初中數(shù)學(xué)華東師大版八年級(jí)下冊(cè)第十九章矩形菱形與正方形1矩形(g)

華師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十九章第一節(jié)19.同步練習(xí)一、選擇題1．矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角相等B．對(duì)邊相等C．對(duì)角線相等D．對(duì)角線互相平分答案：C解答：矩形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是對(duì)角線相等．分析：平行四邊形的對(duì)角線互相平分，矩形的對(duì)角線相等且平分．2．如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的F點(diǎn)處，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°答案：A解答：由翻折變換的性質(zhì)可知，在矩形ABCD中，又∠BAF＝60°，所以，所以．分析：根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可知△AEF≌△AED．3．若矩形的一條角平分線分一邊為3cm和5cm兩部分，則矩形的周長(zhǎng)為（）A．22cm B．26cm C．22cm或26cm D．28cm答案：C解答：如圖（1）所示，此時(shí)矩形的周長(zhǎng)為cm；如圖（2）所示，此時(shí)矩形的周長(zhǎng)為cm，所以選C．（1）（2）分析：如上圖所示，在矩形ABCD中∠ADC＝90°，因?yàn)镈E平分∠ADC，所以∠EDC＝∠ADC＝45°，所以在Rt△EDC中，DE＝EC．4．由矩形的一個(gè)頂點(diǎn)向其所對(duì)的對(duì)角線引垂線，該垂線分直角為1：3兩部分，則該垂線與另一條對(duì)角線的夾角為（）A．°B．45°C．30°D．60°答案：B解答：根據(jù)題意可以得到如下圖所示，因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，∠BAD＝90°，又因?yàn)榇咕€AE分∠BAD為1：3兩部分，所以∠DAE＝90°×＝°，所以∠ADB＝90°－∠DAE＝°，又OA＝OD，所以∠DAO＝∠ADO＝°，所以∠CAE＝∠DAE－∠DAO＝45°，即該垂線與另一條對(duì)角線的夾角為45°．分析：本題目的關(guān)鍵在于將數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形進(jìn)行解題．5．如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC，∠ADE＝∠CDE，那么∠BDC等于（）A．60°B．45°C．30°D．°答案：C解答：因?yàn)樵诰匦蜛BCD中∠ADC＝90°，又因?yàn)椤螦DE＝∠CDE，所以∠CDE＝∠ADC＝60°，又因?yàn)镈E⊥AC，所以△CDE為直角三角形，所以∠ACD＝30°，又因?yàn)镺D＝OC，所以∠BDC＝∠ACD＝30°．分析：矩形的對(duì)角線相等且平分．6．如圖，矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，且∠AED＝90°．當(dāng)AD＝10cm時(shí)，AB等于（）A．10cmB．5cmC．cmD．cm答案：B解答：在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，AD＝10cm，所以BE＝EC＝5cm，在△ABE與△DCE中，，所以△ABE≌△DCE，所以AE＝ED，又因?yàn)椤螦ED＝90°，所以∠EAD＝45°，所以∠BAE＝90°－∠EAD＝45°，所以AB＝BE＝5cm．分析：矩形的四個(gè)角都是直角．7．將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，AE、EF為折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折疊后，點(diǎn)C落在AD邊上的處，并且點(diǎn)B落在邊上的處．則BC的長(zhǎng)為（）A． B．2 C．3 D．答案：C解答：因?yàn)椤鰽BE≌，所以，，又因?yàn)椤螧＝90°，∠BAD＝90°，∠BAE＝30°，AB＝，所以BE＝1，AE＝2，＝60°，∠EAD＝60°，所以是等邊三角形，所以＝AE＝2，因?yàn)椤鰿EF≌，所以EC＝＝2，所以BC＝BE＋EC＝3．分析：△ABE與對(duì)折，兩個(gè)三角形全等，與對(duì)折，兩三角形也全等，根據(jù)邊角關(guān)系求出BC．8．一個(gè)長(zhǎng)方形在平面直角坐標(biāo)系中三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（2，2） B．（3，2）C．（3，3） D．（2，3）答案：B解答：如圖可知第四個(gè)頂點(diǎn)為（3，2），所以選B．分析：本題可在畫出圖后，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得知第四個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)為3，縱坐標(biāo)應(yīng)為2．9．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，M是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在矩形的邊上沿A?B?C?M運(yùn)動(dòng)，則△APM的面積y與點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路程x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是下圖中的（） A． B． C． D．