初中數(shù)學華東師大版九年級下冊第二十七章圓2正多邊形和圓

華師大版數(shù)學九年級下冊第27章第4節(jié)正多邊形和圓課時練習一、單選題（共15小題）1．已知圓的半徑是2，則該圓的內接正六邊形的面積是（）A．3 B． 9 C． 18 D． 36答案：C解析：解答：連接正六邊形的中心與各個頂點，得到六個等邊三角形，等邊三角形的邊長是2，高為3，因而等邊三角形的面積是3，∴正六邊形的面積=18，故選C．分析：掌握正六邊形的特點，它被半徑分成六個全等的等邊三角形．2．如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，半徑為4，則這個正六邊形的邊心距OM和的長分別為（）A．2， B． 2，π C． ， D． 2，答案：D解析：解答：如圖所示：連接OB，∵OB=4，∴BM=2，∴OM=2，==，故選D．分析：正六邊形的邊長與外接圓的半徑相等，利用直角三角形的邊角關系即可求出OM，再利用弧長公式求解．3．如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，這個正五邊形的邊長為a，半徑為R，邊心距為r，則下列關系式錯誤的是（）A．R2﹣r2=a2 B． a=2Rsin36° C． a=2rtan36° D． r=Rcos36°答案：A解析：解答：如圖所示：∵⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，∴∠BOC=×360°=72°，∴∠1=∠BOC=×72°=36°，R2﹣r2=（a）2=a2，a=Rsin36°，a=2Rsin36°；a=rtan36°，a=2rtan36°，cos36°=，r=Rcos36°，所以，關系式錯誤的是R2﹣r2=a2．故選A．分析：由圓內接正五邊形的性質求∠BOC，再由垂徑定理求出∠1后利用勾股定理和解直角三角形對各選項分析判斷即可．4．一張圓心角為45°的扇形紙板和圓形紙板按如圖方式剪得一個正方形，邊長都為2，則扇形紙板和圓形紙板的面積比是（）A．5：4 B． 5：2 C． ：2 D． ：答案：A解析：解答：如左圖所示：連接OD，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=2，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=2，由勾股定理得：OD==2，∴扇形的面積是=；如右圖所示：連接MB、MC，∵四邊形ABCD是⊙M的內接四邊形，四邊形ABCD是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=2，∴MC=MB=，∴⊙M的面積是π×（）2=2π，∴扇形和圓形紙板的面積比是÷（2π）=．故選：A．分析：求出扇形和圓的半徑，根據(jù)扇形和圓的面積公式求出面積，最后求出比值．5．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為6的正六邊形ABCDEF的對稱中心與原點O重合，點A在x軸上，點B在反比例函數(shù)位于第一象限的圖象上，則k的值為（）A．9 B． 9 C． 3 D． 3答案：B解析：解答：如圖所示：連接OB，過B作BG⊥OA于G，∵ABCDEF是正六邊形，∴∠AOB=60°，∵OB=OA，∴△AOB是等邊三角形，∴OB=OA=AB=6，∵BG⊥OA，∴∠BGO=90°，∴∠OBG=30°，∴OG=OB=3，由勾股定理得：BG=3，即B的坐標是（3，3），∵B點在反比例函數(shù)上，∴k=3×3=9，故選B．分析：連接OB，過B作BG⊥OA于G，得出等邊三角形OBA，求出OB，求出OG、BG，得出B的坐標，即可．6．正八邊形的中心角是（）A．45° B． 135° C． 360° D． 1080°答案：A解析：解答：正八邊形的中心角等于360°÷8=45°；故選A分析：中心角是正多邊形相鄰的兩個半徑的夾角．7．如圖是一個正八邊形，圖中空白部分的面積等于20，則陰影部分的面積等于（）A．10 B． 20 C． 18 D． 20答案：B解析：解答：如圖所示：作出正方形ABCD．△AEF中，AE=x，則AF=x，EF=x，正八邊形的邊長是x．則正方形的邊長是（2+）x．根據(jù)題意得：x（2+）x=20，解得：x2==10（﹣1）．則陰影部分的面積是：2[x（2+）x﹣2×x2]=2（+1）x2=2（+1）×10（﹣1）=20．故選B．分析：設直角△AEF中，AE=x，則AF=x，EF=x，正八邊形的邊長是x．根據(jù)空白部分的面積是20即可列方程求得x的值，利用矩形和三角形的面積求解．8．