第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2

§3.2地圖投影的基本概念一、問題的提出：

地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

是指使地圖上各種地理要素與相應(yīng)的地面景物之間保持一定對(duì)應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。包括：經(jīng)緯網(wǎng)、坐標(biāo)網(wǎng)、大地控制點(diǎn)、比例尺等。兩個(gè)矛盾：

球面與平面之間的矛盾大與小的矛盾

將橢球面上的客觀世界表現(xiàn)在有限的平面上,首先要實(shí)現(xiàn)由球面到平面的轉(zhuǎn)換.如何轉(zhuǎn)換?沿經(jīng)線直接展開?沿緯線直接展開?沿經(jīng)線直接展開?沿經(jīng)線直接展開?

可見,地球橢球面是不可展開的面.無論如何展開都會(huì)產(chǎn)生褶皺,拉伸或斷裂等無規(guī)律變形,無法繪制科學(xué),準(zhǔn)確的地圖.因此解決球面與平面之間的矛盾——

將地球橢球面上的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成平面上的點(diǎn)。大與小的矛盾——地圖投影比例尺二、投影方式：1.平行投影2.透視投影3.廣義投影三、地圖投影實(shí)質(zhì)：

建立平面上的點(diǎn)（用平面直角坐標(biāo)或極坐標(biāo)表示）和地球表面上的點(diǎn)（用緯度和經(jīng)度表示）之間的函數(shù)關(guān)系，用數(shù)學(xué)式表達(dá)這種關(guān)系，就是：

四、地圖比例尺解決大與小的矛盾.1.地圖比例尺的含義當(dāng)制圖區(qū)域比較小、景物縮小的比率也比較小時(shí)：圖上長(zhǎng)度與相應(yīng)地面之間的長(zhǎng)度比例。當(dāng)制圖區(qū)域相當(dāng)大、景物縮小的比率也相當(dāng)大時(shí)：對(duì)地球半徑縮小的比率，為主比例尺。在地圖上體現(xiàn)為個(gè)別的點(diǎn)或線。因此，用圖者不可隨意量算。圖上也不可繪制直線比例尺。2.地圖比例尺的表示（1）數(shù)字式比例尺：寫成比的形式。

1：10000，1/10000（2）文字式比例尺：“一萬分之一”，“圖上1厘米等于實(shí)地1公里”（3）圖解比例尺：直線比例尺斜分比例尺復(fù)式比例尺直線比例尺：以直線線段形式標(biāo)明圖上線段長(zhǎng)度對(duì)所對(duì)應(yīng)的地面距離。斜分比例尺：微分比例尺。根據(jù)相似三角形原理制成。可以量取比例尺基本長(zhǎng)度單位的百分之一。復(fù)式比例尺：投影比例尺，小比例尺地圖上使用。根據(jù)地圖主比例尺和地圖投影長(zhǎng)度變形分布規(guī)律設(shè)計(jì)的一種圖解比例尺。通常是對(duì)每一條緯線單獨(dú)設(shè)計(jì)一個(gè)直線比例尺，再組合起來。（4）特殊比例尺變比例尺：將主區(qū)以外部分的距離按適當(dāng)比例相應(yīng)壓縮，而主區(qū)仍按原規(guī)定的比例表示。無級(jí)別比例尺：因數(shù)字制圖而出現(xiàn)。可以把存貯數(shù)據(jù)精度和內(nèi)容詳細(xì)程度都比較高的地圖數(shù)據(jù)庫(kù)，稱為無級(jí)別比例尺地圖數(shù)據(jù)庫(kù)。成都理工大學(xué)測(cè)量工程系四.地圖投影變形1.投影變形的概念

