異方差修正序列相關原因

異方差修正序列相關原因第一頁，共六十七頁，2022年，8月28日2（對一元模型，其輔助回歸模型：）

（3）可以證明，在同方差假設下：(*)

R2為(*)的可決系數，h為(*)式解釋變量的個數，表示漸近服從某分布。(4)在原假設H0：，（i=0，1，2，3，4，5）若，則拒絕H0，表明回歸參數至少有一個顯著不為零，擾動項存在異方差性。iiiiiiiiXXXXXXeeaaaaaa++++++=215224213221102第二頁，共六十七頁，2022年，8月28日3

Eviews中的White檢驗步驟：（1）建立回歸模型：LSYCX（2）檢驗異方差：

1)命令：

View\ResidualTest\White\Heteroskedasticity2)在選項中選擇在輔助模型中是否包含交叉乘積項（Crossterms）

3)輸出結果中Obs*R-squared即White檢驗統(tǒng)計量，由其雙側概率可判斷是否拒絕無異方差性的原假設。第三頁，共六十七頁，2022年，8月28日4例如：欲判斷某二元回歸模型是否存在異方差。輔助回歸模型有4個解釋變量，不存在交叉項。則執(zhí)行命令后，顯示EViews的輔助回歸模型估計結果（見下表）：第四頁，共六十七頁，2022年，8月28日5當顯著性水平為0.05時，由于所以存在異方差。實際上，統(tǒng)計量的P值為0.0135，小于0.05的水平，所以存在異方差。實際應用中，一般是直接觀察P值的大小，若P值校小，則拒絕不存在異方差的假設，認為模型存在異方差。第五頁，共六十七頁，2022年，8月28日6注意：

輔助回歸仍是檢驗與解釋變量可能的組合的顯著性，因此，輔助回歸方程中還可引入解釋變量的更高次方。

如果存在異方差性，則表明確與解釋變量的某種組合有顯著的相關性，這時往往顯示出有較高的可決系數以及某一參數的t檢驗值較大。當然，在多元回歸中，由于輔助回歸方程中可能有太多解釋變量，從而使自由度減少，有時可去掉交叉項。第六頁，共六十七頁，2022年，8月28日7六、異方差的修正

常見以下四種修正方法：1.模型對數變換法2.原模型變換法3.加權最小二乘法4.廣義最小二乘法第七頁，共六十七頁，2022年，8月28日81.模型對數變換法

在模型Yi=0+1Xi+i中，變量Yi和Xi分別用lnYi和lnXi

取代，則對全對數模型：

lnYi=0+1lnXi+i

進行回歸后，通?？山档彤惙讲钚缘挠绊憽?/p>

原因：

⑴對數變換能使測定變量值的尺度縮小。⑵經對數變換的模型，其殘差表示為相對誤差，而相對誤差往往具有較小的差異。全對數模型中，1

可看作反映Y對X的彈性，即Y相對于X的百分比變化，這在實際分析中有較強的應用意義。第八頁，共六十七頁，2022年，8月28日92.原模型變換法

對存在異方差的模型作適當的變量變換，使變換后的模型滿足同方差假定，則可用OLS重新估計模型，得最佳線性無偏估計。模型的前提是要合理確定異方差性的具體形式，這可以通過對問題的經驗分析，或用帕克檢驗，戈里瑟檢驗等方法所提供異方差的具體形式來確定。第九頁，共六十七頁，2022年，8月28日10設模型為：Yi=0+1Xi+I（＊）

擾動項i具有異方差性，由前面Glejser檢驗知，異方差性與Xi的變化有關，且σ2為常數，?(Xi)為解釋變量Xi的函數，當?(Xi)=1時，為同方差；當?(Xi)≠1時，為異方差。用去乘原模型的兩端得第十頁，共六十七頁，2022年，8月28日11記，則vi具有同方差性。事實上，函數?(Xi)可以有不同的形式，Glejser檢驗提供了相應的信息。?(Xi)一般取如下形式：第十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日12（1）

?(Xi)=Xi,

則Var(μi)=σ2Xi。對原模型兩端同除得令，則Var(vi)為同方差，因為第十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日13（2）

