時(shí)間序列分析

《時(shí)間序列分析》周慧辦公室：9-319電話：(600試分?jǐn)?shù)=80%卷面+20%平時(shí)成績時(shí)間序列分析的起源最早的時(shí)間序列分析可以追溯到7000年前的古埃及古埃及人把尼羅河漲落的情況逐天記錄下來，就構(gòu)成所謂的時(shí)間序列。對這個(gè)時(shí)間序列長期的觀察使他們發(fā)現(xiàn)尼羅河的漲落非常有規(guī)律。由于掌握了尼羅河泛濫的規(guī)律，使得古埃及的農(nóng)業(yè)迅速發(fā)展，從而創(chuàng)建了埃及燦爛的史前文明。按照時(shí)間的順序把隨機(jī)事件變化發(fā)展的過程記錄下來就構(gòu)成了一個(gè)時(shí)間序列。對時(shí)間序列進(jìn)行觀察、研究，找尋它變化發(fā)展的規(guī)律，預(yù)測它將來的走勢就是時(shí)間序列分析。第2章確定性時(shí)間序列模型特點(diǎn)：數(shù)據(jù)去掉隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)后，剩下的可以用確定的時(shí)間函數(shù)來表示。假設(shè):(1)過去一段時(shí)間收集到的數(shù)確的刻畫了歷史；（2）歷史會(huì)重復(fù)。一個(gè)時(shí)間序列{Yt}可分解為以下四部分的共同作用：長期趨勢變動(dòng)T，季節(jié)效應(yīng)S，循環(huán)變動(dòng)C，不規(guī)則變動(dòng)因素I.(一般將循環(huán)變動(dòng)和季節(jié)效應(yīng)都稱為季節(jié)性變化)2.1時(shí)間序列的分解時(shí)間序列的變動(dòng)因素長期趨勢變動(dòng)(T：seculartrend)具體表現(xiàn)為不斷增加或減少的基本趨勢，及只圍繞某一常數(shù)值波動(dòng)而無明顯增減變化的水平趨勢.季節(jié)性變動(dòng)(S：seasonalvariation)周期小于或等于一年，通常為一年、一月、一周等.循環(huán)變動(dòng)(C：cyclicalvariation)通常周期為2~15年.不規(guī)則變動(dòng)或隨機(jī)變動(dòng)(I：irregularvariation)受偶然不可控因素的影響，表現(xiàn)出不規(guī)則波動(dòng).1978年-2007年我國GDP數(shù)據(jù)(單位:億元)GDP即國內(nèi)生產(chǎn)總值，它是對一國經(jīng)濟(jì)在核算期內(nèi)所有常住單位生產(chǎn)的最終產(chǎn)品總量的度量，常常被看成反映一個(gè)國家經(jīng)濟(jì)狀況的重要指標(biāo)。1992年第1季度-2008年第3季度我國GDP季度數(shù)據(jù)(單位:億元)

1820年-1869年的太陽黑子數(shù)(單位:個(gè))該圖中，橫軸是時(shí)間t(以年為單位)，縱軸表示在時(shí)間t內(nèi)太陽黑子個(gè)數(shù)的觀測值.德國業(yè)余天文學(xué)家施瓦爾發(fā)現(xiàn)太陽黑子的活動(dòng)具有11年左右的周期加法模型：各個(gè)影響因素相互獨(dú)立，均為與X同計(jì)量單位的絕對量乘法模型：只有長期趨勢是同X同計(jì)量單位的絕對值，其余趨勢為長期趨勢的比例，表現(xiàn)為對于長期趨勢的一種相對變化幅度，通常以百分?jǐn)?shù)表示。趨勢模型趨勢季節(jié)模型趨勢季節(jié)循環(huán)模型時(shí)間序列數(shù)據(jù)的簡單外推如何選擇加法模型還是乘法模型適合乘法模型適合加法模型數(shù)值偏移趨勢部分的大小隨時(shí)間的改變而改變數(shù)值偏移趨勢部分的大小不隨時(shí)間的改變而改變平滑方法平滑方法的優(yōu)點(diǎn)：時(shí)間序列往往受到偶然因素的影響產(chǎn)生隨機(jī)變化，所以使用技術(shù)方法可以更好的發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的規(guī)律。若一個(gè)時(shí)間序列沒有明顯的趨勢和季節(jié)性，可以利用平滑后的序列對未來進(jìn)行預(yù)測。2.2.1簡單移動(dòng)平均原始數(shù)據(jù)用At表示，平滑數(shù)據(jù)用表示M-期簡單移動(dòng)平均：使用最近的M個(gè)數(shù)據(jù)的平均值作為平滑值。對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，用平滑值作為未來一個(gè)時(shí)刻的預(yù)測例:(奇數(shù)次滑動(dòng)平均)5-期簡單滑動(dòng)平均平滑：5-期簡單滑動(dòng)平均預(yù)測：偶數(shù)次滑動(dòng)平均（需要兩次平滑）簡單移動(dòng)平均

應(yīng)該計(jì)算多少天M的平均值一個(gè)簡單的判斷方法。如果原始的時(shí)間序列比較平滑，那么使用短周期效果好，如果時(shí)間序列沒有什么規(guī)律，那么使用長周期效果好。簡單移動(dòng)平均線的應(yīng)用趨勢依然有效時(shí)使用長周期，趨勢反轉(zhuǎn)時(shí)使用短周期股票市場簡單移動(dòng)平均線一條：如果閉盤價(jià)>移動(dòng)平均線，買入，反之賣出一條：移動(dòng)平均線是支撐和壓力區(qū)域。一條：移動(dòng)平均線是對趨勢的確認(rèn)。有滯后性。兩線交叉法：短期均線穿越長期均線時(shí)買入，常用的組合是5天－20天，10天－50天。例如5天均線向下穿越20天均線，而20天均線本身正向下降時(shí)，這種態(tài)勢意味著大勢在下跌。只有兩條線同時(shí)上升，而且5日線向上穿越20日線，才能認(rèn)為市場出現(xiàn)反轉(zhuǎn)，如果20日線仍然下跌，不是有效的反轉(zhuǎn)信號。多條：穿越長期線更有意義。與其它指標(biāo)共同使用來判斷買入還是賣出。股票市場移動(dòng)平均線使用什么價(jià)格進(jìn)行平均閉盤價(jià)（最廣泛的方法）最高價(jià)最低價(jià)其它：（最高＋最低）/2；（最高＋最低＋閉盤）/3美國股票市場合適的時(shí)間長度短期：10日，15日，20日，25日，30日中期：30日，10周，13周，20周，26周，200日長期：9個(gè)月，12個(gè)月，18個(gè)月，24個(gè)月加權(quán)滑動(dòng)平均以4-期簡單滑動(dòng)平均預(yù)測為例：等價(jià)于注意：4個(gè)數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)都為0.25.一般的，最近的數(shù)據(jù)最能反映未來的信息，應(yīng)該給予更大的權(quán)數(shù)。如：說明：隨著時(shí)間的推移，越舊的數(shù)據(jù)，重要性越低。指數(shù)平滑一次指數(shù)平滑：其中是實(shí)際值序列；是平滑值序列

是上期平滑值，是平滑系數(shù)，也叫衰減因子，取值范圍為0<<1.