如圖，已知邊長為2cm的正六邊形ABCDEF，點A1，B1，C1，D1，E1，F(xiàn)1分別為所在各邊的中點，則圖中陰影部分的總面積是（）A． B． C． D． 答案：A解析：解答：如圖所示：邊長是2cm的正六邊形ABCDEF的面積是：6××sin60°×22=6cm2．作出連接中心O，連接OD1，OC．在直角△OCD1中，∠O=30°，CD1=CD=1（cm）．則OD1=CD1=，OG=OD1=，C1D1=．則A1B1C1D1E1F1的面積是：6××sin60°×（）2=cm2．則圖中陰影部分的總面積是（6﹣）=．故選A．分析：六邊形ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正多邊形，兩個多邊形的面積的差的一半就是陰影部分的面積．9．如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，連接AC，AE，則的值是（）A．1 B． C． 2 D． 答案：B解析：解答：如圖所示：連接AG、GE、EC，則四邊形ACEG為正方形，故=．故選B．分析：連接AG、GE、EC，四邊形ACEG為正方形，根據(jù)正方形的性質求解．10．邊長為1的正六邊形的內切圓的半徑為（）A．2 B． 1 C． D． 答案：D解析：解答：如圖所示：連接OA、OB，OG；∵六邊形ABCDEF是邊長為1的正六邊形，∴△OAB是等邊三角形，∴OA=AB=1，∴OG=OA?sin60°=1×=，∴邊長為a的正六邊形的內切圓的半徑為．故選D．分析：利用正六邊形中的等邊三角形的性質求解．11．若正多邊形的一個外角為60°，則這個正多邊形的中心角的度數(shù)是（）A．30° B． 60° C． 90° D． 120°答案：B解析：解答：∵正多邊形的一個外角為60°，∴正多邊形的邊數(shù)為=6，其中心角為=60°．故選B．分析：由正多邊形的外角和是360°求出正多邊形的邊數(shù)，再求出中心角．12．如圖，以正六邊形ADHGFE的一邊AD為邊向外作正方形ABCD，則∠BED的度數(shù)為（）A．30° B． 45° C． 50° D． 60°答案：B解析：解答：∵正六邊形ADHGFE的內角為120°，正方形ABCD的內角為90°，∴∠BAE=360°﹣90°﹣120°=150°，∵AB=AE，∴∠BEA=×（180°﹣150°）=15°，∵∠DAE=120°，AD=AE，∴∠AED==30°，∴∠BED=15°+30°=45°．故選B．分析：由正六邊形的內角為120°，正方形的內角為90°可得∠BEA=30°，∠AED=30°后求解．13．如圖，邊長為a的正六邊形，里面有一菱形，邊長也為a，空白部分面積為S1，陰影部分面積為S2，則=（）A． B． C． D． 答案：A解析：解答：如圖所示：連接BC，找到正六邊形的中心D，作△DEF，∵正六邊形邊長為a，菱形邊長為a且有一角為60°，∴S△DEF=S△ABC，∴S1=2S△ABC，S2=6S△ABC﹣2S△ABC=4S△ABC；∴==．故選A．分析：連接BC，找到正六邊形的中心D，作△DEF，求出S1=2S△ABC，S2=6S△ABC﹣2S△ABC=4S△ABC；再求比值．14．正多邊形的中心角是36°，那么這個正多邊形的邊數(shù)為（）A．10 B． 8 C． 6 D． 5答案：A解析：解答：設這個正多邊形的邊數(shù)是n，∵正多邊形的中心角是36°，∴=36°，解得n=10．故選A．分析：設正多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)正多邊形的中心角是36°求出這個正多邊形的邊數(shù)．15．已知某個正多邊形的內切圓的半徑是，外接圓的半徑是2，則此正多邊形的邊數(shù)是（）A．八 B． 六 C． 四 D． 三答案：B解析：解答：根據(jù)勾股定理得：22﹣（）2=1，∴正多邊形的邊長為2，∴正多邊形的中心角為60°，∴此正多邊形是正六邊形，故選B．分析：由正多邊形的內切圓的半徑，外接圓的半徑，正多邊形的邊長的一半構成直角三角形，可得出正多邊形的中心角，從而得出正多邊形的邊數(shù)．二、填空題（共5小題）16．已知正六邊形ABCDEF的邊心距為cm，則正六邊形的半徑為cm．答案：2解析：解答：如圖所示：連接OA、OB，過O作OD⊥AB，∵多邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠OAD=60°，∴OD=OA?sin∠OAB=AO=，解得：AO=2．故答案為：2．分析：畫出圖形，連接OA、OB，過O作OD⊥AB，根據(jù)正六邊形的性質及銳角三角函數(shù)的定義求解．17．如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接對角線AC，CE，DF，EA，F(xiàn)B，可以得到一個六角星．