比較地圖上和地球儀上的經(jīng)緯線網(wǎng)特征

地球儀上的經(jīng)緯網(wǎng)特征： 長(zhǎng)度：經(jīng)線，緯線、同一緯線上相同經(jīng)差的緯線長(zhǎng)度，同一經(jīng)線上相同緯差的經(jīng)線長(zhǎng)度 面積：同一緯度帶，相同經(jīng)差構(gòu)成的球面梯形、不同緯度帶，相同經(jīng)差構(gòu)成的球面梯形 角度：經(jīng)緯線的夾角成都理工大學(xué)測(cè)量工程系成都理工大學(xué)測(cè)量工程系成都理工大學(xué)測(cè)量工程系成都理工大學(xué)測(cè)量工程系成都理工大學(xué)測(cè)量工程系可以發(fā)現(xiàn)，變形表現(xiàn)在長(zhǎng)度、面積和角度三個(gè)方面。成都理工大學(xué)測(cè)量工程系

1.長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形：

長(zhǎng)度比是投影面上一微小線段ds’和球面上相應(yīng)微小線段ds之比。

m表示長(zhǎng)度比，Vm表示長(zhǎng)度變形長(zhǎng)度比是變量，隨位置和方向的變化而變化。描述投影變形的相關(guān)概念成都理工大學(xué)測(cè)量工程系2.面積比和面積變形

面積比：投影平面上微小面積（變形橢圓面積）dF′與球面上相應(yīng)的微小面積（微小圓面積）dF之比。P

表示面積比Vp

表示面積變形

成都理工大學(xué)測(cè)量工程系 角度變形：投影面上任意兩方向線所夾之角與球面上相應(yīng)的兩方向線夾角之差，稱為角度變形。以ω表示角度最大變形。 設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（x、y），A

′點(diǎn)的坐標(biāo)為(x

′

、y

′)，則最大角度變形可用極值長(zhǎng)度比a,b表示實(shí)用上常以下公式求得：長(zhǎng)度變形是各種變形的基礎(chǔ)！成都理工大學(xué)測(cè)量工程系標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)、標(biāo)準(zhǔn)線和等變形線標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)：指地圖投影面上沒有任何變形的點(diǎn)。即投影面與地球橢球體面相切的點(diǎn)，離標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)越遠(yuǎn)，變形越大標(biāo)準(zhǔn)線：指地圖投影面上沒有任何變形的線，即投影面與地球橢球體面相切或相割的那一條或兩條線（標(biāo)準(zhǔn)經(jīng)線或標(biāo)準(zhǔn)緯線），離標(biāo)準(zhǔn)線越遠(yuǎn)，變形越大。等變形線：指投影面上變形值相等的各點(diǎn)的連線。不同等變形線形狀的投影適合不同形狀的制圖區(qū)域，這是選擇地圖投影要考慮的因素之一。成都理工大學(xué)測(cè)量工程系地球儀上的微分圓投影到平面上，投影后大多變?yōu)闄E圓（極個(gè)別為圓），即變形橢圓。X’Y’M’χ’y’XYMχyα2.變形橢圓成都理工大學(xué)測(cè)量工程系用變形橢圓表示投影變形：rr’<rr’>rbaab=r2a>r,b=ra≠r;b≠ra，b表示橢圓的長(zhǎng)半軸與短半軸成都理工大學(xué)測(cè)量工程系五.投影分類－－按投影的變形性質(zhì)分類可分為等角投影、等積投影和任意投影。任意投影：長(zhǎng)度、角度、面積三種變形同時(shí)存在。等距投影:a=1或b=1等積投影:P=a.b=1等角投影：ω=0a=br＝1成都理工大學(xué)測(cè)量工程系成都理工大學(xué)測(cè)量工程系成都理工大學(xué)測(cè)量工程系地圖投影分類——按投影方式分類（1）幾何投影:將橢球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到幾何面上，然后將幾何面展為平面。

方位投影:以平面作投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。 圓柱投影:以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。 圓錐投影:以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。成都理工大學(xué)測(cè)量工程系

方位投影:

以平面作投影面，使平面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上而成。

根據(jù)球面與投影面的相對(duì)部位不同，分為正軸投影，橫軸投影，斜軸投影:正軸方位投影，投影面與地軸相垂直；橫軸方位投影，投影面與地軸相平行；斜軸方位投影，投影面與地軸斜交。

