)值解法的基本思路；②利用熱平衡法和泰勒級數(shù)展開法建立節(jié)點的離散方程。2、掌握內(nèi)容：數(shù)值解法的實質(zhì)。求解導(dǎo)熱問題的三種基本方法：(1)實驗法;(2)理論分析法；(3)數(shù)值計算法三種方法的特點實驗法:

是傳熱學(xué)的基本研究方法。

a適應(yīng)性不好；b費用昂貴分析法:

a能獲得所研究問題的精確解，可以為實驗和數(shù)值計算提供比較依據(jù)；b局限性很大，對復(fù)雜的問題無法求解；c分析解具有普遍性，各種情況的影響清晰可見

數(shù)值計算法有效解決復(fù)雜問題的方法；是具有一定精度的近似方法。在很大程度上彌補了分析法的缺點，適應(yīng)性強，特別對于復(fù)雜問題更顯其優(yōu)越性；與實驗法相比成本低。數(shù)值解法：有限差分法（finite-difference）有限元法（finite-lement）邊界元法（boundary-element）分子動力學(xué)模擬（MD）

格子Boltzmann方法模擬（LBM）分析解法與數(shù)值解法的異同點：

?

相同點：根本目的是相同的，即確定：①t=f(x,y,z)；②熱流量。?

不同點：數(shù)值解法求解的是區(qū)域或時間空間坐標(biāo)系中離散點的溫度分布代替連續(xù)的溫度場；分析解法求解的是連續(xù)的溫度場的分布特征，而不是分散點的數(shù)值。

對物理問題進行數(shù)值解法的基本思路可以概括為：把原來在時間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場，如導(dǎo)熱物體的溫度場等，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點上被求物理量的值，該方法稱為數(shù)值解法。

這些離散點上被求物理量值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。4-1導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想4.1.1基本思想建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂解的分析改進初場是否4.1.2物理問題的數(shù)值求解過程二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題2例題條件（a）（1）建立控制方程及定解條件

控制方程（即導(dǎo)熱微分方程）

二維矩形域內(nèi)無內(nèi)熱源、穩(wěn)態(tài)、常物性的導(dǎo)熱問題采用數(shù)值解法的步驟：（2）區(qū)域離散化（確立節(jié)點）

用一系列與坐標(biāo)軸平行的網(wǎng)格線把求解區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域，用網(wǎng)格線的交點作為需要確定溫度值的空間位置，稱為節(jié)點(結(jié)點)

，節(jié)點的位置用該節(jié)點在兩個方向上的標(biāo)號m，n表示。

相鄰兩節(jié)點間的距離稱步長。xynm(m,n)MN（b）xynm(m,n)MN基本概念：網(wǎng)格線、節(jié)點、界面線、步長、控制容積二維矩形域內(nèi)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源，常物性的導(dǎo)熱問題

（3）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程（離散方程）

節(jié)點上物理量的代數(shù)方程稱離散方程。?

首先劃分各節(jié)點的類型；?

其次，建立節(jié)點離散方程；?

最后，代數(shù)方程組的形成。

對節(jié)點(m,n)的代數(shù)方程，當(dāng)△x=△y時，有：（4）設(shè)立迭代初場

代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代解法，傳熱問題的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解時，需對被求的溫度場預(yù)先設(shè)定一個解，這個解稱為初場，并在求解過程中不斷改進。

（5）求解代數(shù)方程組

本例中除m=1的左邊界上各節(jié)點的溫度已知外，其余(M-1)N個節(jié)點均需建立離散方程，共有(M-1)N個方程，則構(gòu)成一個封閉的代數(shù)方程組。xynm(m,n)MN

求解時遇到的問題：

①線性；②非線性；③收斂性等。

2）非線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項系數(shù)在整個求解過程中不斷更新。3）是否收斂判斷：是指用迭代法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計算所得之解與上一次迭代計算所得之解的偏差是否小于允許值。

