晶體學(xué)基礎(chǔ)(第七章)

第七章晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的微觀

結(jié)構(gòu)和空間群7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素7.2二維空間群7.3空間群前面已討論了晶體的基本性質(zhì)和晶體外形等一系列宏觀幾何規(guī)律。晶體所以具有這些特征的根本原因在于它內(nèi)部的格子構(gòu)造，只有用格子構(gòu)造理論才能統(tǒng)一地解釋它們。晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱有異于其宏觀對(duì)稱，只有在對(duì)晶體宏觀和微觀對(duì)稱了解的基礎(chǔ)之上，才能完整描述晶體的結(jié)構(gòu)。本章先介紹晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素，然后引入二維空間群的概念，最后再著重討論空間群及其相關(guān)問題。7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素晶體外形是有限圖形，它的對(duì)稱是宏觀有限圖形的對(duì)稱；晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)可以作為無限圖形來對(duì)待，它的對(duì)稱屬于微觀無限圖形的對(duì)稱。這兩者之間既互相聯(lián)系又互有區(qū)別。首先，在晶體結(jié)構(gòu)中平行于任何一個(gè)對(duì)稱元素有無窮多和它相同的對(duì)稱元素；其次，在晶體結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)了一種在晶體外形上不可能有的對(duì)稱操作——平移操作，從而使得晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)除具有外形上可能出現(xiàn)的那些對(duì)稱元素之外，還出現(xiàn)了一些特有的對(duì)稱元素：平移軸、螺旋軸和滑移面。7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素平移軸（translationaxis）為一直線，圖形沿此直線移動(dòng)一定距離，可使等同部分重合，亦即整個(gè)圖形復(fù)原。晶體結(jié)構(gòu)沿著空間格子中的任意一條行列移動(dòng)一個(gè)或若干個(gè)結(jié)點(diǎn)間距，可使每一質(zhì)點(diǎn)與其相同的質(zhì)點(diǎn)重合。因此，空間格子中的任一行列就是代表平移對(duì)稱的平移軸。7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素空間格子即為晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)在三維空間呈平移對(duì)稱規(guī)律的幾何圖形。在平移這一對(duì)稱變化中，能夠使圖形復(fù)原的最小平移距離，稱為平移軸的移距。任何晶體結(jié)構(gòu)中的任意行列方向皆是平移軸。7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素螺旋軸(screwaxis)為晶體中一假想直線，當(dāng)晶體結(jié)構(gòu)圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定角度，并平行此直線平移一定距離后，結(jié)構(gòu)中的每一質(zhì)點(diǎn)都與其相同的質(zhì)點(diǎn)重合。整個(gè)結(jié)構(gòu)也自相重合。輔助幾何要素為一根假想的直線及與之平行的直線方向。相應(yīng)的對(duì)稱操作為圍繞此直線旋轉(zhuǎn)一定的角度和沿此直線方向平移的聯(lián)合。7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素螺旋軸的國際符號(hào)一般寫為ns，其中n為軸次，s為小于n的正整數(shù)。螺旋軸的軸次只可能為1，2，3，4，6。旋轉(zhuǎn)后所平移的矢量(移動(dòng)的距離稱為螺距)為(s/n)·t，t為與平移矢量相平行的單位矢量，稱為基矢。7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素根據(jù)螺旋軸的軸次和螺距，可分為21，31,32,41,42

,43,61，62,63,64,65,共11種螺旋軸。宏觀對(duì)稱的對(duì)稱軸(即s=n的情況)可以視為螺距為0的同軸次的螺旋軸。7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素螺旋軸據(jù)其旋轉(zhuǎn)的方向可有左旋螺旋軸(順時(shí)針，左手系)和右旋螺旋軸(逆時(shí)針，右手系)及中性螺旋軸(順、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)均可)之分。一般規(guī)定：對(duì)ns而言，若O<s<n2，采用右手系(包括31，42，61，62)，螺距r=(sn)t；若n2<s<n，則采用左手系(包括32，43，64，65)，此時(shí)螺距r=(1-sn)t;至于s=n2，為中性螺旋軸，此時(shí)左手和右手系等效。