迭代后，整理

利用指數(shù)平滑對數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑和預(yù)測初始化：更新：預(yù)測：確定1.Eviews自動(dòng)給定

自動(dòng)給定是系統(tǒng)按照預(yù)測誤差平方和最小原則自動(dòng)確定最佳系數(shù)值。如果系數(shù)接近1，說明該序列近似純隨機(jī)序列，這時(shí)最新的觀察值就是最理想的預(yù)測值。2.Bowerman和Oconnel建議取值范圍控制在0.1~0.3之間。一般認(rèn)為，序列變化較為平緩，平滑系數(shù)應(yīng)取得小些，如小于0.1;序列變化較為激烈，平滑系數(shù)可取得大些，如0.3~0.5；若平滑系數(shù)取大于0.5才能跟上序列變化，表明序列有很強(qiáng)的趨勢，不能采用一次指數(shù)平滑法。指數(shù)平滑的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：方法簡單，甚至只要有樣本末期的平滑值，就可以得到預(yù)測結(jié)果。缺點(diǎn)：1.預(yù)測值是常數(shù)，不能反映趨勢變化、季節(jié)波動(dòng)等有規(guī)律的變化；2.短期預(yù)測較為靈敏，但不適合中長期預(yù)測3.由于預(yù)測值是歷史數(shù)據(jù)的均值，與實(shí)際數(shù)據(jù)相比，預(yù)測值序列的變動(dòng)有滯后性季節(jié)調(diào)整為什么要進(jìn)行季節(jié)調(diào)整？

思考：3月份的啤酒銷量比2月份好還是差？如果僅從實(shí)際銷量分析這個(gè)問題，似乎不合適。因?yàn)?月份是淡季而2月份是旺季。趨勢和季節(jié)調(diào)整(x-11法)季節(jié)調(diào)整的基本思想乘法模型：加法模型：

某期實(shí)際值（Y）-同期季節(jié)變差（S）=T+C+IX-11基本原理（以乘法為例）1.假設(shè)觀測值{X}適合乘法模型X=TSI2.使用某種方法fT

(.)

對原始序列的趨勢T進(jìn)行估計(jì)，得到3.從{X}中剔除得到季節(jié)變動(dòng)和不規(guī)則變動(dòng)相對數(shù)4.再用某種方法fS

(.)

，利用SI對時(shí)間序列進(jìn)行季節(jié)調(diào)整，得到季節(jié)成分5.最后得到不規(guī)則變動(dòng)I的估計(jì) X-11程序季節(jié)調(diào)整的特點(diǎn)：利用原始資源{X}求和利用SI求均采用滑動(dòng)平均，并反復(fù)迭代直至異常值被識別、剔除或者調(diào)整，最終得到穩(wěn)定的季節(jié)因素。分離趨勢成分從原時(shí)間序列{X}分離趨勢T，采用滑動(dòng)平均法。平均過程剔除了時(shí)間序列中的季節(jié)成分和不規(guī)則成分，派生出的移動(dòng)平均序列是長期趨勢的估計(jì)值。例子原時(shí)間序列是月度資料，月度資料是12個(gè)月為一個(gè)周期，應(yīng)做12項(xiàng)的滑動(dòng)平均第一個(gè)滑動(dòng)平均值對應(yīng)于原序列的第6和第7項(xiàng)的中間；而第二項(xiàng)對應(yīng)于第7和第8項(xiàng)的中間，以此類推；但是，偶數(shù)項(xiàng)的滑動(dòng)平均需要再進(jìn)行一次兩項(xiàng)的滑動(dòng)平均。稱為12*2的滑動(dòng)平均。12*2滑動(dòng)平均注意：在滑動(dòng)平均計(jì)算中，時(shí)間區(qū)間中首尾分別沒有對應(yīng)的移動(dòng)平均值，如果移動(dòng)平均值的移動(dòng)項(xiàng)目是偶數(shù)L，那么首尾各缺L/2如果移動(dòng)平均值的移動(dòng)項(xiàng)目是奇數(shù)L，那么首尾各缺(L-1)/2,稱為滑動(dòng)平均的端值丟失。季節(jié)因子（seasonalfactor）反應(yīng)了序列隨著時(shí)間變化過程中，受季節(jié)因素影響的程度，即模型中的S部分。乘法模型，表現(xiàn)為季節(jié)指數(shù)，是一串在100%上下波動(dòng)的相對數(shù)；加法模型，表現(xiàn)為季節(jié)變差，是一串在0左右分布的絕對數(shù)。主要用途：（1）反映了時(shí)間序列中季節(jié)波動(dòng)的規(guī)律（2）對時(shí)間序列進(jìn)行季節(jié)調(diào)整（3）對時(shí)間序列進(jìn)行季節(jié)預(yù)測時(shí)間序列數(shù)據(jù)的簡單外推第一步：使用中心滑動(dòng)平均估計(jì)趨勢項(xiàng)對月度數(shù)據(jù)使用6個(gè)月的中心滑動(dòng)平均，把數(shù)據(jù)平滑化?t＝（0.5yt-6+yt-4+…+yt+…+yt+5+0.5yt＋6）/12對季度數(shù)據(jù)使用2個(gè)中心滑動(dòng)平均，把數(shù)據(jù)平滑?t＝（0.5yt-2+yt-1+yt+yt+1+0.5yt＋2）/4這樣就把季度特點(diǎn)取消了，只剩下趨勢，所以時(shí)間序列數(shù)據(jù)的簡單外推第二步：把隨機(jī)誤差項(xiàng)去掉—把不同年份相同季節(jié)的數(shù)據(jù)進(jìn)行平均，就可以去掉隨機(jī)誤差項(xiàng)假設(shè)有4年的數(shù)據(jù)第一個(gè)數(shù)據(jù)用y1表示，以此類推，所有的數(shù)據(jù)可以表示為y1,…,y48用z1,…,z48表示去掉趨勢后的數(shù)據(jù)，為了去掉誤差項(xiàng)，我們把每一年的相同月份求平均時(shí)間序列數(shù)據(jù)的簡單外推z1＝（z1+z13+z25+z37）/4z2＝（z2+z14+z26+z38）/4…z12＝（z12+z24+z36+z48）/4時(shí)間序列數(shù)據(jù)的簡單外推把季節(jié)因子規(guī)范化，使得季節(jié)因子的平均值等于1月度數(shù)據(jù)季度數(shù)據(jù)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的簡單外推第三步：從原始數(shù)據(jù)中去掉季節(jié)項(xiàng)每年第一個(gè)月的數(shù)據(jù)除以zb1每年第二個(gè)月的數(shù)據(jù)除以zb2。。。每年第十二個(gè)月的數(shù)據(jù)除以zb12時(shí)間序列數(shù)據(jù)的簡單外推股票市場中加權(quán)移動(dòng)平均線第一期數(shù)據(jù)乘以1，第二期數(shù)據(jù)乘以2，依次類推求出和，然后再除以權(quán)重和。還有的最后一期數(shù)據(jù)乘以2，其它數(shù)據(jù)乘以1，然后除以權(quán)重和。如果加權(quán)移動(dòng)平均線轉(zhuǎn)變方向意味著趨勢反轉(zhuǎn)。趨勢性的提取方法平滑法移動(dòng)平均法：k期左側(cè)移動(dòng)平均，k期右側(cè)移動(dòng)平均，k期中心移動(dòng)平均指數(shù)平均法擬合法：建立時(shí)間t的回歸模型常用的擬合模型：線性方程，二次曲線，指數(shù)曲線，修正指數(shù)曲線，龔帕茲曲線，Logistic曲線季節(jié)指數(shù)表示一年內(nèi)每個(gè)月或每個(gè)季度，或其他周期的季節(jié)性變動(dòng)方向和幅度的百分?jǐn)?shù)。例如某季度的季節(jié)指數(shù)等于100％，說明該季度屬于平均水平，如果大于100％說明該季度是旺季，如果小于100％說明是淡季。月度數(shù)據(jù)12個(gè)月的季節(jié)指數(shù)之和等于1200％，季度數(shù)據(jù)4個(gè)季度的指數(shù)之和等于400％時(shí)間序列數(shù)據(jù)的簡單外推擬和趨勢