答案：A解答：點(diǎn)P由A到B這一段中，三角形的AP邊上的高不變，因而面積是路程x的正比例函數(shù)，當(dāng)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，面積達(dá)到最大，值是1．在P由B到C這一段，面積隨著路程的增大而減??；到達(dá)C點(diǎn)，即路程是3時(shí)，最小是；由C到M這一段，面積越來(lái)越?。划?dāng)P到達(dá)M時(shí)，面積最小變成0．因而應(yīng)選A．分析：根據(jù)每一段函數(shù)的性質(zhì)，確定其解析式，特別注意根據(jù)函數(shù)的增減性，以及幾個(gè)最值點(diǎn)，確定選項(xiàng)比較簡(jiǎn)單．10．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5．過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)O作OE⊥AC交AD于E，則AE的長(zhǎng)是（）A． B．C．3 D．答案：D解答：如下圖，連接EC，由矩形的性質(zhì)可得AO＝CO，又因EO⊥AC，則由線段的垂直平分線的性質(zhì)可得EC＝AE，設(shè)AE＝x，則ED＝AD﹣AE＝5﹣x，在Rt△EDC中，根據(jù)勾股定理可得，即，解得x＝．故選D．分析：利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，得到EC與AE的關(guān)系，再由勾股定理計(jì)算出AE的長(zhǎng)．11．一次數(shù)學(xué)課上，老師請(qǐng)同學(xué)們?cè)谝粡堥L(zhǎng)為18厘米，寬為16厘米的矩形紙板上，剪下一個(gè)腰長(zhǎng)為10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其它兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上，則剪下的等腰三角形的面積為多少平方厘米（）A．50 B．50或40C．50或40或30 D．50或30或20答案：C解答：如圖四邊形ABCD是矩形，AD＝18cm，AB＝16cm；本題可分三種情況：①如圖（1）：△AEF中，AE＝AF＝10cm；所以＝?AE?AF＝50；（1）（2）（3）②如圖（2）：△AGH中，AG＝GH＝10cm；在Rt△BGH中，BG＝AB－AG＝16－10＝6cm；根據(jù)勾股定理有：BH＝8cm；所以＝AG?BH＝＝40；③如圖（3）：△AMN中，AM＝MN＝10cm；在Rt△DMN中，MD＝AD－AM＝18－10＝8cm；根據(jù)勾股定理有DN＝6cm；所以＝AM?DN＝．故選C．分析：本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于能夠進(jìn)行正確的討論．12．如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，若∠BAD′＝30°，則∠AED′等于（）A．30° B．45°C．60° D．75°答案：C解答：根據(jù)題意得：∠DAE＝∠EAD′，∠D＝∠D′＝90°，又因?yàn)椤螧AD′＝30°，所以∠EAD′＝（90°－30°）＝30°，所以∠AED′＝90°－30°＝60°．故選C．分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)求∠EAD′，再在Rt△EAD′中求∠AED′．13．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥BD于E，延長(zhǎng)AF、EC交于點(diǎn)H，下列結(jié)論中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED；正確的是（）A．②③ B．③④C．①②④ D．②③④答案：D解答：∵AB＝1，AD＝，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1，∴△OAB，△OCD為正三角形，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一個(gè)等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，∴BF＝BO即②正確；∵AF平分∠DAB，∴∠FAD＝45°，∴∠CAH＝45°－30°＝15°，∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性質(zhì)）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH即③正確；由正三角形上的高的性質(zhì)可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED即④正確；若AF＝FH，那么點(diǎn)F為等腰三角形CAH的中點(diǎn)，那么CB垂直于AH，顯然不成立，①所以不正確．故選D．分析：這是一個(gè)特殊的矩形：對(duì)角線相交成60°的角．利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合圖中的特殊角度解答．14．如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOB＝60°，AB＝2，則矩形的對(duì)角線AC的長(zhǎng)是（）A．2 B．4C． D．答案：B解答：因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，所以AO＝AC＝BD＝BO，又因?yàn)椤螦OB＝60°，所以△AOB是等邊三角形，所以AO＝AB＝2，所以AC＝2AO＝4．故選B．