7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素滑移面（glideplane），亦稱像移面，是晶體結(jié)構(gòu)中一假想的平面，當(dāng)結(jié)構(gòu)沿此平面反映，并平行此平面移動(dòng)一定距離后，整個(gè)結(jié)構(gòu)自相重合。其輔助幾何要素：一個(gè)假想的平面和平行此平面的某一直線方向。相應(yīng)的對(duì)稱操作為對(duì)于此平面的反映和沿此直線方向平移的聯(lián)合，平移的距離稱為移距。

如圖為NaCl構(gòu)造在(001)面上的投影。a-a面、b-b面即為滑移面。

若滑移面的移距t=0，就蛻變?yōu)閷?duì)稱面。晶體宏觀的對(duì)稱面在晶體內(nèi)部可能為對(duì)稱面，也可能為滑移面。7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素NaCl在（001）面上的投影7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素滑移面按其移動(dòng)的方向和移距（也即滑移矢量）可分為a，b，c，n，d五種：a，b，c為軸向滑移，滑移矢量分別為a/2，b/2，c/2；n為對(duì)角線滑移，滑移矢量為(a+b)/2，(b+c)/2，(a+c)/2或(a+b+c)/2；d為金剛石滑移，它的滑移矢量為(a+b)/4，(b+c)/4，(a+c)/4或(a+b+c)/4等，只有在體心或面心點(diǎn)陣中出現(xiàn)，這時(shí)有關(guān)對(duì)角線的中點(diǎn)也有一個(gè)陣點(diǎn)，所以平移分量仍然是滑移方向點(diǎn)陣平移點(diǎn)陣周期的一半。7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素7.1晶體內(nèi)部的微觀對(duì)稱元素總結(jié)

格子構(gòu)造中存在的對(duì)稱要素：

對(duì)稱軸：L1、L2、L3、L4、L6

倒轉(zhuǎn)軸：Li1（=C）、Li2（=m）、Li3、Li4、Li6

螺旋軸：21、31、32、41、42、43、

61、62、63、64、65

滑移面：a、b、c、n、d

平移軸：十四種移動(dòng)格子，P(R)、C(A、B)、I和F空間群是一個(gè)非常重要的概念。為了更清楚地理解空間群的內(nèi)涵，先從二維空間群談起。對(duì)一個(gè)三維的晶體結(jié)構(gòu)而言，它在某一方向的投影，便是一個(gè)二維的結(jié)構(gòu)。此外，晶體結(jié)構(gòu)的表面也是一個(gè)二維結(jié)構(gòu)。二維空間群可以視為三維空間群的一個(gè)特殊情況。

7.2二維空間群所謂二維空間群，就是指平面內(nèi)圖像所有對(duì)稱元素的集合，也稱平面群。在二維平面，對(duì)稱心和倒轉(zhuǎn)軸顯然已經(jīng)不可能存在，所以對(duì)稱元素只剩下6個(gè)，即1，2，3，4，6和對(duì)稱面m。利用點(diǎn)群的推導(dǎo)方法，能推導(dǎo)的二維點(diǎn)群只有10種，分別為1，2，4，6，1m，2mm，3m，4mm和6mm。7.2二維空間群將10個(gè)平面點(diǎn)群劃分為4個(gè)晶系：單斜晶系（m），其特點(diǎn)是沒有高次軸和對(duì)稱面，所以只包含1和2兩個(gè)二維點(diǎn)群；正交晶系（o），其特點(diǎn)是有對(duì)稱面但沒有高次軸，故正交晶系含有1m和2mm兩個(gè)二維點(diǎn)群；四方晶系（t），特點(diǎn)是有四次軸，包含4，4mm兩個(gè)二維點(diǎn)群；六方晶系（h），特點(diǎn)是有3或6次軸，包含的二維點(diǎn)群有3，3m，6和6mm四種。