線性趨勢二次線性趨勢指數(shù)趨勢（對數(shù)線性趨勢）線性趨勢模型yt=c0+c1t

截距斜率時(shí)間趨勢增長的數(shù)量是常數(shù)t+1比t時(shí)刻增加c1例如：yt=27.5+3.1t時(shí)間序列數(shù)據(jù)的簡單外推二次趨勢模型yt=c0+c1t＋c2t2曲線不是直線，有一定的弧度。指數(shù)增長曲線時(shí)間序列數(shù)據(jù)的簡單外推例如:前面季節(jié)調(diào)整后的數(shù)據(jù)有趨勢，并且曲線反應(yīng)出正線性關(guān)系，所有使用線性趨勢擬和數(shù)據(jù)yt=c0+c1t根據(jù)最小二乘法估計(jì)出未知參數(shù)為c0＝113.7c1＝1.855預(yù)測趨勢點(diǎn)預(yù)測在任何時(shí)間t，有yt=c0+c1t＋t在時(shí)刻T+h，yT+h=c0+c1(T+h)＋T+h時(shí)間序列數(shù)據(jù)的簡單外推總結(jié)1計(jì)算中心滑動(dòng)平均2去掉趨勢得到季節(jié)和誤差項(xiàng)，得到季節(jié)指數(shù)3調(diào)整季節(jié)指數(shù)4去掉季節(jié)項(xiàng)5估計(jì)趨勢6計(jì)算擬和數(shù)據(jù)7計(jì)算誤差，評價(jià)對歷史數(shù)據(jù)的擬和程度8預(yù)測擬合澳大利亞政府1981-1990年每季度的消費(fèi)支出序列線性模型參數(shù)估計(jì)方法最小二乘估計(jì)參數(shù)估計(jì)值最后看一下殘差I(lǐng)t是否需要擬合ARMA模型趨勢性提取的擬合法擬合效果圖對上海證券交易所每月末上證指數(shù)序列進(jìn)行模型擬合非線性模型參數(shù)估計(jì)方法最小二乘估計(jì)參數(shù)估計(jì)值最后看一下殘差I(lǐng)t是否需要擬合ARMA模型趨勢性提取的擬合法擬合效果圖第三章平穩(wěn)線性ARMA模型隨機(jī)過程與時(shí)間序列隨機(jī)過程的定義Ω為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，T為實(shí)數(shù)集的子集，如果對于每個(gè)參數(shù)t∈T，X(e,t)為樣本空間Ω上的一個(gè)隨機(jī)變量,對每一個(gè)e∈Ω，X(e,t)為t的函數(shù)，則{X(e,t),t∈T,e∈Ω}稱為隨機(jī)過程，簡記為{X(t),t∈T}或{Xt,t∈T}.參數(shù)t的變化范圍T，稱為隨機(jī)過程的參數(shù)集.對于一切t∈T,e∈Ω，X(e,t)的全部可能的取值的集合，稱為隨機(jī)過程的狀態(tài)集，記為I.參數(shù)集T、狀態(tài)集I都可分為離散集與連續(xù)集.

隨機(jī)過程與時(shí)間序列隨機(jī)過程{Xt,t∈T}的分類：(1)連續(xù)參數(shù)集T、連續(xù)狀態(tài)集I的隨機(jī)過程(2)連續(xù)參數(shù)集T、離散狀態(tài)集I的隨機(jī)過程(3)離散參數(shù)集T、連續(xù)狀態(tài)集I的隨機(jī)過程(4)離散參數(shù)集T、離散狀態(tài)集I的隨機(jī)過程鏈：狀態(tài)空間I離散的隨機(jī)過程，(2)(4)隨機(jī)序列：參數(shù)空間T離散的隨機(jī)過程，(3)(4)。

T通常表示時(shí)間，又稱為時(shí)間序列.時(shí)間序列數(shù)學(xué)意義上的時(shí)間序列：對時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}，取一系列時(shí)間點(diǎn)t1<t2<…<tN，ti∈T={0,±1,±2,…}進(jìn)行觀察，觀察值按時(shí)間先后順序排列得到{xi,i=1,2,…,N}，這樣就形成了時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}一次觀察(或?qū)崿F(xiàn)).實(shí)際工作中的T常表示為年、季度、月、周、日等.統(tǒng)計(jì)意義上的時(shí)間序列：時(shí)間序列是變量在某一時(shí)間段內(nèi)不同時(shí)間點(diǎn)上觀測值的集合，而且這些觀測值是按時(shí)間先后順序排列的.時(shí)間序列中的“時(shí)間”：指時(shí)間、長度、溫度等具有順序的物理量.時(shí)間序列時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的一次觀察{xi,i=1,2,…,N}所得到的數(shù)據(jù)，實(shí)際上是N維隨機(jī)變量{Xt1

,Xt2

,…,XtN

}的一次觀察.這些數(shù)據(jù)具有一定的相關(guān)性，在整體上呈現(xiàn)某種趨勢性或周期性變化，反映了時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}隨“時(shí)間”變化的、“動(dòng)態(tài)”的、“整體”的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，包含了產(chǎn)生該時(shí)間序列的系統(tǒng)的歷史行為的全部信息.1985年-2007年我國居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)CPI居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(Consumer

Price

Index)英文縮寫CPI，是反映與居民生活有關(guān)的產(chǎn)品及勞務(wù)價(jià)格統(tǒng)計(jì)出來的物價(jià)變動(dòng)指標(biāo)，通常作為觀察通貨膨脹水平的重要指標(biāo).1949年-1964年北京地區(qū)的洪澇災(zāi)害面積數(shù)據(jù)(單位:萬畝)北京在歷史上也是自然災(zāi)害頻發(fā)的地區(qū)，在各種自然災(zāi)害中，水旱災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)最多，危害最大。1997年1月-2008年9月美元對人民幣匯率月度數(shù)據(jù)(單位:元)：2005年7月21日中國啟動(dòng)人民幣匯率改革以來，不斷完善匯率形成機(jī)制，人民幣對美元匯率總體呈現(xiàn)小幅上揚(yáng)態(tài)勢1990年12月19日-2008年11月6日上證A股指數(shù)日數(shù)據(jù)(除去節(jié)假日，共4386個(gè)數(shù)據(jù))1980年1月-1991年10月澳大利亞紅酒的月銷量(單位：公升)銷量數(shù)據(jù)存在較為明顯的上升趨勢和季節(jié)變化1951年-1980年美國每年發(fā)生的罷工次數(shù)序列這些數(shù)據(jù)存在一種不規(guī)律的上下波動(dòng)。1994年-1995年香港環(huán)境數(shù)據(jù)序列(a)表示因循環(huán)和呼吸問題前往醫(yī)院就診的人數(shù)；(b)表示二氧化硫的日平均水平；(c)表示二氧化氮的日平均水平；(d)表示可吸入的懸浮顆粒物的日平均水平時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析依賴于不同地應(yīng)用背景，有著不同的目的分析的基本任務(wù)是揭示支配觀測到的時(shí)間序列的隨機(jī)規(guī)律，通過所了解的這個(gè)隨機(jī)規(guī)律，我們可以理解所要考慮的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，預(yù)測未來的事件，并且通過干預(yù)來控制將來事件。上述即為時(shí)間序列分析的三個(gè)目的。時(shí)間序列的分布和數(shù)字特征時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}在任意時(shí)刻t的狀態(tài)是隨機(jī)變量，因此可以利用隨機(jī)變量的一些概念來描述時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的統(tǒng)計(jì)特征.有限維分布函數(shù)，均值函數(shù)，均方值函數(shù)，方差函數(shù)，自相關(guān)函數(shù)，自協(xié)方差函數(shù)，自相關(guān)系數(shù)時(shí)間序列的有限維分布函數(shù)實(shí)時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…},參數(shù)集T={0,±1,±2,…},對任意n個(gè)時(shí)刻t1,t2,…,tn∈T，及實(shí)數(shù)x1,x2,…,xn∈R，稱為時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的n維分布函數(shù).時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的所有有限維分布函數(shù)的集合為時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的有限維分布函數(shù)族。它完全刻畫了時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征.時(shí)間序列的數(shù)字特征時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的均值函數(shù)：記為t