?(Xi)=Xi2,

則Var(μi)=σ2Xi2。對原模型兩端同除得令，則Var(vi)為同方差，因為第十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日14（3）?(Xi)=（a0+a1Xi)2

，則Var(μi)=σ2（a0+a1Xi)2。對原模型兩端同除（a0+a1Xi)得令，則Var(vi)為同方差，因為第十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日15注意：對原模型變換的方法與加權最小二乘法實際上是等價的，他們最多相差一個常數因子；對原模型變換后的擬合優(yōu)度有可能變小，這是對樣本觀測值加權的結果。第十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日163.加權最小二乘法(WLS)

模型檢驗出存在異方差性，可用加權最小二乘法（WeightedLeastSquares,WLS）進行估計。加權最小二乘法的基本思想：

加權最小二乘法是對原模型加權，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用OLS估計其參數。即對加了權重的殘差平方和實施OLS法：其中：Wi為權數21102)]???([??+++-=kkiiiiXXYWeWbbb…第十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日17

設Var(μi)隨X的遞增而遞增，則：對較小的殘差平方ei2賦予較大的權數；對較大的殘差平方ei2賦予較小的權數。以更好地使∑ei2反映Var(μi)對殘差平方和的影響程度，從而改善參數估計的統(tǒng)計性質。設取權數Wi為1/σi2(i=1,2,…,n)，且σi2越小Wi越大，σi2越大Wi越小。因此，稱為加權的殘差平方和，運用最小二乘法得參數估計式：1102??([??+-=iiiiX)]2YWeWbb第十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日18其中，這一求解參數估計的方法為加權最小二乘法。容易看出，當w1=w2=…=wn時，即對于每一個樣本有相同的權數，則加權最小二乘估計式就是普通最小二乘估計式。第十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日19EViews中可直接進行加權最小二乘估計，但需要事先確定權數變量，這可以通過Park檢驗、Glejser檢驗等判斷異方差的具體形式，也可以選取某個與異方差變動趨勢反向變動的變量序列，如1/|et|,1/et2等等。第十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日20EViews具體執(zhí)行過程：

(1)生成權數變量；(2)使用加權最小二乘法估計模型，命令和菜單兩種方式。命令方式：LS(W=權數變量或表達式)YCX菜單方式：在方程窗口中點擊“Estimate”按鈕；在彈出的方程說明對話框中點擊“Option”進入參數設置對話框；在參數設置對話框中選定“WeightedLS”方法，并在權數變量欄中輸入權數變量，然后點擊“OK”返回方程說明對話框；點擊“OK”，系統(tǒng)將采用WLS方法估計模型。(3)對估計后的模型，再使用White檢驗判斷是否消除了異方差性。第二十頁，共六十七頁，2022年，8月28日21

對于模型Y=X+存在：

即存在異方差性。

顯然W是一對稱正定矩陣，故存在一可逆矩陣D使得:

W=DD’

W=é?êêêêù?úúúúwwwn12…4.廣義最小二乘法（GLS）第二十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日22用D-1乘以方程：Y=X+的兩邊，得到一個新的模型：

該模型具有同方差性。因為

1211211111)()()(--------￠￠=￠=￠￠=￠￠=￠DDDDDWDDμμDDμμDμμ**ssEEE第二十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日23

這就是原模型Y=X+的加權最小二乘估計量，是無偏、有效的估計量。

這里權矩陣為D-1，它來自于原模型殘差項的方差-協(xié)方差矩陣2W

。第二十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日24

如何得到2W

？

從前面的推導過程看，它來自于原模型殘差項的方差—協(xié)方差矩陣。因此仍對原模型進行OLS估計，得到隨機誤差項的近似估計量，以此構成權矩陣的估計量，即這時可直接以

作為權矩陣。

úúú?ùêêê?é=2212?nee…Ws|}|/1,|,|/1|,|/1{211neeediagL=-D第二十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日25