7.2二維空間群7.2二維空間群5種布拉維點(diǎn)陣，用mp、op、oc、tp、hp分別表示單斜原始、正交原始、正交底心、四方原始和六方原始點(diǎn)陣。

7.2二維空間群二維周期性圖形的對(duì)稱操作有三類：第一類是點(diǎn)對(duì)稱操作，只可能是與平面垂直的旋轉(zhuǎn)軸（1，2，3，4，6次軸）以及過這些軸的對(duì)稱面m，它們的組合就是上述的10種平面點(diǎn)群；第二類是平移，用來描述圖形的周期性。第三類是復(fù)合操作，即相對(duì)于某直線的反映以及沿此線平移半個(gè)周期這兩種操作。這種復(fù)合操作憑借的直線稱為滑移線g，它類似于上述的軸向滑移面（a，b，c滑移面），但反映是相對(duì)于直線，而非平面。如果平面群中的基本對(duì)稱要素為交于一點(diǎn)的點(diǎn)對(duì)稱操作，則稱為點(diǎn)式平面群。基本對(duì)稱要素中有非點(diǎn)式對(duì)稱要素，則為非點(diǎn)式平面群。在平面群中非點(diǎn)式對(duì)稱操作只有滑移操作一種，相關(guān)的對(duì)稱要素為滑移線。7.2二維空間群在平面周期性圖形中所有對(duì)稱元素可能的組合，就是二維空間群。二維空間群只有17種，其序號(hào)、國際符號(hào)及其相應(yīng)的二維點(diǎn)群、晶系和點(diǎn)陣等情況參見下表。7.2二維空間群7.2二維空間群二維空間群國際符號(hào)中，第一個(gè)英文小寫字母p或c代表格子類型，接著的第一個(gè)記號(hào)表示垂直紙面方向投影的對(duì)稱點(diǎn)，第二位記號(hào)表示紙面上從左至右（b方向或y軸方向）的對(duì)稱元素，第三位記號(hào)則表示的是由上到下（a方向或x軸方向）的對(duì)稱元素。

