第九章-振動學基礎

第九章振動學基礎內容諧振動的特征和諧振動方程諧振動的振幅周期頻率相位諧振動的旋轉矢量表示法諧振動的能量諧振動的合成阻尼振動受迫振動共振學時作業(yè)

:習題

9－9，9－11，9－17

。講課學時3學時

要求1.理解諧振動的相位概念、諧振動的能量以及諧振動的合成；3.了解阻尼振動、受迫振動、共振。2.

掌握諧振動的旋轉矢量法;一簡諧振動振動：物體在某一位置附近的往返運動稱為

振動。

什么樣的振動是

簡諧振動(simpleharmonicvibration)§9-1

諧振動的特征和諧振動方程？物體受力

F=

－kx

物體受到的力與位移的一次方成正比且反向，具有這種特征的振動稱為簡諧振動，簡稱諧振動

二諧振動的運動方程令F=－kxF=maω2

=動力學方程§9-1

諧振動的特征和諧振動方程

方程的解為歐拉公式

cosθ+isinθ=

eiθ在經(jīng)典物理學中用實數(shù)表示物理量運動方程§9-1

諧振動的特征和諧振動方程速度

加速度§9-1

諧振動的特征和諧振動方程討論：1.

位移和加速度

反向，當

x=0時，

a=0；x最大，

a最大2.

速度落后

位移

π／2，當

x=

0

時，v

最大；x

為最大時，v=03.

v

為零時，a最大；v最大時，a為零位移、速度、加速度的時間曲線

中各量的物理意義：振幅

(amplitude)A

意義：因│cosα│≤1，故│x│≤A，振幅

A

就是振動物體離開平衡位置最大位移的數(shù)值周期

(period)T振幅

A

的大小反映了振動的強弱振動物體完成一個完全振動(來回一次)所需的時間，稱為振動的周期。§9-2

諧振動的振幅

周期頻率相位ωT=

2πT=

2π／ω

頻率

(frequency)f在單位時間內物體作全振動的次數(shù)，稱為振動物體的頻率。周期單位：次／秒，用赫芝(Hz)表示f=

1／T=ω／2πω=2πf

(circularfrequency)彈簧振子

ω2=k／m圓頻率角頻率

(angularfrequency)固有周期固有頻率

(naturalperiod)

(naturalfrequency)相位

(phase)稱為相位

(振動物體在時刻

t

的相位

)

決定物體在開始計時時刻的運動狀態(tài)決定某一時刻振動物體的運動狀態(tài)相位是決定某一時刻振動物體運動狀態(tài)的物理量初相位初始條件(initialcondition):t=0，x=

x0，v

=

v0

x0=Acosv0=－Aωsin(initialphase)振幅和初相位確實由初始條件確定

例

1

一勁度系數(shù)為

k

的彈簧，下端固定在地面上，上端壓一個質量為

m

的重物，重物使彈簧縮短

b=9.8cm。如果給物體一向下的瞬時沖擊力，使它以

1m·s-1

的向下速度啟動，并上下振動起來。試分析物體的運動規(guī)律，并求振動的頻率和振幅。

解：

以彈簧原長為坐標原點，向下為

y

軸正方向mg=kb

令

y′=y－

b

y

=y′

+b=－k(y－b)

可見，物體作諧振動

振動系統(tǒng)除受彈性力之外，還受有象重力這樣的恒力作用時，并不改變系統(tǒng)的振動情況，只會改變振動的平衡位置。=0.1m振幅矢量表示法振幅矢量的端點在