注意：

在實際操作中人們通常采用如下的經驗方法：

不對原模型進行異方差性檢驗，而是直接選擇加權最小二乘法，尤其是采用截面數據作樣本時。如果確實存在異方差，則被有效地消除了；如果不存在異方差性，則加權最小二乘法等價于普通最小二乘法。第二十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日26七、案例分析案例1—我國城鎮(zhèn)居民收入對通信交通支出的影響第二十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日27七、案例分析

例

中國農村居民人均消費支出主要由人均純收入來決定。農村人均純收入包括：(1)從事農業(yè)經營的收入；(2)包括從事其他產業(yè)的經營性收入(3)工資性收入；(4)財產收入；(4)轉移支付收入?？疾鞆氖罗r業(yè)經營的收入(X1)和其他收入(X2)對中國農村居民消費支出(Y)增長的影響，可用以下雙對數模型：案例2——中國農村居民人均消費函數第二十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日28表4.1.4中國2001年各地區(qū)農村居民家庭人均純收入與消費支出相關數據（單位：元）

地區(qū)

人均消費

支出Y從事農業(yè)經營

的收入

1X其他收入

2X

地區(qū)

人均消費

支出

Y

從事農業(yè)經營

的收入

1X

其他收入

2X

北

京

3552.1

579.1

4446.4

湖

北

2703.36

1242.9

2526.9

天

津

2050.9

1314.6

2633.1

湖

南

1550.62

1068.8

875.6

河

北

1429.8

928.8

1674.8

廣

東

1357.43

1386.7

839.8

山

西

1221.6

609.8

1346.2

廣

西

1475.16

883.2

1088.0

內蒙古

1554.6

1492.8

480.5

海

南

1497.52

919.3

1067.7

遼

寧

1786.3

1254.3

1303.6

重

慶

1098.39

764.0

647.8

吉

林

1661.7

1634.6

547.6

四

川

1336.25

889.4

644.3

黑龍江

1604.5

1684.1

596.2

貴

州

1123.71

589.6

814.4

上

海

4753.2

652.5

5218.4

云

南

1331.03

614.8

876.0

江

蘇

2374.7

1177.6

2607.2

西

藏

1127.37

621.6

887.0

浙

江

3479.2

985.8

3596.6

陜

西

1330.45

803.8

753.5

安

徽

1412.4

1013.1

1006.9

甘

肅

1388.79

859.6

963.4

福

建

2503.1

1053.0

2327.7

青

海

1350.23

1300.1

410.3

江

西

1720.0

1027.8

1203.8

寧

夏

2703.36

1242.9

2526.9

山

東

1905.0

1293.0

1511.6

新

疆

1550.62

1068.8

875.6

河

南

1375.6

1083.8

1014.1

第二十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日29普通最小二乘法的估計結果：

可看出：其他收入（不是農業(yè)經營收入）的增長，對農村人均消費支出的增長更有刺激作用。第二十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日30異方差檢驗

從結果分析中可認為，不同地區(qū)農村人均消費支出的差別主要來源于非農經營收入和其他收入的差別。因此，如果存在異方差性，則可能是X2引起的。第三十頁，共六十七頁，2022年，8月28日31圖示檢驗法表明存在單調遞增型異方差第三十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日32進一步的統(tǒng)計檢驗

(1)G-Q檢驗

將原始數據按X2排成升序，去掉中間的7個數據，得兩個容量為12的子樣本。對兩個子樣本分別作OLS回歸，求各自的殘差平方和RSS1和RSS2：

第三十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日33表4.1.4中國2001年各地區(qū)農村居民家庭人均純收入與消費支出相關數據（單位：元）

地區(qū)

人均消費

支出Y從事農業(yè)經營

的收入

1X其他收入

2X

地區(qū)