7.2二維空間群圖中實(shí)線代表對(duì)稱面，虛線代表滑移線g。這里說的等效點(diǎn)系是指通過二維空間群中所有對(duì)稱元素聯(lián)系起來的一組點(diǎn)的位置。此例中，一般等效點(diǎn)的坐標(biāo)為：x，y；-x，-y；1/2-x，y；1/2+x，-y(x，y為小于1的正數(shù))。7.2二維空間群7.2二維空間群我們考慮將4（C4）與正方P晶胞集合的情況。圖中所示是正方P晶胞，4個(gè)頂角為格點(diǎn)位置。按照《國際表》中慣用的方法，取左上角格點(diǎn)位置為原點(diǎn)，取a向下，b向右。我們可以采取以下步驟推導(dǎo)：（1）在左上角原點(diǎn)附近取一個(gè)一般點(diǎn)，坐標(biāo)為xy，如圖中a點(diǎn)。（2）將4次對(duì)稱軸置于原點(diǎn)，于是在4次軸作用下，得到3個(gè)新的點(diǎn)，如圖中b，c，d點(diǎn)，其坐標(biāo)為-yx，-x-y，y-x。7.2二維空間群（3）根據(jù)平移對(duì)稱性各頂角格點(diǎn)周圍也應(yīng)有同樣排布的點(diǎn)，它們是由上述4個(gè)點(diǎn)加a，加b和加（a+b）而得到。例如，b點(diǎn)坐標(biāo)是（1-y，x），c點(diǎn)坐標(biāo)是（1-x，1-y），d點(diǎn)坐標(biāo)是（y，1-x），f點(diǎn)坐標(biāo)是（-x，1-y）。7.2二維空間群（4）根據(jù)點(diǎn)的分布找出新增加的對(duì)稱要素。例如，由a，b，c，d關(guān)系可以找出位于晶胞中心位置的4次軸，如圖中的i；由a，f關(guān)系可以找出位于晶胞邊心位置的2次軸，如圖中m。（5）最后，由已知對(duì)稱要素的相互作用，找出其它所應(yīng)有的4次軸和2次軸。7.2二維空間群幾點(diǎn)說明：（1）每個(gè)格點(diǎn)周圍有4個(gè)點(diǎn)，這是點(diǎn)群4（C4）的等效點(diǎn)系，它所代表的是一個(gè)具有點(diǎn)群4（C4）對(duì)稱性的物理實(shí)體，也是對(duì)于于一個(gè)格點(diǎn)的基元。因此，這里討論的是晶體結(jié)構(gòu)，而不是單純的平面點(diǎn)陣。（2）在晶胞內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，這是平面群P4的一般等效點(diǎn)系，是對(duì)應(yīng)于晶胞的物理實(shí)體。平面群一般等效點(diǎn)數(shù)g和點(diǎn)群一般等效點(diǎn)數(shù)h之間的關(guān)系是g=nh，此處n是晶胞的格點(diǎn)數(shù)。7.2二維空間群（3）晶胞內(nèi)除格點(diǎn)位置具有4（C4）的對(duì)稱性外，還有其它也具有一定的對(duì)稱環(huán)境的特殊位置。它們具有的對(duì)稱性稱為位置對(duì)稱性。例如，（1/2，1/2）點(diǎn)的位置對(duì)稱性為4（C4），(1/2，0)和（0，1/2）兩個(gè)點(diǎn)的位置對(duì)稱性為2（C2）。這些位置在《國際表》中用字母a，b，c….，按對(duì)稱性從高到低表示，稱為烏科夫符號(hào)。（4）對(duì)于用烏科夫符號(hào)區(qū)別開來的各個(gè)位置，都有這樣的關(guān)系，位置點(diǎn)群的階乘以晶胞此種位置的個(gè)數(shù)等于平面群一般等效點(diǎn)數(shù)。實(shí)際上，這正是g=nh所表達(dá)的內(nèi)容，因?yàn)閔是位置點(diǎn)群的階，n是位置個(gè)數(shù)(晶胞的格點(diǎn)數(shù))。(群的階是指群的元素個(gè)數(shù),點(diǎn)群一般等效點(diǎn)數(shù))7.2二維空間群7.2二維空間群7.2二維空間群正方晶系的兩種點(diǎn)群與P晶胞結(jié)合以后導(dǎo)出兩種點(diǎn)式平面群，即P4和P4mm。前一種平面群中加入滑移線g和后一種平面群中將一組m換成g，結(jié)果是一樣的，產(chǎn)生非點(diǎn)式平面群P4gm。一個(gè)直觀的方法是將g放在垂直于a并通過4次軸的位置，這將導(dǎo)出一個(gè)一般等效點(diǎn)數(shù)為16的大晶胞。可以重新選取一個(gè)面積減為1/2的晶胞，并且它才是真正的正方P晶胞，只是方向比那個(gè)大晶胞轉(zhuǎn)了45角，如圖中虛線所示。這時(shí)，仍然有g(shù)垂直于a，但不通過4次軸，另一組m垂直于a+b，也不通過4次軸。對(duì)這個(gè)正確的晶胞重新取基本對(duì)稱要素，仍可取為4gm，所以平面群符號(hào)仍然是P4gm。從圖中可以看到，一開始放進(jìn)晶胞的那條滑移線現(xiàn)在變到對(duì)角線方向，變成非基本對(duì)稱要素。7.2二維空間群7.2二維空間群（1）我們?cè)诰О脑c(diǎn)處放一個(gè)4次軸，在垂直于a的方向放一個(gè)通過1/4，0的滑移線，在垂直于對(duì)角線方向放一個(gè)通過1/4，1/4點(diǎn)的反映線。這些，是從國際符號(hào)P4gm得知的基本對(duì)稱要素。