，若對于任意t∈T={0,±1,±2,…}，EXt存在，則t=EXt

方差函數(shù)：記為DX(t)或Var(X)，若對于任意t∈T={0,±1,…},E(Xt

-t)2存在，則DX(t)=E(Xt-t)2=EXt2-t2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：1.E(aX+b)=aEX+b2.E(X+Y)=EX+EY方差的性質(zhì)：1.D(aX+b)=a2DX;2.D(X±Y)=DX+DY±2Cov(X,Y)如果X與Y不相合，則D(X±Y)=DX+DY注意：獨(dú)立和不相合非等價(jià)。時(shí)間序列的數(shù)字特征自相關(guān)函數(shù)：記為γts，若對于任意t1,t2∈T={0,±1,…},存在，則注意：自協(xié)方差函數(shù)是對稱的。當(dāng)t=s時(shí)，就是方差。自相關(guān)系數(shù):(ACF)協(xié)方差的性質(zhì)：1.Cov(X,Y)=Cov(Y,X);2.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),3.Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)平穩(wěn)時(shí)間序列：時(shí)間序列處于某種平穩(wěn)狀態(tài)，其主要性質(zhì)與變量之間的時(shí)間間隔有關(guān)，而與所考察的起始點(diǎn)無關(guān)。平穩(wěn)時(shí)間序列的分類：嚴(yán)平穩(wěn)(strictlystationary)，寬平穩(wěn)(weaklystationary)一元時(shí)間序列，多元時(shí)間序列82平穩(wěn)時(shí)間序列嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列嚴(yán)平穩(wěn)是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認(rèn)為只有當(dāng)時(shí)間序列所有的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)都不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化時(shí)，該時(shí)間序列才能被認(rèn)為平穩(wěn).定義：如果時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的概率分布不隨時(shí)間的變化而變化，即對任意ε，任意n∈N，任意t1,t2,…,tn∈T，任意x1,x2,…,xn∈R，有則稱該時(shí)間序列為嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列.寬平穩(wěn)時(shí)間序列寬平穩(wěn)是使用特征統(tǒng)計(jì)量來定義的一種平穩(wěn)性，它認(rèn)為時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)主要由低階矩決定，所以只要保證低階矩平穩(wěn)(二階)，就能保證時(shí)間序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定.定義：如果時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}滿足以下三條：(1)均方值函數(shù)存在，即對任意t∈T有EX2(t)<∞(2)均值函數(shù)為常數(shù)，即對任意t∈T有EX(t)=(3)自協(xié)方差函數(shù)是時(shí)間間隔的函數(shù),即對任意s,t∈T,τ=s-t有Cov(Xt,Xs)=E[(Xt-)(Xs-)]=(τ)則稱該時(shí)間序列為寬平穩(wěn)時(shí)間序列.嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系區(qū)別：寬平穩(wěn)對時(shí)間推移的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)平均的一、二階矩上，對于高于二階的矩沒有任何要求；嚴(yán)平穩(wěn)對時(shí)間推移的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)平均的概率分布上，以保證序列所有的統(tǒng)計(jì)特征都相同；兩者的要求不同，一般說來，嚴(yán)平穩(wěn)比寬平穩(wěn)要求要“嚴(yán)”.嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系聯(lián)系：嚴(yán)寬：因?yàn)閷捚椒€(wěn)要求期望和協(xié)方差都存在，而嚴(yán)平穩(wěn)要求概率分布存在，并不斷言一二階矩存在.而服從柯西分布的嚴(yán)平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列，因?yàn)樗囊?、二階矩均不存在；寬嚴(yán)：不言而喻；嚴(yán)平穩(wěn)+二階矩存在寬平穩(wěn)，但反過來一般不成立；對于正態(tài)過程來說，有嚴(yán)平穩(wěn)寬平穩(wěn).在實(shí)際應(yīng)用中，研究最多的還是寬平穩(wěn)時(shí)間序列白噪聲(WhiteNoise)定義：若時(shí)間序列{εt,t=0,±1,±2,…}滿足則稱{εt,t=0,±1,±2,…}，表示為{εt}～WN(0,ε2).若{εt}是獨(dú)立同分布、均值為零、有限方差為ε2的白噪聲，則表示為{εt}～I(xiàn)ID(0,ε2).若{εt}是獨(dú)立同正態(tài)分布、均值為零、有限方差為ε2的白噪聲，則表示為{εt}～NID(0,ε2).本質(zhì)特點(diǎn)：時(shí)刻t的隨機(jī)變量εt與另一時(shí)刻s的隨機(jī)變量εs是互不相關(guān)，不存在線性關(guān)系.白噪聲過程指目前時(shí)刻與過去時(shí)刻的值不相關(guān)。過去時(shí)刻對未來沒有任何有用的價(jià)值?！鞍住笔且?yàn)樗淖V與白光有相同的特點(diǎn)，它的譜密度在所有頻率上是常數(shù)。白噪聲的相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列時(shí)序圖均值為零方差為常數(shù)純隨機(jī)性常用的檢驗(yàn)方法：數(shù)據(jù)圖檢驗(yàn)法自相關(guān)和偏相關(guān)系數(shù)圖檢驗(yàn)法特征根檢驗(yàn)法參數(shù)檢驗(yàn)法逆序檢驗(yàn)法游程檢驗(yàn)法平穩(wěn)性檢驗(yàn)數(shù)據(jù)圖檢驗(yàn)法以時(shí)間為橫軸，變量Xt的取值為縱軸平穩(wěn)的特點(diǎn)無明顯的趨勢性或周期性在一直線附近做小幅波動(dòng)1990年12月19日-2008年11月6日上證A股指數(shù)日數(shù)據(jù)(除去節(jié)假日，共4386個(gè)數(shù)據(jù))1994年-1995年香港環(huán)境數(shù)據(jù)序列(a)表示因循環(huán)和呼吸問題前往醫(yī)院就診的人數(shù)；(b)表示二氧化硫的日平均水平；(c)表示二氧化氮的日平均水平；(d)表示可吸入的懸浮顆粒物的日平均水平數(shù)據(jù)圖檢驗(yàn)法數(shù)據(jù)圖檢驗(yàn)法優(yōu)點(diǎn)：簡單，方便，直觀缺點(diǎn)：主觀性強(qiáng)

是獨(dú)立同分的隨機(jī)變量，且證明其平穩(wěn)性。1.證明其寬平穩(wěn) 1）

2）2.證明其嚴(yán)平穩(wěn)獨(dú)立性同分布性獨(dú)立性隨機(jī)游走（randomwalker）設(shè)e1，e2，…均值為0，方差為σ2的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且滿足在初始條件，如果把e解釋為沿著數(shù)軸向前(向后)游走的步長大小，那Yt就是t時(shí)刻，漫步者到達(dá)的位置。

1.從這里我們可以看出，方差與t有關(guān)，則非平穩(wěn)?；瑒?dòng)平均(movingaverage)設(shè)e1，e2，…均值為0，方差為σ2的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且滿足試判斷其平穩(wěn)性。1.即非平穩(wěn)隨機(jī)過程不具平穩(wěn)性過程就是非平穩(wěn)過程。如在工藝革新、原材料質(zhì)量提高（下降）、設(shè)備更新時(shí)，產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)就是非平穩(wěn)過程。作業(yè)：1.假設(shè)與t無關(guān)，而