人均消費

支出

Y

從事農業(yè)經營

的收入

1X

其他收入

2X

北

京

3552.1

579.1

4446.4

湖

北

2703.36

1242.9

2526.9

天

津

2050.9

1314.6

2633.1

湖

南

1550.62

1068.8

875.6

河

北

1429.8

928.8

1674.8

廣

東

1357.43

1386.7

839.8

山

西

1221.6

609.8

1346.2

廣

西

1475.16

883.2

1088.0

內蒙古

1554.6

1492.8

480.5

海

南

1497.52

919.3

1067.7

遼

寧

1786.3

1254.3

1303.6

重

慶

1098.39

764.0

647.8

吉

林

1661.7

1634.6

547.6

四

川

1336.25

889.4

644.3

黑龍江

1604.5

1684.1

596.2

貴

州

1123.71

589.6

814.4

上

海

4753.2

652.5

5218.4

云

南

1331.03

614.8

876.0

江

蘇

2374.7

1177.6

2607.2

西

藏

1127.37

621.6

887.0

浙

江

3479.2

985.8

3596.6

陜

西

1330.45

803.8

753.5

安

徽

1412.4

1013.1

1006.9

甘

肅

1388.79

859.6

963.4

福

建

2503.1

1053.0

2327.7

青

海

1350.23

1300.1

410.3

江

西

1720.0

1027.8

1203.8

寧

夏

2703.36

1242.9

2526.9

山

東

1905.0

1293.0

1511.6

新

疆

1550.62

1068.8

875.6

河

南

1375.6

1083.8

1014.1

第三十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日34

子樣1子樣2地區(qū)YX1X2地區(qū)YX1X2青海1350.21300.1410.3遼寧1786.31254.31303.6內蒙古1554.61492.8480.5山西1221.6609.81346.2吉林1661.71634.6547.6山東1905.01293.01511.6黑龍江1604.51684.1596.2河北1429.8928.81674.8四川1336.3889.4644.3福建2503.11053.02327.7重慶1098.4764.0647.8寧夏2703.41242.92526.9陜西1330.5803.8753.5湖北2703.41242.92526.9貴州1123.7589.6814.4江蘇2374.71177.62607.2廣東1357.41386.7839.8天津2050.91314.62633.1湖南1550.61068.8875.6浙江3479.2985.83596.6云南1331.0614.8876.0北京3552.1579.14446.4西藏1127.4621.6887.0上海4753.2652.55218.4第三十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日35子樣本1：

(3.18)(4.13)(0.94)R2=0.7068，RSS1=0.0648

子樣本2：

(0.43)(0.73)(6.53)R2=0.8339，RSS2=0.2729第三十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日36計算F統(tǒng)計量：

F=RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.31

查表給定=5%，查得臨界值F0.05(9,9)=3.18判斷

F>F0.05(9,9)

否定兩組子樣方差相同的假設，從而該總體隨機項存在遞增異方差性。第三十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日37（2）懷特檢驗

作輔助回歸:

（-0.04(0.10)(0.21)(-0.12)(1.47)(-1.11)R2=0.4638

似乎沒有哪個參數的t檢驗是顯著的。但

nR2=31*0.4638=14.38=5%下，臨界值，nR2

＞

所以，拒絕同方差性的原假設。第三十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日38去掉交叉項后的輔助回歸結果

(1.36)(-0.64)(064)(-2.76)(2.90)R2=0.4374查表得臨界值：所以，X2項與X2的平方項的參數的t檢驗是顯著的,且nR2

=310.4374=13.56

=5%下，臨界值20.05(4)=9.49，因此，拒絕同方差的原假設。

第三十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日39原模型的加權最小二乘回歸

對原模型進行OLS估計，得到隨機誤差項的近似估計量ěi，以此構成權矩陣2W的估計量；再以1/|ěi|為權重進行WLS估計，得可看出：各項統(tǒng)計檢驗指標全面改善第三十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日40一、序列相關性概念二、實際經濟問題中的序列相關性

三、序列相關性的產生原因及后果四、序列相關性的檢驗五、案例§4.2序列相關性

第四十頁，共六十七頁，2022年，8月28日41一、序列相關性概念

如果對于不同的樣本點，隨機誤差項之間不再是不相關的，而是存在某種相關性，則認為出現了序列相關性(SerialCorrelation)。

對于模型

Yi=0+1X1i+2X2i+…+kXki+i

i=1,2,…,n隨機項互不相關的基本假設表現為

Cov(i

,j)=0ij,i,j=1,2,…,n第四十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日42或IΩ22ss1=第四十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日43