（2）在原點(diǎn)附近取一個(gè)一般點(diǎn)xy，如圖中的p點(diǎn)，于是在4次軸的作用下，可以得到圍繞原點(diǎn)的4個(gè)點(diǎn)。（3）根據(jù)平移對(duì)稱性，每一個(gè)頂角處格點(diǎn)的周圍都應(yīng)有4個(gè)與原點(diǎn)周圍同樣排布的點(diǎn)。（4）在滑移線的作用下，我們又得到處于晶胞中心區(qū)域的4個(gè)對(duì)稱點(diǎn)。比如，p點(diǎn)經(jīng)滑移操作到q點(diǎn)。至此，我們已經(jīng)導(dǎo)出屬于這個(gè)晶胞的8個(gè)一般等效點(diǎn)。7.2二維空間群（5）根據(jù)一般等效點(diǎn)的分布，可以找出各種非基本對(duì)稱要素。例如，由晶胞中心區(qū)域的4個(gè)點(diǎn)，可以找到位于1/2，1/2的4次軸。然后，在這個(gè)中心位置4次軸作用下，可以導(dǎo)出其它4次軸和另外幾條垂直于a和垂直于b的滑移線。由原點(diǎn)處4個(gè)點(diǎn)和中心區(qū)域4個(gè)點(diǎn)的關(guān)系，可以導(dǎo)出對(duì)角線方向的滑移線（pfp）以及垂直于對(duì)角線方向的對(duì)稱線。經(jīng)中心點(diǎn)4次軸的作用，再導(dǎo)出1條對(duì)角線滑移線和3條對(duì)稱線。最后，從各頂角周圍的點(diǎn)的關(guān)系，導(dǎo)出位于晶胞邊心的4個(gè)2次軸。7.2二維空間群表中列出了非點(diǎn)式平面群p4gm各個(gè)位置的烏科夫符號(hào)及其有關(guān)資料。這里我們看到，位置對(duì)稱性最高的位置，其等效位置數(shù)不等于1。這是非點(diǎn)式平面群和點(diǎn)式平面群的一個(gè)重要區(qū)別。7.2二維空間群7.2二維空間群7.2二維空間群7.2二維空間群7.2二維空間群7.2二維空間群7.2二維空間群7.2二維空間群7.2二維空間群7.2二維空間群三維空間的情況和二維的相比，要復(fù)雜許多。二維空間的10種點(diǎn)群、5種布拉維格子和17種二維空間群在三維空間就分別增至32種點(diǎn)群、14種布拉維格子和230種空間群。本節(jié)著重討論空間群的基本概念及一些相關(guān)問題。7.3空間群晶體外形的宏觀對(duì)稱包括了對(duì)稱軸、對(duì)稱面和對(duì)稱心，其相應(yīng)的對(duì)稱操作只有旋轉(zhuǎn)、反映和反伸，對(duì)稱元素均交于一點(diǎn)(晶體的中心)，并且在進(jìn)行對(duì)稱操作時(shí)至少該點(diǎn)是不變的。因此，宏觀對(duì)稱元素的集合也稱為點(diǎn)群。晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對(duì)稱被視為無限圖形，除了具有宏觀對(duì)稱元素之外，還出現(xiàn)了平移軸、滑移面、螺旋軸等包含平移操作的微觀對(duì)稱元素。所謂空間群（spacegroup）就是晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)所有對(duì)稱元素的集合。對(duì)于晶體集合外形等有限圖形，平移交換是不成立的，因此點(diǎn)群中所有對(duì)稱元素只有方向上的意義。對(duì)于晶體結(jié)構(gòu)這種無限圖形而言，其平移因素的意義主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：（1)對(duì)任一晶體結(jié)構(gòu)，總是有無限多方向不同的平移軸存在。平移軸使得晶體結(jié)構(gòu)中的其他所有對(duì)稱元素在空間必然呈周期性的重復(fù)。所以，空間群中的每一種對(duì)稱元素，其數(shù)量都是無限的，它們不僅都有一定的方向，而且其中的每一個(gè)對(duì)稱元素各自還有確定的位置，相互間可以借助于平移軸的作用而重復(fù)。7.3空間群（2）平移還可以與反映或旋轉(zhuǎn)交換相結(jié)合，從而出現(xiàn)晶體外部對(duì)稱上所不能存在的滑移面和螺旋軸等微觀對(duì)稱元素。晶體結(jié)構(gòu)中可能出現(xiàn)的對(duì)稱元素的種類遠(yuǎn)多于晶體幾何外形上可能存在的對(duì)稱元素種類。7.3空間群7.3空間群點(diǎn)群和空間群體現(xiàn)了晶體外形對(duì)稱與內(nèi)部結(jié)構(gòu)對(duì)稱的統(tǒng)一?？臻g群可看成是由兩部分組成的：一部分是晶體結(jié)構(gòu)中所有平移軸的集合，即所謂的平移群；另一部分就是與點(diǎn)群相對(duì)應(yīng)的其他對(duì)稱元素的集合，它們?cè)诳臻g的相互取向與點(diǎn)群中的情況完全一致，但每一方向上的同種對(duì)稱元素，為數(shù)均無限，它們的相對(duì)位置由平移群來規(guī)定；此外，與相應(yīng)的點(diǎn)群比較，這些對(duì)稱元素可以仍然是對(duì)稱面或?qū)ΨQ軸，也可能已變成了滑移面或同軸次的螺旋軸。例如，對(duì)應(yīng)晶體外形L4的方向，在內(nèi)部結(jié)構(gòu)中可能有4，41，42或43。