x軸上的投影點

P來回運動經(jīng)過

t后，A

與x

軸的夾角變?yōu)檎穹噶?/p>

A

在

x

軸上的投影··OPxxA

§9-

3

諧振動的旋轉矢量表示法

A

轉動的角速度為ω，轉一圈所掃過的角度為

2π，所用時間為

2π／ω

夾角反映出振動物體瞬時運動的狀態(tài)，它就是相位初相位

例

2

物體沿

x

軸作簡諧振動，振幅為12cm，周期為

2s，在

x=－6cm處，且向

x軸負方向運動，求物體的運動方程和從這一位置回到平衡位置所需的最短時間。解：A=

12×10-2mω=

2π／T=

2π／2=πs-1t=0時

，x0

=

－6cm，

v0＜0，或運動方程形式v0＜0，運動方程為回到平衡位置所需最短時間，令

x=0

就可求得用振幅矢量求更方便!回到平衡位置所需最短時間為

5／6

秒故應取xO·系統(tǒng)振動時，振動能量包括動能和勢能動能勢能振動能量§9-4

諧振動的能量在運動過程中機械能是守恒的，動能和勢能互相轉化x=0，vmax

，Ekmax

，Ep=0

；│x│=A

，v

=0

，Ek=0

，Epmax；

其它位置兩者都有平均動能平均勢能

平均動能與平均勢能相等，均為總能量的一半一同方向同頻率簡諧振動的合成x1=A1cos(ωt+x2=A2cos(ωt+用振幅矢量法來求合成

設x=x1+x2§9-

5

諧振動的合成xOA1A2Ax2x1x2xA1

和

A2

間的夾角x=x1+x2討論：1.

相位差

2.

相位差=│A1－A2│合振動振幅取值為A(A1+A2)≥≥│A1－A2│二同方向不同頻率簡諧振動的合成·拍x=x1+x2假定分振動的振幅和初相位都相等，分別為

A上式為和§9-

5

諧振動的合成合振動不再是簡諧振動。振幅為是周期性變化的討論：ω1

和

ω2

都較大，但相差甚微

│ω2－ω1│＜＜ω2+ω1

，隨時間的變化比隨時間的變化來要慢得多?？砂押险駝涌醋魇钦穹鶠閳A頻率為的諧振。振幅緩慢周期性變化，發(fā)生振幅時大時小，即振幅時強時弱的現(xiàn)象，把這種現(xiàn)象叫作

“拍”。拍振幅的周期拍頻拍頻為兩分振動頻率之差拍的圖示三

垂直方向同頻率簡諧振動的合成振動位移方程合振動的軌跡方程1.

橢圓方程§9-5

諧振動的合成

t時刻，質點離開平衡位置的位移xy·Osxy振幅結論:合振動仍是簡諧振動，頻率與分振動的頻率相同2.

合振動仍是同頻率的簡諧振動3.xyO

質點運動的軌跡是一個正橢圓,振動點是順時針方向運動的4.

軌跡不變，其運動方向為逆時針方向若

A1=A2兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動合成后合振動在一直線、橢圓或圓上進行

x2+y2=A12李薩茹圖形（Lissajous，figures）頻率的比與切點數(shù)的比成反比傅里葉分解(Fourieranalysis)

任何一個周期性的振動,都可以分解成頻率等于基頻整數(shù)倍的一些列諧振動的和，這就是傅里葉分解矩形周期振動的傅里葉分解一阻尼振動振幅隨時間而減小的振動稱為阻尼振動。阻尼振動也就是能量不斷減少的振動。阻力

F與速度

v

成正比，方向與速度的方向相反

F

=

－Cv運動方程為(dampedvibration)§9-6

阻尼振動受迫振動共振令由系統(tǒng)本身性質決定與系統(tǒng)本身的性質以及介質的性質都有關系

固有頻率阻尼因數(shù)x=Ae-δtcos(ωt+周期當阻尼系數(shù)較小，即δ2＜ω02

時受迫振動：在外來周期性力的持續(xù)作用下,

振動系統(tǒng)所發(fā)生的振動稱為受迫

振動。周期性的力稱為強迫力。強迫力令二受迫振動(forcedvibration)共振(resonance)F

cosωpt

§9-6

阻尼振動受迫振動共振根據(jù)微分方程理論，解為振動系統(tǒng)在強迫力作用下，經(jīng)過一段時間后即達到穩(wěn)定的振動狀態(tài)。阻尼振動簡諧振動當強迫力的圓頻率

ωp

接近振動系統(tǒng)的固有圓頻率ω0

時，振幅要急劇增大。當ωp=時，振幅達到極大值這種在外來周期力作用下達到極大的現(xiàn)象稱為共振。共振時的圓頻率稱為共振圓頻率。阻尼因數(shù)δ越小，共振時的圓頻率越接近于固有圓頻率

，振幅也越大。