分析：本題的關(guān)鍵是利用等邊三角形和矩形對(duì)角線的性質(zhì)求長(zhǎng)度．15．已知AC為矩形ABCD的對(duì)角線，則圖中∠1與∠2一定不相等的是（）A． B．C． D．答案：D解答：A項(xiàng)的對(duì)頂角相等；B，C項(xiàng)不確定；D項(xiàng)一定不相等，因?yàn)椤?＝∠ACD，∠2＞∠ACD．分析：本題主要是利用三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角來(lái)分析．二、填空題16．在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若對(duì)角線AC＝10cm，邊BC＝8cm，則△ABO的周長(zhǎng)為．答案：16cm解答：在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，對(duì)角線AC＝10cm，∴∠ABC＝90°，OA＝OB＝AC＝5cm，∵BC＝8cm，∴AB＝cm，∴△ABO的周長(zhǎng)為：OA＋OB＋AB＝16cm．分析：根據(jù)勾股定理求出邊AB的長(zhǎng)度是本題的解題關(guān)鍵．17．矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O，∠AOB＝60°，AB＝8，則矩形對(duì)角線的長(zhǎng)．答案：16解答：如下圖所示，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC＝BD，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA＝AB＝8，∴AC＝BD＝16．分析：本題的關(guān)鍵在于△AOB是等邊三角形的判定與其性質(zhì)的利用．18．矩形的兩條對(duì)角線的夾角為60°，一條對(duì)角線與短邊的和為15，則短邊的長(zhǎng)是 ，對(duì)角線的長(zhǎng)是 ．答案：5|10解答：如下圖所示，∠AOB＝60°，AB＋AC＝15；∵在矩形ABCD中，∠AOB＝60°，∴△AOB是正三角形，∴AB＝OA，∴AC＝2AB，又∵AB＋AC＝15，∴AB＝5，AC＝10即短邊的長(zhǎng)是5，對(duì)角線的長(zhǎng)是10．分析：矩形的性質(zhì)與兩條對(duì)角線的夾角為60°相結(jié)合得到所需的正三角形．19．矩形ABCD的對(duì)角線相交于O，AC＝2AB，則△COD為三角形．答案：等邊三角形解答：在矩形ABCD中，AO＝OC＝OB＝OD，∵AC＝2AB，∴AO＝OB＝AB，∴△COD為等邊三角形．分析：矩形的兩條對(duì)角線相等且平分．20．如果一個(gè)矩形較短的邊長(zhǎng)為5cm，兩條對(duì)角線所夾的角為60°，則這個(gè)矩形的面積是．答案：cm2解答：如下圖，AB＝5cm，∠AOB＝60°，∵在矩形ABCD中，AO＝OC＝OB＝OD，又∵∠AOB＝60°，∴△AOB為等邊三角形，∵AB＝5cm，∴AO＝AB＝5cm，AC＝10cm，∴cm，∴這個(gè)矩形的面積為：cm2．分析：矩形的兩條對(duì)角線相等且平分．三、解答題21．已知，如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是OA，OB的中點(diǎn)．（1）求證：△ADE≌△BCF；答案：解答：證明：∵ABCD是矩形，∴AD＝BC，OA＝OB，∠DAB＝∠CAB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠DAB－∠OAB＝∠CBA－∠OBA，即∠DAE＝∠CBF，∵E，F(xiàn)分別是OA，OB的中點(diǎn)，∴AE＝OA，BF＝OB，∴AE＝BF，∴△ADE≌△BCF（SAS）．（2）若AD＝4cm，AB＝8cm，求OF的長(zhǎng)．答案：cm解答：解：在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝8cm，∴BC＝4cm，DC＝8cm，∴BD＝cm，∴cm，又∵F是OB的中點(diǎn)，∴OF＝OB＝cm．分析：矩形的兩條對(duì)角線相等且平分．22．如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝8cm，BC＝10cm，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)F處，折痕為AE，求CE的長(zhǎng)．答案：3cm解答：解：根據(jù)題意可得：BC＝AD＝AF＝10cm，DE＝DF，又∵在ABF中，∠ABF＝90°，∴cm，∴FC＝BC－BF＝4cm，設(shè)CE＝x，那么EF＝DE＝8－x，又∵∠C＝90°，所以即，∴x＝3，∴CE＝3cm．分析：通過(guò)翻折的性質(zhì)，將所求和已知的線段轉(zhuǎn)換到同一個(gè)三角形中是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°．（1）求∠2的度數(shù)．答案：30°解答：解：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°，∴∠AEB＝∠EAD＝45°，∴∠2＝∠AEB－∠1＝30°．（2）求證：BO＝BE．答案：3cm解答：證明：由（1）可知∠2＝30°，∴∠BAO＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，∴OB＝AB，∵∠AEB＝∠EAD＝∠BAE＝45°，∴AB＝BE，∴BO＝BE．分析：（1）利用矩形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可知∠AEB＝∠EAD＝45°，那么∠2＝∠AEB－∠1＝30°；（2）通過(guò)∠2＝30°，∠BAO＝60°，證得△OAB是等邊三角形，結(jié)合AB＝BE可得BO＝BE．