能量原理與變分法

2013年9-10月固體力學(xué)非線性數(shù)值方法2/6/20231第一章彈性力學(xué)簡介

第二節(jié)：能量原理與變分法1、彈性體形變勢能2、泛函與變分——最小勢能原理、里茲（Ritz）法、伽遼金（Galerkin）法3、位移變分方程4、應(yīng)力變分方程——最小余能原理、卡氏（Castigliano）定理5、自然變分原理和廣義變分原理6、彈性力學(xué)修正變分原理2/6/202321.彈性力學(xué)問題的微分提法及其解法：（1）平衡微分方程（2）幾何方程（3）物理方程（4）邊界條件應(yīng)力邊界條件；位移邊界條件；定解問題求解方法：（1）按位移求解基本方程：（a）以位移為基本未知量的平衡微分方程;（2）按應(yīng)力求解基本方程：（a）平衡微分方程；（b）邊界條件。（b）相容方程；（c）邊界條件。（a）歸結(jié)為求解聯(lián)立的微分方程組；求解特點(diǎn)：（b）難以求得解析解。從研究微小單元體入手，考察其平衡、變形、材料性質(zhì)，建立基本方程：（3）混合解法2/6/202332.彈性力學(xué)問題的變分提法及其解法：基本思想：在所有可能的解中，求出最接近于精確解的解；將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組。彈性力學(xué)中的變分原理——能量原理直接處理整個(gè)彈性系統(tǒng)，考慮系統(tǒng)的能量關(guān)系，建立一些泛函的變分方程，將彈性力學(xué)問題歸結(jié)為在給定約束條件下求泛函極（駐）值的變分問題。（變分解法也稱能量法）（a）以位移為基本未知量，得到最小勢（位）能原理等。（b）以應(yīng)力為基本未知量，得到最小余能原理等。（c）同時(shí)以位移、應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)槲粗浚瑥V義（約束）變分原理。——位移法——力法——混合法有限單元法、邊界元法、離散元法等數(shù)值解法。求解方法：里茲（Ritz）法、伽遼金（Galerkin）法、最小二乘法、力矩法等。2/6/202343.彈性力學(xué)問題的數(shù)值解法：（a）直接求解聯(lián)立的微分方程組（彈性力學(xué)的基本方程）——有限差分法；基本思想：將導(dǎo)數(shù)運(yùn)算近似地用差分運(yùn)算代替；將定解問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼饩€性方程組。典型軟件：FLAC實(shí)質(zhì)：將變量離散。（b）對變分方程進(jìn)行數(shù)值求解——有限單元法、邊界元法、離散元法等典型有限元軟件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS等；基本思想：將求解區(qū)域離散，離散成有限個(gè)小區(qū)域（單元），在小區(qū)域（單元）上假設(shè)可能解，最后由能量原理（變分原理）確定其最優(yōu)解?！獙栴}轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼獯笮偷木€性方程組。2/6/20235§1彈性體的變形能（應(yīng)變能）1.變形能的一般表達(dá)式Pxl0l單向拉伸：PlO外力所做的功：由于在靜載（緩慢加載）條件下，其它能量損失很小，所外力功全部轉(zhuǎn)化桿件的變形能（或應(yīng)變能）U：桿件的體積令：——單位體積的變形能（應(yīng)變能），稱為應(yīng)變能密度。2/6/20236三向應(yīng)力狀態(tài)：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：

xyz整個(gè)彈性體的應(yīng)變能：若用張量表示：應(yīng)變能密度：整體應(yīng)變能：由能量守恒原理，形變勢能的值與彈性體受力的次序無關(guān)，只取決于最終的狀態(tài)。假定所有應(yīng)力分量與應(yīng)變分量全部按比例增加（線彈性），此時(shí)，單元體的應(yīng)變能密度：2/6/202372.應(yīng)變能的應(yīng)力分量表示在線彈性的情況下，由物理方程：代入應(yīng)變能密度公式，整理得應(yīng)變能密度的表達(dá)式：代入應(yīng)變能公式，有：2/6/20238表明：彈性體的應(yīng)變能密度對于任一應(yīng)力分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)變分量。3.應(yīng)變能的應(yīng)變分量表示用應(yīng)變表示的物理方程：將應(yīng)變能密度分別對6個(gè)應(yīng)力分量求導(dǎo)，并將其結(jié)果與物理方程比較，得：2/6/20239代入應(yīng)變能密度公式，并整理可得：將上式對6個(gè)應(yīng)變分量分別求導(dǎo)，再與應(yīng)力表示的物理方程比較，可得：2/6/202310將幾何方程代入應(yīng)變能的表達(dá)式，得：彈性體的應(yīng)變能密度對于任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。4.應(yīng)變能的位移分量表示表明：2/6/202311§2泛函與變分（1）函數(shù)與泛函的概念：函數(shù)：x——自變量；y——因變量；泛函：x——自變量；y——為一變函數(shù)，泛函的宗量；F——為函數(shù)y的泛函；例：U被稱為形變勢能泛函。2/6/202312（2）微分變分設(shè)函數(shù)：當(dāng)自變量x有一增量：函數(shù)y也有一增量：dx與dy分別稱為自變量x與函數(shù)y的