圓柱投影:

以圓柱面作投影面，使圓柱面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓柱面上，然后將圓柱面展為平面而成。

正軸：圓柱軸與地軸重合；橫軸：圓柱軸與地軸垂直；斜軸：圓柱軸與地軸斜交；

圓錐投影:

以圓錐面作投影面，使圓錐面與球面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后將圓錐面展為平面而成。

正軸：圓錐軸與地軸重合；橫軸：圓錐軸與地軸垂直；斜軸：圓錐軸與地軸斜交；

正軸投影的經(jīng)緯線形狀

a.正軸方位：經(jīng)線為放射狀直線，緯線為同心圓；

b.正軸圓柱：經(jīng)緯線均為一組平行且間隔相等的直線，緯線與經(jīng)線垂直；

c.正軸圓錐：經(jīng)線為放射狀直線束，緯線為同心圓。

正軸投影的變形特點(diǎn)

（1）方位投影變形特點(diǎn)：①等變形線與緯圈一致；②在切方位投影中，切點(diǎn)上無變形，隨著遠(yuǎn)離切點(diǎn)，變形增大；③在割方位投影中，在所割小圓上，角度變形與“切”的情況一樣，其他變形（長(zhǎng)度變形與面積變形）則自所割小圓向內(nèi)與向外增大。

（2）圓柱投影變形特點(diǎn)：①變形隨緯度變化，與經(jīng)差無關(guān)；②在切圓柱投影中，赤道無變形，變形自赤道向兩側(cè)隨緯度的增加而增大；③在割圓柱投影中，在兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線上無變形，變形自標(biāo)準(zhǔn)緯線向內(nèi)和向外增大。

適宜于低緯度沿緯線伸展的地區(qū)。

（3）圓錐投影變形特點(diǎn):①變形只與緯度有關(guān)，與經(jīng)差無關(guān)，同一緯線上的變形是相同的；②切圓錐投影中，標(biāo)準(zhǔn)緯線上長(zhǎng)度比等于n。=1，其余緯線上長(zhǎng)度比均大于1，并向南、北方向增大；③在割圓錐投影中，標(biāo)準(zhǔn)緯線n1=n2=1,變形自標(biāo)準(zhǔn)緯線向內(nèi)、向外增大，在之間n<1,在之外n>1.