，問（1）{Xt}是否平穩(wěn)？（2）令，則{Yt}是否平穩(wěn)？2.假設(shè)為獨(dú)立同分布的白噪聲，問{Xt}是否平穩(wěn)？

第二節(jié)

時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析的方法時(shí)間序列的本質(zhì)特征：相鄰觀察值之間具有相關(guān)性.時(shí)間序列分析timeseriesanalysis通過對時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的一次觀察{xi,i=1,2,…,N}的研究，認(rèn)識其統(tǒng)計(jì)特征和結(jié)構(gòu)特征，揭示其運(yùn)行規(guī)律，預(yù)測其發(fā)展趨勢并進(jìn)行必要的控制.分類確定性時(shí)間序列分析統(tǒng)計(jì)時(shí)間序列分析時(shí)域分析timedomain頻域分析frequencydomain統(tǒng)計(jì)時(shí)間序列分析頻域分析所謂頻域分析方法，也稱為“頻譜分析”或者“譜分析”方法，是著重研究時(shí)間序列的功率譜密度函數(shù)，對序列的頻率分量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析和建模.常用工具：傅里葉變換、功率譜密度、最大熵譜估計(jì)等時(shí)域分析時(shí)域分析的重點(diǎn)就是尋找事件發(fā)展之間的相關(guān)關(guān)系，擬合適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并用該模型來預(yù)測序列未來的走勢.常用工具：自相關(guān)系數(shù)、偏自相關(guān)系數(shù)、差分方程等時(shí)域分析時(shí)域分析又稱為隨機(jī)時(shí)間序列分析，是時(shí)間序列分析的主流方法常用手段數(shù)據(jù)圖法以時(shí)間為橫軸，序列觀察值為縱軸，觀察序列的變化情況指標(biāo)法通過計(jì)算一系列核心指標(biāo)，反映研究對象的動(dòng)態(tài)特征模型法用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法建立適應(yīng)性模型，進(jìn)行預(yù)測和控制隨機(jī)時(shí)間序列分析分類平穩(wěn)時(shí)間序列分析常見模型：AR、MA、ARMA非平穩(wěn)時(shí)間序列分析常見模型：ARIMA、乘積季節(jié)模型、組合模型等可控時(shí)間序列分析時(shí)間序列分析的特點(diǎn)時(shí)間序列分析是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支，遵循其基本原理，但由于時(shí)間的不可重復(fù)性，使得時(shí)間序列分析又有其自成體系的一套分析方法.多元統(tǒng)計(jì)分析處理的是橫剖面數(shù)據(jù)，而時(shí)間序列分析處理的是縱剖面數(shù)據(jù).觀測值之間順序的重要性，是時(shí)間序列分析區(qū)別其他統(tǒng)計(jì)分析的另一個(gè)特征.時(shí)間序列分析的觀測值之間存在相關(guān)性.

第三節(jié)

平穩(wěn)時(shí)間序列自協(xié)方差函數(shù)設(shè){Xt,t=0,±1,±2,…}是實(shí)平穩(wěn)序列，對任意整數(shù)k有Cov(Xt,Xt+k)=E[(Xt-)(Xt+k-)]=(k)，k=0,±1,±2,…則{(k),k=0,±1,±2,…}稱為平穩(wěn)時(shí)間序列的自協(xié)方差函數(shù)序列，其中k稱為遲后量(或者滯后量，延遲量).性質(zhì)(k)是偶函數(shù)，即(k)=(-k)(k)具有界性，即|(k)|≤(0)=D(Xt){(k),k=0,±1,±2,…}是非負(fù)定序列自相關(guān)系數(shù)ACF平穩(wěn)時(shí)間序列{Xt,t=0,±1,±2,…}的自相關(guān)系數(shù)為是相隔時(shí)間為k的序列{Xt}中各量的相關(guān)系數(shù)，是序列中滯后k期的兩變量相關(guān)程度的度量.自相關(guān)系數(shù)序列{,k=0,±1,±2,…}的性質(zhì)對稱性，

{

,k=0,±1,±2,…}是非負(fù)定序列遍歷性（Ergodicity）一般含義：遍歷性就是隨著時(shí)間的推移總可以得到以前沒有過的新息?；蛘哒f

與是漸近獨(dú)立的，當(dāng)t趨于無窮的時(shí)，兩組隨機(jī)變量不再相關(guān)。

假設(shè)隨機(jī)變量都滿足遍歷性。

幾類重要的平穩(wěn)隨機(jī)過程一階自回歸過程(AR(1))AR(1)模型：為白噪聲，并獨(dú)立于自變量因變量誤差項(xiàng)1.寬平穩(wěn)性的必要條件不妨假設(shè)序列若平穩(wěn)，可以得到兩種可能(1)?≠1,則Xt的均值存在，則=0；(2)?=1，則該過程為隨機(jī)游走，非平穩(wěn)。2.兩邊取方差因?yàn)?≠1，而0>0,可以推出|?|<1.（充要條件）

3.等式兩邊同時(shí)乘以（k=1，2，…）可得到當(dāng)k=1時(shí)，當(dāng)k=2時(shí)，所以ACF(自相關(guān)系數(shù))|?|<1,隨著滯后長度k的增加，自相關(guān)函數(shù)值呈指數(shù)遞減；0<?<1,自相關(guān)系數(shù)>0;-1<?<0,一階自相關(guān)系數(shù)是負(fù)數(shù)，接下來自相關(guān)系數(shù)的符號呈正負(fù)交替，自相關(guān)函數(shù)的絕對是呈指數(shù)遞減。兩個(gè)AR（1）系統(tǒng)參數(shù)分別為0.9,0.1J123456Φ=0.90.90.810.7290.65610.590490.531441Φ=0.10.10.010.0010.00010.000010.000001J78910Φ=0.90.47829690.430467210.387420890.34867841Φ=0.10.00000010.000000010.000000010.000000001結(jié)論：?在±1附近，指數(shù)遞減的很慢，但是對于較小的數(shù)，遞

減的速度相當(dāng)快；?是正數(shù)，相對平滑序列，若為負(fù)數(shù)，

鋸齒狀序列。AR（2）模型：

獨(dú)立同分布，并且獨(dú)立于性質(zhì)1.考慮寬平穩(wěn)，零均值，兩邊Xt-k并求期望，可以得到同除以0，

令k=1，所以對兩邊取方差結(jié)合兩式，得滯后算子(LagOperater)滯后算子，一般用B,或者L表示，是一個(gè)運(yùn)算符號，與加減乘除不同的是，它作用的整個(gè)事件序列上，運(yùn)算結(jié)果是另外一個(gè)事件序列，其定義：BYt=Yt-1滯后算子的性質(zhì)1.B(BYt)=B(Yt-1)=Yt-2,2.B(aYt)=aBYt,3.B(Xt+Yt)=BXt+BYt,4.BC=C,5.1Yt=Yt,6.||<1例題1.(1-aB)(1-bB)Yt整理后結(jié)果是什么？2.把AR(2)模型用滯后算子表示。3.整理練習(xí)（下列模型記號B寫出）1.2.3.考慮

的平穩(wěn)性方法：用滯后算子考慮平穩(wěn)性稱為特征方程。平穩(wěn)條件：該方程的根都在單位圓外。單位圓外的含義：根是實(shí)數(shù)時(shí)，它的絕對值大于1，根是復(fù)數(shù)時(shí)，模大于1.考慮

的平穩(wěn)性考慮特征方程，得到AR(2)特征方程的根>1,AR(2)存在平穩(wěn)解。平穩(wěn)性成立當(dāng)且僅當(dāng)差分法1.隨機(jī)游走：即