1）線性代數(shù)方程組：代數(shù)方程一經(jīng)建立，其中各項系數(shù)在整個求解過程中不再變化；（6）解的分析

通過求解代數(shù)方程，獲得物體中的溫度分布，根據(jù)溫度場應(yīng)進一步計算通過的熱流量，熱應(yīng)力及熱變形等。因此，對于數(shù)值分析計算所得的溫度場及其它物理量應(yīng)作詳細分析，以獲得定性或定量上的結(jié)論。4.2內(nèi)節(jié)點離散方程的建立方法(1)Taylor（泰勒）級數(shù)展開法；(2)控制容積平衡法(熱平衡法)4.2.1泰勒級數(shù)展開法用節(jié)點(m,n)的溫度tm,n來表示節(jié)點(m-1,n)的溫度tm-1,n根據(jù)泰勒級數(shù)展開式，用節(jié)點(m,n)的溫度tm,n來表示節(jié)點(m+1,n)的溫度tm+1,n將上兩式相加可得將上式改寫成的表達式，有同樣可得：表示未明確寫出的級數(shù)余項中的ΔX的最低階數(shù)為2

根據(jù)導(dǎo)熱問題的控制方程(導(dǎo)熱微分方程)若△x=△y則有

得一階基本思想：對每個有限大小的控制容積應(yīng)用能量守恒，從而獲得溫度場的代數(shù)方程組，它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā)，不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可。能量守恒：流入控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝流出控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)能的增量4.2.2控制容積平衡法(熱平衡法)

從所有方向流入控制體的凈熱流量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝控制體內(nèi)能的增量注意：上面的公式對內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點均適用穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時：從所有方向流入控制體的總熱流量＝0從節(jié)點通過界面?zhèn)鲗?dǎo)到節(jié)點(m,n)的熱流量：對元體(m,n).根據(jù)能量守恒定律可知：

+++=0穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源時：從所有方向流入控制體的總熱流量＝0說明：①上述分析與推導(dǎo)在笛卡兒坐標(biāo)系中進行的；②熱平衡法概念清晰，過程簡捷；③熱平衡法與建立微分方程的思路與過程一致，但不同的是前者是有限大小的元體，后者是微元體。

4.3邊界節(jié)點離散方程的建立及代數(shù)方程的求解

對于第一類邊界條件的熱傳導(dǎo)問題，處理比較簡單，因為已知邊界的溫度，可將其以數(shù)值的形式加入到內(nèi)節(jié)點的離散方程中，組成封閉的代數(shù)方程組，直接求解。對于第二類或第三類邊界條件的導(dǎo)熱問題，所有內(nèi)節(jié)點的離散方程組成的代數(shù)方程組是不封閉的，因未知邊界溫度，因此應(yīng)對邊界上的節(jié)點補充相應(yīng)的代數(shù)方程，才能使方程組封閉，以便求解。為了求解方便，將第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，用qw表示邊界上的熱流密度或熱流密度表達式。為使結(jié)果更具一般性，假設(shè)物體具有內(nèi)熱源Φ(不必均勻分布)。xyqw邊界節(jié)點(m,n)只代表半個元體，若邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為qw

，據(jù)能量守恒定律：

4.3.1邊界節(jié)點離散方程的建立(1)平直邊界上的節(jié)點(2)外部角點如圖所示，二維墻角計算區(qū)域中，該節(jié)點外角點僅代表1/4個以為邊長的元體。假設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度為，則據(jù)能量守恒定律得其熱平衡式為：

(3)內(nèi)部角點內(nèi)部角點代表了3/4個元體，在同樣的假設(shè)條件下xyqw討論關(guān)于邊界熱流密度的三種情況：

（1）絕熱邊界即令上式即可。

（2）值不為零（3）對流邊界此時，將此表達式代入上述方程，并將此項中的與等號前的合并。對于的情形有：流入元體，取正，流出元體，取負（a）平直邊界（b）外部角點（c）內(nèi)部角點4.3.2處理不規(guī)則區(qū)域的階梯型逼進法當(dāng)計算區(qū)域出現(xiàn)曲線邊界或傾斜邊界時，常常采用階梯形的折線來模擬真實邊界，然后用上述方法建立邊界節(jié)點的離散方程。4.3.3代數(shù)方程的求解方法

2）迭代法：先對要計算的場作出假設(shè)（設(shè)定初場），在迭代計算中不斷予以改進，直到計算前的假定值與計算結(jié)果相差小于允許值為止的方法，稱迭代計算收斂。1）直接解法：通過有限次運算獲得精確解的方法，如：矩陣求解，高斯消元法。

2迭代法目前應(yīng)用較多的是：

1）雅可比迭代法（簡單迭代）：每次迭代計算，均用上一次迭代計算出的值。2）高斯——賽德爾迭代法：每次迭代計算，均是使用節(jié)點溫度的最新值。

在計算后面的節(jié)點溫度時應(yīng)按下式（采用最新值）例如：根據(jù)第k次迭代的數(shù)值可以求得節(jié)點溫度：設(shè)有一三元方程組：