微分。設(shè)泛函：函數(shù)y有一增量：泛函U也有一增量：泛函的增量U等稱為變分?！⒎謫栴}研究自變函數(shù)的增量與泛函的增量間關(guān)系稱為變分問題。是函數(shù)取極值的必要條件。是泛函取極值的必要條件。2/6/202313例如：Pcr（1）壓桿穩(wěn)定問題尋求壓桿形變勢能

U達(dá)到最大值時(shí)的壓力P值。（2）最速降線問題12球從位置1下落至位置2，所需時(shí)間為T，——泛函的變分問題2/6/202314（3）變分及其性質(zhì)定義：泛函增量：函數(shù)連續(xù)性：稱函數(shù)y在x0點(diǎn)連續(xù)。當(dāng)有稱泛函U在y0(x)

處零階接近。當(dāng)有稱泛函U在y0(x)

處一階接近。當(dāng)有稱泛函U在y0(x)

處二階接近。2/6/202315（4）變分的運(yùn)算變分與微分運(yùn)算：變分運(yùn)算與微分運(yùn)算互相交換。變分與積分運(yùn)算：變分運(yùn)算與積分運(yùn)算互相交換。2/6/202316泛函的變分：一階變分：二階變分：2/6/202317一階變分：二階變分：——二階變分用于判別駐值點(diǎn)是取得極大值還是極小值。2/6/202318建立：彈性體的形變勢能與位移間變分的關(guān)系——位移變分方程qP應(yīng)力邊界

S位移邊界

Su設(shè)彈性體在外力作用下，處于平衡狀態(tài)。邊界：位移場：應(yīng)力場：滿足：平衡方程、幾何方程、物理方程、邊界條件。——稱為真實(shí)解§3位移變分方程應(yīng)變場：2/6/202319任給彈性體一微小的位移變化：滿足條件：位移邊界條件。qP應(yīng)力邊界

S位移邊界

Su考察彈性體的能量變化:（若可能位移為真實(shí)位移）由能量守恒原理：彈性體變形勢能的增加，等于外力勢能的減少。（在沒有溫度改變、動能改變的情況下）設(shè)：——表示彈性變形勢能的增量；——表示外力在虛位移上所做的功，它在數(shù)值上等于外力勢能的減少。則有：可能的位移狀態(tài)：——稱為位移的變分，或虛位移，對于的應(yīng)變叫虛應(yīng)變，滿足幾何方程。2/6/202320體力：面力：——外力代入前式：表明：物體應(yīng)變能的變分，等于外力在虛位移上所做的虛功?！Q為位移變分方程，也稱Lagrange變分方程。外力的虛功：——外力的虛功表示：實(shí)際外力在虛位移上所做的虛功2/6/202321內(nèi)力的虛功：由于:兩邊求變分:將U1