記這些對角線的交點分別為H，I，J，K，L、M，則圖中等邊三角形共有個．答案：8解析：解答：等邊三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8個．故答案是：8．分析：在正六邊形的六個頂點是圓的六等分點，可求得圖中每個角的度數(shù)，即可判斷等邊三角形的個數(shù)．18．已知正六邊形的邊心距為，則這個正六邊形的邊長為．答案：2解析：解答：如圖所示：∵正六邊形的邊心距為，∴OB=，∠OAB=60°，∴AB===1，∴AC=2AB=2．故答案為：2分析：用正六邊形的性質，正六邊形邊長等于外接圓的半徑，再利用勾股定理求解．19．如圖，將正六邊形ABCDEF放在直角坐標系中，中心與坐標原點重合，若A點的坐標為（﹣1，0），則點C的坐標為．答案：（，﹣）解析：解答：如圖所示：連接OE，由正六邊形是軸對稱圖形知：在Rt△OEG中，∠GOE=30°，OE=1．∴GE=，OG=．∴A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（，﹣）D（1，0），E（，），F(xiàn)（﹣，）．故答案為：（，﹣）分析：連接OE，由正六邊形是軸對稱圖形，設EF交Y軸于G，則∠GOE=30°；在Rt△GOE中，則GE=，OG=．可求得E的坐標，和E關于Y軸對稱的F點的坐標，其他坐標類似．20．如圖，點O是正五邊形ABCDE的中心，則∠BAO的度數(shù)為．答案：54°解析：解答：如圖所示：連接OB，則OB=OA，∴∠BAO=∠ABO，∵點O是正五邊形ABCDE的中心，∴∠AOB==72°，∴∠BAO=（180°﹣72°）=54°；故答案為：54°．分析：連接OB，則OB=OA，得出∠BAO=∠ABO，再求出正五邊形ABCDE的中心角∠AOB的度數(shù)，由等腰三角形的性質和內角和定理即可得出結果．三、解答題（共5小題）21．如圖：⊙O的內接正方形ABCD，E為邊CD上一點，且DE=CE，延長BE交⊙O于F，連結FC，若正方形邊長為1，求弦FC的長．答案：解答：如圖所示：連接BD．∵CE=×1=，∴BE==，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DBE=∠FCE，∠CFE=∠BDE，∴△DEB∽△FEC，∴，∴=，∴FC=．解析：分析：連接BD，構造△DBE，然后證出△DBE∽△FCE，列出，計算FC．22．已知多邊形ABDEC是由邊長為2的等邊三角形ABC和正方形BDEC組成，一圓過A、D、E三點，求該圓半徑的長．答案：解答：如圖所示：作AF⊥BC，垂足為F，并延長AF交DE于H點．∵△ABC為等邊三角形，∴AF垂直平分BC，∵四邊形BDEC為正方形，∴AH垂直平分正方形的邊DE．又∵DE是圓的弦，∴AH必過圓心，記圓心為O點，并設⊙O的半徑為r．在Rt△ABF中，∵∠BAF=30°，∴AF=AB?cos30°=2×=．∴OH=AF+FH﹣OA=+2﹣r．在Rt△ODH中，OH2+DH2=OD2．∴（2+﹣r）2+12=r2．解得r=2．∴該圓的半徑長為2．解析：分析：作AF⊥BC，垂足為F，并延長交DE于H點．根據(jù)軸對稱，則圓心必定在AH上．設其圓心是O，連接OD，OE．根據(jù)等邊三角形的性質和正方形的性質，可求AH，DH，設圓的半徑是r．BOH中，根據(jù)勾股定理列方程求解．23．如圖，四邊形ABCD內接于大圓O，且各邊與小圓相切于點E，F(xiàn)，G，H．求證：四邊形ABCD是正方形．答案：解答：證明：連結OE、OF、OG、OH．∵四邊形ABCD與小圓分別切于點E、F、G、H，∴OE=OF=OG=OH，OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD．∴AB=BC=CD=DA．∴A、B、C、D是大圓O的四等分點．∴四邊形ABCD是正方形．解析：分析：連結OE、OF、OG、OH，利用切線的性質以及弦心距相等則弦相等可證明A、B、C、D是大圓O的四等分點，進而可證明四邊形ABCD是正方形．24．已知，如圖，△ABC內接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂線分別交⊙O于點E、F．證明：五邊形AEBCF是⊙O的內接正五邊形．答案：解答：證明：如圖所示：連接BF，CE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．又∵AB、AC的中垂線分別交⊙O于點E、F，∴AF=CF，AE=BE，∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36