表示差分算子或差分，就是Xt與其前一期值的差，從統(tǒng)計(jì)上說，差分結(jié)果所得到的序列就是逐期增長量。一階差分：二階差分：注意：差分的次數(shù)就是差分的階數(shù)，k階差分，可以記為例時(shí)刻t12345678910序列Xt12345678910Xt/1111111112Xt//00000000注：差分可以使非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)換成為平穩(wěn)序列線性差分方程為什么要了解線性差分方程？任何一個(gè)ARMA模型都是一個(gè)線性差分方程。ARMA模型的性質(zhì)往往取決于差分方程根的性質(zhì)。常系數(shù)差分方程N(yùn)階差分方程：其中為系統(tǒng)參數(shù)的函數(shù)，當(dāng)

為常數(shù)時(shí)，即為常系數(shù)n階差分方程。U（k）是離散序列，也叫驅(qū)動(dòng)函數(shù)。Y(k)是系統(tǒng)的響應(yīng)。

n階齊次差分方程如何求解？1.求出相應(yīng)的齊次方程的通解；2.求出一個(gè)原方程的特解；3.原方程的解=通解+特解。具體做法：1.設(shè)，代入到n階齊次差分方程，必有2.得到特征方程3.求出n個(gè)特征根λ1，λ2，…，λn，4.求出通解注：λi既可能是實(shí)數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)。若

是復(fù)數(shù)就應(yīng)該成對出現(xiàn)；若λi=λj， i≠j時(shí)，表示差分方程有重根。5.求特解。一般令y(k)=i常數(shù)就可以了。例1.非齊次差分方程求解差分方程y(k+1)-ay(k)=b.解：1.令 2.得到特征根λ=a， 3.齊次差分通解為 4.求特解，令y(k)=d,得d=b/(1-a)， 5.原方程的通解為二階非齊次差分方程差分方程y(k+2)-3y(k+1)+2y(k)=3^k解：1.齊次方程通解λ1=1，λ2=2；2.通解3.特解，令，得C=1/2。

特解為4.原方程的通解為

二階齊次方程解差分方程y(k+2)-6y(k+1)+9y(k)=01.有重根λ1=λ2=3，2.通解注意：當(dāng)n階齊次差分方程存在l個(gè)相等的實(shí)根，設(shè)λ1=λ2=…=λl,而λl+1，λl+2，…，λn為兩不相等的實(shí)根，則方程的通解注意滯后算子得到的特征多項(xiàng)式和差分方程得到的特征多項(xiàng)式有什么聯(lián)系？在AR(2)中如何用差分方程？注意到AR(2)中自相關(guān)函數(shù)遞推關(guān)系：特征方程，根1.都是實(shí)根且不相等

指數(shù)衰減(Damp阻尼)2.都是復(fù)數(shù)，震蕩衰減，振幅周期性減小像正弦波 3.相等

結(jié)論：AR(2)過程的自相關(guān)函數(shù)是指數(shù)衰減的，逐漸趨于0的。

AR(p)模型其中獨(dú)立同分布，并獨(dú)立于AR(p)平穩(wěn)條件特征方程

的根在單位圓外。Or的根在單位圓內(nèi)。AR(p)的參數(shù)特征滿足以上差分方程，當(dāng)

的根不同時(shí)，有例題考慮平穩(wěn)性1，2.3.滑動(dòng)平均過程MovingAverageProcess1.MA（1）模型：其中是白噪聲(ori.i.d.)，即注：MA模型總是平穩(wěn)的，因?yàn)樗前自肼曅蛄械挠邢蘧€性組合。參數(shù)特征1.均值函數(shù)2.自協(xié)方差函數(shù)=0

(k>1).MA(1)模型的有限記憶性MA(2)模型可以計(jì)算出，一般滑動(dòng)平均過程MA(q)模型其中是白噪聲，即同樣對于MA(q)序列，只與其前q個(gè)延遲值線性相關(guān)，從而它是有限記憶的。MA模型中心化MA(q)模型：非中心化MA(q)模型：兩者之間的變換：Yt=Xt-μMA(∞)系數(shù)之和必須絕對收斂，這樣才可以保證MA(∞)均方收斂到一個(gè)隨機(jī)變量利用有限記憶性來預(yù)測模型具有有限記憶性，它的點(diǎn)預(yù)測就會(huì)很快達(dá)到序列的均值。例子某個(gè)產(chǎn)科醫(yī)院，設(shè)是在第t天新住院的病員人數(shù)，而且假定某天住院人數(shù)與第二天住院人數(shù)無關(guān)的，再假設(shè)10%病人住院一天，50%病人住院兩天，30%病人住院三天，10%病人住院四天，那么第七天住院的病人數(shù)Xt表達(dá)式？ARMA(p,q)模型（自回歸滑動(dòng)平均）意義：有限的參數(shù)來表示高階的AR和MA過程。模型：用滯后算子來表示：參數(shù)特征1.特征方程2.平穩(wěn)條件：平穩(wěn)性只考慮AR部分，不需要考慮MA部分。自相關(guān)系數(shù)拖尾。ARMA(1,1)1.2.3.注意與AR(1)的不同模型的傳遞形式和可逆性傳遞性--用一個(gè)MA模型來逼近Xt的行為。AR(1)模型

設(shè)則有遞推容易得到，可檢驗(yàn)該式為差分方程的解。

一階非齊次差分方程對的分析1.為驅(qū)動(dòng)函數(shù)t的一個(gè)線性組合，或者說系統(tǒng)是如何記憶擾動(dòng)的。2.------格林函數(shù)Gj(GreenFunction)3.結(jié)論：AR(1)模型可以用一個(gè)無限階的MA來逼近。1.AR(1)模型的格林函數(shù)(注意：此處的格林函數(shù)的求法不一定有迭代法，還可以考慮用滯后算子來求得)2.MA(1)模型的格林函數(shù)ARMA模型的傳遞性

ARMA模型：即可逆形式可逆形式—用過去的Xt的一個(gè)線性組合來逼近系統(tǒng)現(xiàn)在時(shí)刻的行為。即

系數(shù)Ij稱為逆函數(shù)。注：如果一個(gè)過程可以用一個(gè)無限階的自回歸模型逼近，即你函數(shù)存在，稱過程具有可逆性。ARMA模型可逆性即模型可逆的判斷標(biāo)準(zhǔn)ARMA模型特征方程得到的根在單位圓外，稱模型可逆。結(jié)論：格林函數(shù)的平穩(wěn)性僅與AR模型的特征根有關(guān)，而逆函數(shù)的可逆性僅與MA的特征根有關(guān)系。判斷模型的可逆性例1：例2：練習(xí)：1.2.AR(1)模型的可逆性1.模型

顯然，注意：AR(1)的格林函數(shù)

可見，Gj是由算子求得，AR(1)的逆函數(shù)Ij的算子是。同樣可以考慮AR(2)模型。MA(1)模型的逆函數(shù)1.MA(1)模型有即可以得出顯然，只有|1|<1時(shí)才有意義。所以由此得出MA(1)可逆性條件為|1|<1?；貞浵翸A(1)的格林函數(shù)格林函數(shù)和逆函數(shù)的關(guān)系格林函數(shù)逆函數(shù)AR(1)MA(1)結(jié)論：AR(1)的Gj與MA(1)的Ij形式一致，只是符號相反，參數(shù)互換，即可根據(jù)Gj求得Ij，就是用-Ij代替Gj，用1代替?1.AR、MA、ARMA之間相互轉(zhuǎn)換條件：平穩(wěn)可逆AR(p)--------MA(∞);MA(q)--------AR(∞);ARMA(p,q)-------MA(∞)---------AR(∞)小結(jié)：1.系統(tǒng)具有平穩(wěn)性，說明系統(tǒng)對某一時(shí)刻進(jìn)入的擾動(dòng)的記憶逐漸衰減，時(shí)間越遠(yuǎn)，它的影響作用就越小，逐漸被完全忘掉；2.可逆性表示某一時(shí)刻的系統(tǒng)響應(yīng)對后繼時(shí)刻的響應(yīng)影響呈遞減狀態(tài)，離該時(shí)刻時(shí)間越遠(yuǎn)，影響作用越小。MA(q)AR(p)ARMA(p,q)