視為應(yīng)變分量的函數(shù)而:2/6/202322將上式代入位移變分方程，有——虛位移方程或虛功方程表明：如果在虛位移發(fā)生前，彈性體處于平衡狀態(tài)，則在虛位移發(fā)生過程中，外力在虛位移上所做的虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功。虛功方程——是有限單元法的理論基礎(chǔ)，也是許多變分原理的基礎(chǔ)。表示：實(shí)際應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功——內(nèi)力的虛功2/6/202323最小勢能原理——也是位移變分方程的一個(gè)應(yīng)用位移變分方程：由于虛位移為微小的、滿足位移邊界條件的（通常稱為基本邊界條件），所以，可認(rèn)為在虛位移發(fā)生過程中，外力的大小和方向都不變，只是作用點(diǎn)位置有微小變化。于是，有：若初始狀態(tài)為零勢能狀態(tài)，并用V表示外力勢能，則根據(jù)能量守恒，外力勢能等于外力在實(shí)際位移上所做的功的相反值，則代入前式，有：外力在實(shí)際位移上做的功2/6/202324其中：——應(yīng)變能能與外力勢能的總和，稱為系統(tǒng)的總勢能表明：在給定的外力作用下，實(shí)際存在的位移應(yīng)使系統(tǒng)的總勢能的變分為零。平衡狀態(tài)：（1）穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（2）不穩(wěn)定平衡狀態(tài)；（3）隨遇平衡狀態(tài)；穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡隨遇平衡——勢能取極小值——勢能取極大值——不定最小勢能原理：在給定的外力作用下，滿足幾何方程和位移邊界條件的各組位移中，實(shí)際存在的位移，應(yīng)使系統(tǒng)的總勢能取最小值。2/6/202325實(shí)際存在的位移應(yīng)滿足：（1）位移邊界條件；（2）平衡方程（位移形式）；（3）應(yīng)力邊界條件。（1）位移邊界條件；（基本邊界條件）（2）最小勢能原理。因而，有：（1）平衡方程（位移形式）；（2）應(yīng)力邊界條件。（自然邊界條件）（可互相導(dǎo)出）最小勢能原理伽遼金變分方程由虛位移方程的建立知道虛位移滿足位移邊界條件，若還滿足應(yīng)力邊界條件時(shí)，彈性體的位移變分應(yīng)滿足的方程。將虛應(yīng)變用虛位移表示：將其代入虛位移方程：2/6/2023262/6/202327同理，可得到其余各項(xiàng)的結(jié)果：將其代入虛位移方程，有：0002/6/202328——伽遼金（Galerkin）變分方程表明：當(dāng)所取位移分量同時(shí)滿足位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件時(shí)，其位移變分需滿足的方程。2/6/2023291.里茲（Ritz）法基本思想：設(shè)定位移函數(shù)的表達(dá)形式，使其滿足位移邊界條件，其中含有若干待定常數(shù)，然后利用位移變分方程確定這些常數(shù)，即得位移解。設(shè)取位移的表達(dá)式如下：其中：為互不相關(guān)的3m個(gè)系數(shù)；為設(shè)定的函數(shù)，且在邊界上有：為位移邊界上為零的設(shè)定函數(shù)顯然，上述函數(shù)滿足位移邊界條件。此時(shí)，位移的變分只能由系數(shù)Am、Bm、Cm的變分來實(shí)現(xiàn)。與變分無關(guān)。位移變分法：2/6/202330（a）位移的變分：形變勢能的變分：（b）將式（a）、（b）代入位移變分方程，有：2/6/202331將上式整理、移項(xiàng)、合并，可得：完全任意，且互相獨(dú)立，要使上式成立，則須有：2/6/202332——Ritz法方程或稱Rayleigh-Ritz法方程說明：（1）由U的位移表達(dá)式可知，U是系數(shù)的二次函數(shù)，因而，上式為各系數(shù)的線性方程