其中（i=1,2,3；j=1,2,3）及是已知的系數(shù)（均不為零）及常數(shù)。采用高斯——賽德爾迭代法的步驟：

（1）將三元方程變形為迭式方程：

（2）假設(shè)一組解（迭代初場），記為：并代入迭代方程求得第一次解每次計算均用最新值代入。

（3）以新的初場重復(fù)計算，直到相鄰兩次迭代值之差小于允許值，則稱迭代收斂，計算終止。判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則：k及k+1表示迭代次數(shù)；—第k次迭代得到的最大值當(dāng)有接近于零的t時，第三個較好迭代能否收斂的判據(jù)

1）對于一個代數(shù)方程組，若選用的迭代方式不合適，有可能導(dǎo)致發(fā)散，即稱迭代過程發(fā)散；

2）對于常物性導(dǎo)熱問題，組成的差分方程組，迭代公式的選擇應(yīng)使一個迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對值的代數(shù)和，此時，結(jié)果一定收斂。3）采用熱平衡法導(dǎo)出差分方程時，若每一個方程都選用導(dǎo)出該方程中心節(jié)點的溫度作為迭代變量，則上述條件必滿足，迭代一定收斂。

這一條件數(shù)學(xué)上稱主對角線占優(yōu)（對角占優(yōu)）；

4.4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值解法4.4.1時間-空間區(qū)域的離散化1、基本概念如圖4-8所示，x為空間坐標(biāo)，τ為時間坐標(biāo)。1）時間步長

：指從一個時間層到下一個時間層的間隔

。2）節(jié)點（n,i）——表示空間網(wǎng)格線與時間網(wǎng)格線的交點，即表示了時間——空間區(qū)域中一個節(jié)點的位置，相應(yīng)的記為：

。2、非穩(wěn)態(tài)項的離散非穩(wěn)態(tài)項的離散有三種不同的格式：1）向前差分2）向后差分3）中心差分

1）向前差分2）向后差分3）中心差分

4.4.2一維平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的顯示格式泰勒級數(shù)展開法1）一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程中的擴散項離散與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程中的方法相同，則對一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程中

的擴散項→中心差分；

非穩(wěn)態(tài)項→向前差分（1）非穩(wěn)態(tài)項：采用向前差分為：（2）穩(wěn)態(tài)項：

采用中心差分則為：則有：可改寫為：顯示差分與隱式差分格式求解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程，是從已知的初始溫度分布出發(fā)，根據(jù)邊界條件依次求得以后各個時間層上的溫度值。顯示差分格式定義：就是指若已知i時層上各節(jié)點的溫度值，根據(jù)該差分格式即可算出（i+1）時層上各內(nèi)點的溫度，而不必求解聯(lián)立方程。即

是前一時刻（i）n節(jié)點及相鄰兩節(jié)點溫度的顯函數(shù)。優(yōu)點：計算工作量??；缺點：受時間及空間步長的限制。4.4.3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程的隱式格式隱式差分格式對一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程

中的擴散項在(i+1)時層上采用中心差分，非穩(wěn)態(tài)項將t在節(jié)點(n,i+1)處對節(jié)點(n,i)采用向前差分，得定義：就是指已知i時層上各節(jié)點的溫度值

，根據(jù)差分格式不能直接算出(i+1)時層上各節(jié)點的溫度，而必須求解(i+1)時層上的一個聯(lián)立方程組，才能算出(i+1)時層各節(jié)點的溫度，此種差分格式稱隱式差分格式。優(yōu)點：不受時間及空間的步長影響；缺點：計算工作量大。4.4.4邊界節(jié)點的離散方程如圖4-9所示，一無限大平板，右側(cè)面受周圍流體的冷卻，表面?zhèn)鳠釋?dǎo)數(shù)為h，對于邊界節(jié)點N代表了寬為

的元體。對于該元體，根據(jù)傅立葉定律和能量守恒定律得：整理得：

其中

是以

為特征長度的傅里葉數(shù)，稱網(wǎng)絡(luò)傅里葉數(shù)，記為：

。

是以

為特征長度的畢渥數(shù)，稱網(wǎng)絡(luò)畢渥數(shù)，記為：

。一項變形如下離散方程又可改寫為：4.4.5一維平