適合中緯度處沿緯線伸展的制圖區(qū)域之投影成都理工大學(xué)測(cè)量工程系（2）非幾何投影： 根據(jù)某些條件，用數(shù)學(xué)解析法確定球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系。 偽方位（圓柱、圓錐）投影是在方位（圓柱、圓錐）投影的基礎(chǔ)上，根據(jù)某些條件改變經(jīng)線形狀而成，無等角投影。除中央經(jīng)線為直線外，其余均投影為對(duì)稱中央經(jīng)線的曲線。 多圓錐投影：設(shè)想有更多的圓錐面與球面相切，投影后沿一母線剪開展平。緯線投影為同軸圓弧，其圓心都在中央經(jīng)線的延長(zhǎng)線上。中央經(jīng)線為直線，其余經(jīng)線投影為對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線。成都理工大學(xué)測(cè)量工程系成都理工大學(xué)測(cè)量工程系2.經(jīng)緯線形狀緯線是以極點(diǎn)為圓心的同心圓，經(jīng)線是同心圓的半徑，經(jīng)線夾角等于相應(yīng)的經(jīng)差。等角：緯線間距自投影中心向外逐漸增大。等積：緯線間距自投影中心向外逐漸減小。等距：緯線間距自投影中心向外保持不變。六.常用地圖投影正軸切方位投影1.投影條件投影面為平面，切于極點(diǎn)成都理工大學(xué)測(cè)量工程系3.變形分布規(guī)律：投影中心無變形，等變形線為以投影中心（極點(diǎn)）為圓心的同心圓。等角：沒有角度變形，但面積變形較大，離投影中心越遠(yuǎn)，面積、長(zhǎng)度變形增大。等積：沒有面積變形，但角度變形較大，離投影中心越遠(yuǎn)，角度、長(zhǎng)度變形增大。等距：角度、面積變形都不太大，離開中心愈遠(yuǎn)面積、長(zhǎng)度、角度、面積變形增大。4.應(yīng)用編繪兩極地區(qū)國(guó)際1：100萬地形圖。方位投影適合繪制區(qū)域輪廓大致為圓形的地圖。成都理工大學(xué)測(cè)量工程系橫軸方位投影1．投影條件投影面為平面，切點(diǎn)在赤道上。2．經(jīng)緯線形狀通過投影中心的中央經(jīng)線和赤道投影后為直線，其他經(jīng)緯線投影后都是對(duì)稱于中央經(jīng)線和赤道的曲線。等角、等積和等距中央經(jīng)線上的緯線間距特征同正軸方位投影3.變形分布規(guī)律投影中心無變形，等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。等角、等距和等積的變形特征同正軸方位投影。4．應(yīng)用常用于制作赤道附近地區(qū)和東西半球圖。成都理工大學(xué)測(cè)量工程系斜軸方位投影1．投影條件投影面為平面，切點(diǎn)位于兩極和赤道間的任一點(diǎn)上。2．經(jīng)緯線形狀中央經(jīng)線投影為直線，其他經(jīng)線投影為對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線，緯線投影為曲線，緯線為同焦點(diǎn)的橢圓弧。中央經(jīng)線上的緯線間距特征同正軸方位投影。3.變形分布規(guī)律投影中心無變形，等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。等角、等距和等積的變形特征同正軸方位投影。4．應(yīng)用主要用于編制亞洲、歐洲、北美等大區(qū)域地圖。成都理工大學(xué)測(cè)量工程系方位投影變形性質(zhì)的圖形判別及應(yīng)用①判別時(shí)先看構(gòu)成形式（經(jīng)緯線網(wǎng)），判別是正軸、橫軸、斜軸方位投影。②然后根據(jù)中央經(jīng)線上經(jīng)緯線間隔的變化，判別變形性質(zhì)。

成都理工大學(xué)測(cè)量工程系

圓錐投影按變形性質(zhì)分為等角、等積和等距圓錐投影三種，

正軸割圓錐投影成都理工大學(xué)測(cè)量工程系1．投影條件投影面為圓錐面，圓錐與球體相割。2．經(jīng)緯線形狀緯線呈同心圓弧，經(jīng)線為交于圓心的直線束，為同心圓弧的半徑，經(jīng)線間的夾角與經(jīng)差呈正比。3.變形分布規(guī)律兩條割線投影后沒有變形，兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向外為正變形，向里為負(fù)變形，凡是距標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)，變形絕對(duì)值越大。距離相等的地方，變形數(shù)量相等，因此圓錐投影上等變形線與緯線平行。

等角、等積、等距的緯線間距特征同方位投影4.應(yīng)用：中緯地區(qū)東西略長(zhǎng)，南北稍寬地區(qū)的地圖成都理工大學(xué)測(cè)量工程系百萬分一地形圖投影－等角正割圓錐投影新編國(guó)際百萬分一地圖采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角正割圓錐投影，自赤道起按緯差4°分帶，北緯84°以北和南緯80°以南采用等角方位投影。中國(guó)《1∶100萬地形圖編繪規(guī)范》規(guī)定采用邊緯線與中緯線長(zhǎng)度變形絕對(duì)值相等的雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角割圓錐投影,按緯差4°分帶長(zhǎng)度變形最大值:±0.03%面積變形最大值:±0.06%成都理工大學(xué)測(cè)量工程系正軸圓柱投影特點(diǎn)：經(jīng)緯線是互相垂直的直線，經(jīng)緯線方向是主方向。切圓柱投影，赤道是一條沒有變形