組?；ゲ幌嚓P(guān)，因而，總可以求出全部的系數(shù)。（2）求出了系數(shù)就可求得其它量，如位移、應(yīng)力等（3）在假定位移函數(shù)時(shí)，須保證其滿足全部位移邊界條件。2/6/2023332.伽遼金（Galerkin）法設(shè)取位移的表達(dá)式如下：同時(shí)滿足：（1）位移邊界條件；（2）應(yīng)力邊界條件；位移的變分：將其代入伽遼金變分方程：得到：2/6/202334完全任意，且互相獨(dú)立，要使上式成立，則須有：2/6/202335將物理方程和幾何方程代入，有——伽遼金（Galerkin）法方程說明：（1）與Ritz法類似，得3m階的線性方程組，可求出3m個(gè)系數(shù)。（2）伽遼金（Galerkin）法與Ritz法的區(qū)別：在于設(shè)位移函數(shù)時(shí)，前者要求同時(shí)滿足應(yīng)力、位移邊界條件，而后者只要求滿足位移邊界條件。2/6/202336（1）位移變分方程（2）虛位移方程位移變分方程小結(jié)：——也稱Lagrange變分方程：（3）最小勢能原理說明：（1）只要求：虛位移滿足位移邊界條件；（2）對虛位移方程，也適用各種材料的物理方程。如：塑性材料、非線性彈性材料等。2/6/202337（4）伽遼金（Galerkin）變分方程要求：可能（虛）位移滿足：（1）位移邊界條件；（2）應(yīng)力邊界條件。2/6/202338x§4應(yīng)力變分方程余能密度Pl0lO（1）單向應(yīng)力狀態(tài)設(shè)：——一般的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系形變勢能：d00——單位體積的形變勢能余能密度：——單位體積的形變余能對線彈性體，顯然有：——應(yīng)變能密度等于余能密度表明：余能密度在數(shù)值上等于圖中矩形面積減去U1后余下的面積。一般情形：——單位體積的形變勢能——單位體積的形變余能2/6/202339（2）三向應(yīng)力狀態(tài)對線彈性體，有：彈性體余能：對線彈性體：物體余能常用應(yīng)力表示：2/6/202340（3）余能的變分對照余能密度的表達(dá)式，有：2/6/202341若將上式中應(yīng)變分量利用幾何方程表示成位移形式，有：代入余能的變分表達(dá)式，有：2/6/202342應(yīng)力變分方程設(shè)有任一彈性體，在外力的作用下處于平衡狀態(tài)。其應(yīng)力和位移分別為：——實(shí)際的應(yīng)力和位移建立：物體余能的變分與應(yīng)力變分之間的關(guān)系。（1）應(yīng)力的變分假設(shè)：作用于物體的體力不變，而應(yīng)力分量發(fā)生如下變分：——常稱為虛應(yīng)力變化后應(yīng)力狀態(tài)：（2）應(yīng)力變分方程（假定可能應(yīng)力是問題的解）都滿足平衡方程并作用于同樣的體力，將其分別代入平衡微分方程，并進(jìn)行比較，應(yīng)有：此應(yīng)力狀態(tài)滿足平衡方程以及應(yīng)力邊界條件（基本邊界條件）.2/6/202343（a）張量表示在位移給定的邊界上，由于應(yīng)力的變分（增量）將引起一個(gè)允許表面力：由邊界上應(yīng)力與邊界面法向余弦關(guān)系，在位移給定邊界上，應(yīng)有：（b）張量表示在應(yīng)力邊界上，滿足無外力的邊界條件：（c）張量表示2/6/202344由余能的變分：利用奧-高公式，將上式每一項(xiàng)作變換，如：將其代入余能的變分，并整理有：2/6/202345000得到：上式表明：由于應(yīng)力的變分，余能的變分等于允許表面力的變分在實(shí)際位移上所做的功（虛功）?！獞?yīng)力變分方程，也稱Castigliano變分方程。2/6/202346說明：（1）要求應(yīng)力的變分滿足：平衡微分方程；應(yīng)力邊界條件；（2）由應(yīng)力變分方程：可得；右邊的積分僅當(dāng)在給定非零位移的邊界上才不為零；而在應(yīng)力邊界和固定位移邊界均為零。（3）實(shí)際存在的應(yīng)力應(yīng)滿足：（1）平衡方程；（2）相容方程；（3）應(yīng)力邊界條件；（4）位移邊界條件。（1）平衡方程；（2）應(yīng)力邊界條件；（3）應(yīng)力變分方程可見：應(yīng)力變分方程（1）相容方程；（2）位移邊界條件。特別當(dāng)位移邊界為固定邊界時(shí)，應(yīng)力變分方程等價(jià)于相容方程，且有：2/6/202347最小余能原理將應(yīng)力變分方程：改寫為：（c）∵在要積分的邊界上，位移是給定的，其變分恒為零，∴上式可寫為（d）式中：U*為形變余能；——外力余能；——總余能；于是式（d）可寫成：（d）′2/6/202348（d）（d）′或：上式表明：在滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件的各組應(yīng)力中，實(shí)際存在的應(yīng)力應(yīng)使彈性體的總余能成為極值。如果考慮二階變分，可以證明該極值為極小值。——最小余能原理最小余能原理：是應(yīng)力變分方程的一個(gè)應(yīng)用，等價(jià)于彈性體的相容方程與位移邊界條件。說明：應(yīng)力變分方程或最小余能原理，僅限于單連體問題。對于多連體問題，還需考慮位移單值條件，而在應(yīng)力變分方程中考慮位移單值是非常復(fù)雜的問題。2/6/2023491.應(yīng)力分量的設(shè)定——以應(yīng)力為未知量的近似解法滿足平衡微分方程；應(yīng)力分量設(shè)定的要求：滿足應(yīng)力邊界條件。帕普考維奇應(yīng)力分量設(shè)定：其中：（1）Am

為互不