稱為一階序列相關，或一階自相關（autocorrelation），或一階自回歸。

其中：被稱為一階自相關系數（first-ordercoefficientofautocorrelation）隨機擾動項的序列相關可有多種形式⑴一階序列相關形式即隨機擾動項只與它的前一期值相關。如果僅存在

cov(t,t-1)＝

E(t

t-1)0

或t=1,2,…,n一階自相關往往可寫成如下形式：

t=t-1+t-1<<1第四十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日44

由于序列相關性經常出現在以時間序列為樣本的模型中，因此，本節(jié)將用下標t代表i。

⑵p階序列相關形式（模型存在p階序列相關）

t=1t-1+2t-2+…+

pt-p+t

此為序列相關（自相關）的一般形式t是滿足以下OLS基本假定的隨機擾動項：

0)(=tEe,2)var(se=t,0),cov(=stee

s1t

第四十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日45二、實際經濟問題中的序列相關性

大多數經濟時間數據都有一個明顯的特點:慣性，表現在時間序列在不同時間的前后關聯(lián)上。由于消費習慣的影響被包含在隨機誤差項中，則可能出現序列相關性（往往是正相關）。例如，絕對收入假設下居民總消費函數模型：

Ct=0+1Yt+tt=1,2,…,n1.經濟變量固有的慣性第四十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日462.模型設定的偏誤

所謂模型設定偏誤（Specificationerror）是指所設定的模型“不正確”。主要表現在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數形式有偏誤。

例如，本來應該估計的模型為

Yt=0+1X1t+2X2t+3X3t+t但在模型設定中做了下述回歸：

Yt=0+1X1t+1X2t+

vt又如：現期消費水平（Ct）往往受到其上一期的影響，若放入U中即存在自相關。Ct=B0+B1Ct-1+B2Yt第四十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日47因此，vt=3X3t+t，如果X3確實影響Y，則出現序列相關。又如：如果真實的邊際成本回歸模型應為：

Yt=0+1X1t+2X1t2+t其中：Y=邊際成本，X=產出。但建模時設立了如下模型：

Yt=0+1X1t+vt因此，由于vt=2X1t2+t

，包含了產出的平方對隨機項的系統(tǒng)性影響，隨機項也呈現序列相關性。第四十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日483.數據的“編造”

例如：季度數據來自月度數據的簡單平均，這種平均的計算減弱了每月數據的波動性，從而使隨機干擾項出現序列相關。

在實際經濟問題中，有些數據是通過已知數據生成的。因此，新生成的數據與原數據間就有了內在的聯(lián)系，表現出序列相關性。

第四十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日49（一）產生原因

1.許多經濟變量往往存在序列相關是因為其時間序列有一種慣性，呈現出時間趨勢變化，且其前后期總相關（如上例）。對這種經濟變量（作為因變量）的模型作回歸分析時，若其滯后量不作為解釋變量,其影響必反映在隨機擾動項u中，導致u前后期的自相關。同時u中非重要解釋變量之間的自相關，也可引起u的自相關。以上自相關也稱“偽自相關”。三、序列相關性的產生原因和后果

從一般經驗講，對于采用時間序列數據作樣本的計量經濟學問題，由于在不同樣本點上解釋變量以外的其他因素在時間上的連續(xù)性，帶來它們對被解釋變量的影響的連續(xù)性，所以往往存在序列相關性。第四十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日502。構造模型錯誤

如構造Y=A+BX為線性，但實際應為曲線形式。錯誤的模型形式所產生對Y的系統(tǒng)影響帶入u中，使u呈序列相關趨勢。3。許多情況下，u本身存在自相關性（“真正自相關”）

如生產過程中出現的偶然事故，天災等，不僅影響生產，且影響以后的時期，從而導致自相關。

第五十頁，共六十七頁，2022年，8月28日514.數據的處理方法實際問題中，有時為需要，原始數據往往都經過擬合“編造”處理，即有些數據是通過已知數據生成的。故新原數據間的內在聯(lián)系，表現出序列相關性。例如，季度數據來自月度數據的簡單平均，這種平均的計算減弱了每月數據的波動而引進了數據中的勻滑性，此勻滑性本身就能使隨機擾動項中出現系統(tǒng)性的因素，從而出現序列相關性。當然原因還有很多，不一一列舉。第五十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日521.參數估計量非有效