自相

q步截尾拖尾拖尾關(guān)函數(shù)問題：AR模型和ARMA模型的自相關(guān)函數(shù)都是拖尾，又該如何區(qū)分？？？例：AR(1)模型Xt，Xt-2相關(guān)嗎？答：Xt，Xt-2相關(guān)。因?yàn)樗麄兌寂cXt-1相關(guān)。若去掉Xt-1的影響，他們之間關(guān)系如何來刻畫？偏相關(guān)函數(shù)定義為消除中間介入變量Xt-1,Xt-2…Xt-k+1的影響后Xt和Xt-k的相關(guān)系數(shù)函數(shù)，記為MA（q）AR（p）ARMA（p，q）自相關(guān)函數(shù)q步截尾P步截尾拖尾偏相關(guān)函數(shù)拖尾拖尾拖尾如何求解？利用Yule-Walker求解其中稱為Xt的偏相關(guān)系數(shù)。Yule-Walker方程展開：例：計(jì)算AR(2)的偏相關(guān)系數(shù)解：由Yule-Walker方程，得

AR(p)模型平穩(wěn)時(shí)序模型的建立要求：1.熟悉建立平穩(wěn)時(shí)序模型的具體步驟；

2.掌握模型的識別、定階、及其適應(yīng)性檢驗(yàn)方法； 3.了解模型參數(shù)估計(jì)的基本思想。ARMA模型中心化問題

注意：前面我們討論的都是0均值的。如果過程的均值未知，如何處理？處理方法：1.用樣本均值作為過程均值的估計(jì)，建模前用樣本數(shù)據(jù)減去其均值，然后對所得到的零均值序列建模；2.把過程均值當(dāng)作另外一個(gè)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。模型的識別1.樣本自相關(guān)函數(shù)已知一組長度為T的樣本，估計(jì)自相關(guān)函數(shù)1)隨機(jī)過程的均值2)自協(xié)方差函數(shù)例：有長度為10的一個(gè)樣本47,64,23,71,38,64,55,41,59,48，計(jì)算樣本自相關(guān)系數(shù)ρ。具體解法見書本P.93純隨機(jī)性檢驗(yàn)定義：純隨機(jī)性檢驗(yàn)，又稱白噪聲檢驗(yàn)，是檢驗(yàn)時(shí)間序列觀察值之間是否具有相關(guān)性.Bartlett定理：如果一個(gè)時(shí)間序列是純隨機(jī)的，得到一個(gè)觀察期數(shù)為n

的觀察序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)若，則自相關(guān)系數(shù)為零的可能性是95%，可認(rèn)為數(shù)據(jù)是不相關(guān)的.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

Q統(tǒng)計(jì)量：Box和Pierce共同推導(dǎo)出原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于m的序列值之間相互獨(dú)立結(jié)論：當(dāng)Q<χ21-α(k)時(shí)，接受原假設(shè)，認(rèn)為序列{Xt}是獨(dú)立的，不用進(jìn)行建模了。當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的相伴概率p>0.05時(shí)，接受原假設(shè)；當(dāng)p<0.05時(shí)，拒絕原假設(shè)，{Xt}是平穩(wěn)非白噪聲序列，嘗試建立ARMA模型。一般取k≈

N/10,.純隨機(jī)性檢驗(yàn)?zāi)Ｐ湍Ｐ头匠套韵嚓P(guān)系數(shù)偏相關(guān)系數(shù)AR(p)Φ(B)Xt=εt拖尾p步截尾MA(q)Xt=?(B)εtq步截尾拖尾ARMA(p,q)Φ(B)Xt=?(B)εt拖尾拖尾對ARMA模型的初步識別模型識別的基本原則模型定階的困難由于樣本的隨機(jī)性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會(huì)呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應(yīng)截尾的或會(huì)呈現(xiàn)出小值振蕩的情況。由于平穩(wěn)時(shí)間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù)k→∞，與都會(huì)衰減至零值附近作小值波動(dòng)。當(dāng)或在延遲若干階之后衰減為小值波動(dòng)時(shí)，什么情況下該看作為相關(guān)系數(shù)截尾，什么情況下該看作拖尾呢？Bartlett定理：零均值的平穩(wěn)時(shí)間序列Xt：若自相關(guān)系數(shù)q步截尾，則若偏相關(guān)系數(shù)p步截尾，則95％的置信區(qū)間：模型定階的經(jīng)驗(yàn)方法：利用2倍標(biāo)準(zhǔn)差輔助判斷模型識別模型定階經(jīng)驗(yàn)方法如果樣本自(偏)相關(guān)系數(shù)在最初的d階明顯大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍，而后幾乎95％的自(偏)相關(guān)系數(shù)都落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍以內(nèi)，而且由非零自相關(guān)系數(shù)衰減為在零附近小值波動(dòng)的過程非常突然。這時(shí)通常視為自(偏)相關(guān)系數(shù)截尾，截尾階數(shù)為d。如果有超過5%的樣本自(偏)相關(guān)系數(shù)都落入2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之外，或者是由顯著非零的自(偏)相關(guān)系數(shù)衰減為小值波動(dòng)的過程比較緩慢或者非常連續(xù)，這時(shí)通常視為自(偏)相關(guān)系數(shù)拖尾。例：下面一組數(shù)據(jù)計(jì)算出來的自相關(guān)系數(shù)，該樣本長度等于64，i123450.830.710.570.210.15例：樣本容量n=100，偏自相關(guān)系數(shù)如下：k1,2,3,4,5,0.680.31-0.10.02-0.166,7,8,9,100.02-0.170.04-0.070.09

問題：如何ARMA(p,q)的中p和q？定階的方法：殘差方差圖定階法F-檢驗(yàn)定階法最佳準(zhǔn)則函數(shù)法AIC準(zhǔn)則BIC準(zhǔn)則模型的定階由于自相關(guān)函數(shù)(ACF)和偏相關(guān)函數(shù)(PACF)定階法具有很強(qiáng)的主觀性，是一種較為粗略的方法，而最佳準(zhǔn)則函數(shù)定階法則可以幫助我們在一些所選的模型中選擇相對最優(yōu)的模型。最佳準(zhǔn)則函數(shù)法，即確定出一個(gè)準(zhǔn)則函數(shù)。建模時(shí)按照信息準(zhǔn)則函數(shù)的取值確定模型的優(yōu)劣，以決定取舍，使準(zhǔn)則函數(shù)達(dá)到極小的是最佳模型。分類：AIC準(zhǔn)則法BIC準(zhǔn)則法最佳準(zhǔn)則函數(shù)法AIC準(zhǔn)則用于ARMA模型的定階對于中心化的ARMA(p,q)模型：N為樣本容量對于非中心化的ARMA(p,q)模型：BIC準(zhǔn)則AIC準(zhǔn)則是樣本容量N的線性函數(shù)，在N→∞時(shí)不收斂于真實(shí)模型，它通常比真實(shí)模型所含的未知參數(shù)要多，是過相容的。為了彌補(bǔ)AIC準(zhǔn)則的不足，Akaike于1976年提出BIC準(zhǔn)則，而Schwartz在1978年根據(jù)Bayes理論也得出同樣的判別標(biāo)準(zhǔn)，稱為SC準(zhǔn)則。理論上已證明，SC準(zhǔn)則是最優(yōu)模型的真實(shí)階數(shù)的相合估計(jì)。AIC與BIC準(zhǔn)則對于中心化的ARMA(p,q)模型：N為樣本容量