因為，在有效性證明中利用了

E(uu’)=2I即同方差性和互相獨立性條件。而且，在大樣本情況下，參數估計量雖然具有一致性，但仍然不具有漸近有效性。（二）后果

計量經濟學模型一旦出現序列相關性，如果仍采用OLS法估計模型參數，會產生下列不良后果：第五十二頁，共六十七頁，2022年，8月28日53

2.變量的顯著性檢驗失去意義

在變量的顯著性檢驗中，統(tǒng)計量是建立在參數方差正確估計基礎之上的，這只有當隨機誤差項具有同方差性和互相獨立性時才能成立。如果存在序列相關，估計的參數方差出現偏誤（偏大或偏?。瑃檢驗就失去意義。

其他檢驗也是如此。第五十三頁，共六十七頁，2022年，8月28日543.模型的預測失效

區(qū)間預測與參數估計量的方差有關，在方差（標準差）有偏誤的情況下，使得預測估計不準確，預測精度降低。所以，當模型出現序列相關性時，它的預測功能失效。第五十四頁，共六十七頁，2022年，8月28日55

然后，通過分析這些“近似估計量”之間的相關性，以判斷隨機誤差項是否具有序列相關性。

序列相關性各檢驗方法的基本思路都相同：基本思路:

四、序列相關性的檢驗首先，采用OLS法估計模型，以求得隨機誤差項的

“近似估計量”，用ei表示：

lsiiiYYe0)?(-=檢驗方法多：如回歸檢驗法、DW檢驗、馮諾曼比檢驗等第五十五頁，共六十七頁，2022年，8月28日561.圖示法幾種常用檢驗方法：第五十六頁，共六十七頁，2022年，8月28日572.回歸檢驗法

……

t=2,…,nt=3,…,n對方程估參并作顯著性檢驗。以te為被解釋變量，以各種可能的相關量，諸如以1-te、2-te、2te等為解釋變量，建立各種方程：

ttteeer+=-1tttteeeerr++=--2211第五十七頁，共六十七頁，2022年，8月28日58

如果存在某一種函數形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在序列相關性。

回歸檢驗法的優(yōu)點是：（1）能夠確定序列相關的形式。（2）適用于任何類型序列相關性問題的檢驗。

但工作量大，計算復雜繁瑣。第五十八頁，共六十七頁，2022年，8月28日593.杜賓—瓦森（Durbin-Watson，D-W）檢驗法

D-W檢驗是杜賓（J.Durbin）和瓦森(G.S.Watson)于1951年提出的一種檢驗序列自相關的方法。該方法的假定條件是：（1）解釋變量X非隨機；（2）隨機誤差項i為一階自回歸形式：

i=i-1+i第五十九頁，共六十七頁，2022年，8月28日60（3）回歸模型中不應含有滯后應變量作為解釋變量，即不應出現下列形式：

Yi=0+1X1i+kXki+Yi-1+i（4）回歸含有截距項針對原假設：H0:=0，即不具有一階自相關形式

對立假設：H1:≠0即具有一階自相關形式

為的自相關系數，且∣∣≤1構造如下統(tǒng)計量：

D.W.統(tǒng)計量:第六十頁，共六十七頁，2022年，8月28日61

該統(tǒng)計量的分布與出現在給定樣本中的X值有復雜的關系，因此其精確的分布很難得到。

但是，他們成功地導出了臨界值的下限dL和上限dU

，且這些上下限只與樣本的容量n和解釋變量的個數k有關，而與解釋變量X的取值無關。注意：n≥15

??==--=nttnttteeeWD12221)(..第六十一頁，共六十七頁，2022年，8月28日62D.W檢驗步驟:（1）計算DW值（2）給定顯著性水平，由n和k的大小查DW分布表，得臨界值的下限dL和上限dU（3）比較、判斷：

若