判斷滯后長度的準(zhǔn)則是p和q的函數(shù)，給定他們的值，可以得到一個(gè)AIC，開始時(shí)，AIC值隨著p和q的增加而減小，但是由于樣本長度有限，p和q越大，估計(jì)精度越低噪聲項(xiàng)方差的估計(jì)值增加，由此AIC值又增加，所以選擇使得AIC和BIC最小的p和q。定階的步驟：1.給定滯后長度的上限P和Q；2.對長度p=0,1,2，…,P，q=0,1,…,Q,分別估計(jì)模型ARMA(p,q)，利用估計(jì)結(jié)果可以計(jì)算噪聲項(xiàng)方差估計(jì)值；3.代入公式，計(jì)算出AIC,BIC；4.求出最小值對應(yīng)的p，q作為ARMA模型的階數(shù)。

選擇滯后長度存在缺陷：1)選擇不同的準(zhǔn)則具有主觀任意性，有時(shí)候不同的準(zhǔn)則會(huì)得出矛盾的結(jié)論；2)選擇方法是確定一個(gè)滯后長度的上限p和q，如果實(shí)際的滯后長度大于P或q，那么我們就無法得出正確的滯后長度。例子見書本P97～P98。模型參數(shù)的估計(jì)階數(shù)確定后，

估計(jì)模型：1.矩估計(jì)：與隨機(jī)過程理論相結(jié)合；2.極大似然估計(jì)：是估計(jì)ARMA模型的標(biāo)準(zhǔn)方法；3.最小二乘估計(jì)：回歸模型

矩估計(jì)注：模型不含常數(shù)項(xiàng)，若均值不為零，只要所有數(shù)據(jù)減去樣本均值即可。AR(1)模型：易知

我們利用樣本自相關(guān)系數(shù)來估計(jì)總體自相關(guān)系數(shù)，得AR(p)模型:需要估計(jì)的參數(shù)共p+1個(gè)Yule-Walker方程：展開利用矩陣簡化計(jì)算最后利用解出滑動(dòng)平均過程的矩估計(jì)MA(1)過程：令，問題準(zhǔn)換為求解一個(gè)關(guān)于的二次方程。1)若|1|<0.5,韋達(dá)定理，只有一個(gè)解滿足可逆條件||<1可逆解討論：若1=±0.5，存在唯一解；若|1|

>0.5,不存在實(shí)數(shù)解。極大似然估計(jì)(MaximumLikelihoodEstimation)略殘差的計(jì)算檢驗(yàn)

估計(jì)好模型后，需要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠癯浞置枋隽藬?shù)據(jù)：1.所有的系數(shù)是否顯著的不等于0；2.殘差是否為白噪聲；3.預(yù)測是否準(zhǔn)確；4.是否有大的擬合度和小的AIC,BIC；5.是否有更加簡單的模型；6.是否有直觀意義和經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)。好模型的標(biāo)準(zhǔn)：1.每個(gè)系數(shù)都顯著的不等于0；2.參數(shù)是白噪聲過程；3.預(yù)測比其他模型準(zhǔn)確；4.擬合優(yōu)度大，AIC，BIC??；5.沒有公共因子，不可以簡化；6.有直觀意義和經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)。診斷檢驗(yàn)?zāi)康模?/p>

殘差是否是白噪聲過程。1.計(jì)算出，觀察它的樣本自相關(guān)系數(shù)和樣本偏相關(guān)系數(shù)是否在置信區(qū)間內(nèi)；2.Box-PierceQ檢驗(yàn)的檢驗(yàn)步驟：1)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量樣本相關(guān)系數(shù)m主觀給定，可令m=T^{1/2}或m=\sqrt{T}樣本長度2)當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，3）查=0.05,0.01的臨界值若Q檢驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)把前m個(gè)自相關(guān)系數(shù)平方，避免了正負(fù)自相關(guān)系數(shù)加起來為0。如果殘差是白噪聲，那么自相關(guān)系數(shù)等于0，Q統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該接近于0；反之，如果Q接近于0，其中每一個(gè)一定都不大。Q檢驗(yàn)使用的是漸近分布的臨界值而不是它真實(shí)分布的臨界值。Ljung和Box(1978)當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，Q檢驗(yàn)的缺點(diǎn)經(jīng)常不能拒絕原假設(shè)，把非白噪聲誤認(rèn)為白噪聲。原因：兩種統(tǒng)計(jì)量的分布未知，是漸近分布，只是用卡方分布漸近。真實(shí)值<卡方分布的臨界值檢驗(yàn)Q檢驗(yàn)圖示真實(shí)臨界值計(jì)算值卡方分布臨界例：對某時(shí)間序列(N=80)擬合ARMA(2,1)模型，得到殘差自相關(guān)如下，試檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪m應(yīng)性(=0.05).K12340.10.080.090.04K5678-0.130.050.02-0.06

解：卡方檢驗(yàn)表明擬合ARMA(2,1)模型是適宜的。

預(yù)測復(fù)習(xí)條件期望：1.X和Y聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y),記X的邊際概率密度函數(shù)為f(x),那么給定X=x時(shí)，Y的條件概率密度函數(shù)為條件期望

性質(zhì)：預(yù)測預(yù)測就是根據(jù)過去和現(xiàn)在的樣本值對未知時(shí)刻的取值進(jìn)行估計(jì)。假設(shè)目前的時(shí)刻為t時(shí)刻，已知時(shí)刻t之前所有的取值。目的：預(yù)測Xt+l的取值，l>0，稱為l-步預(yù)測，用表示預(yù)測值。預(yù)測誤差：預(yù)測誤差的均方值：最小均方誤差最小均方誤差：假設(shè)預(yù)測函數(shù)是線性的，即根據(jù)ARMA模型，在t+1時(shí)刻，成立在給定，1-步預(yù)測，結(jié)論：殘差下表大于t時(shí)，殘差估計(jì)值是未知的，用期望值0來代替，下標(biāo)介于1到t之間時(shí)，可以根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計(jì)算出殘差的估計(jì)值。2-步預(yù)測一般預(yù)測公式：這里，具體做法：

先寫出Xt+l的表達(dá)式，當(dāng)j>0,用0代替t+j；當(dāng)j<0,用估計(jì)的殘差代替t+j。例子AR(1)1)用t+1代替t，2)1-步預(yù)測，3)2-步預(yù)測，

L-步預(yù)測：當(dāng)，預(yù)測值趨于均值0.MA(1)-----解決滑動(dòng)平均模型產(chǎn)生的問題1-步預(yù)測，2-步預(yù)測，

ARMA模型預(yù)測ARMA模型Xt+l可以表示為l=1時(shí)，求條件期望其中可以得到t需要遞推計(jì)算的，但是實(shí)際數(shù)據(jù)有限，過于靠前的t-j是未知的。因此我們往往給定初始值，取以前某時(shí)刻

t-j=0，即假定，這樣就可以遞推出t。

關(guān)于時(shí)間序列條件期望作業(yè)1.現(xiàn)在及過去的條件期望是其本身；2.現(xiàn)在及過去擾動(dòng)的條件期望是零；3.未來擾動(dòng)的條件期望是零；4.未來取值的條件期望是其預(yù)測值。例已知求解：所以預(yù)測的均方誤差預(yù)測誤差在AR(1)模型下，

所以可以將白噪聲重釋為一步向前預(yù)測誤差序列。

另模型若求t=60做超前1步，超前2步預(yù)測。解：所以預(yù)測值的適時(shí)修正事實(shí)上，以時(shí)刻t為原點(diǎn)得到的的預(yù)測