空間群是由費(fèi)德洛夫于1890年和圣佛利斯于1891年分別獨(dú)立推導(dǎo)出來的，故亦稱為費(fèi)德洛夫群或圣佛利斯群。230種空間群簡略形式的國際符號(hào)以及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)群符號(hào)見教材P.89～90。7.3空間群常用兩種記號(hào)來表示空間群，即國際符號(hào)和圣佛利斯符號(hào)。國際符號(hào)的優(yōu)點(diǎn)是能直觀地看出空間格子類型以及對(duì)稱元素的空間分布，但缺點(diǎn)是同一種空間群由于定向不同以及其他因素可以寫成不同的形式。如第62號(hào)空間群，可以寫為Pnma，也可表達(dá)為Pbnm，兩者之間基矢的關(guān)系為(a，b，c)pnma=(c，a，b)pbnm。7.3.2空間群的符號(hào)空間群的圣佛利斯符號(hào)構(gòu)成很簡單，只是在點(diǎn)群的圣佛利斯符號(hào)的右上角加上序號(hào)就可以了。這是因?yàn)閷儆谕稽c(diǎn)群的晶體可以分別隸屬幾個(gè)空間群。例如點(diǎn)群C2h一2／m，可以分屬6個(gè)空間群，其空間群的圣佛利斯符號(hào)就記為7.3空間群圣佛利斯符號(hào)雖然不能看出格子類型和對(duì)稱元素的空間分布，但每一圣佛利斯符號(hào)只與一種空間群相對(duì)應(yīng)。習(xí)慣上兩者并用，中間用“一”隔開，如一Pcca。7.3.2空間群的符號(hào)空間群的國際符號(hào)包括了兩個(gè)部分：前半部分是平移群的符號(hào)，即布拉維格子的符號(hào)，按照格子類型的不同而分別用字母P，R，I，C（A，B），F(xiàn)等表示；后半部分則與其相應(yīng)點(diǎn)群的符號(hào)基本相同，只是要將某些宏觀對(duì)稱元素的符號(hào)換成相應(yīng)的微觀對(duì)稱元素的符號(hào)?？臻g群國際符號(hào)包含了點(diǎn)陣類型和對(duì)稱元素及其分布等信息。7.3.2空間群的符號(hào)以第62號(hào)空間群——Pnma為例:國際符號(hào)中的P代表原始格子，點(diǎn)群為斜方晶系的mmm，由于在[100]方向有n滑移面、[010]方向有對(duì)稱面m、[001]方向上存在a滑移面，故而點(diǎn)群符號(hào)mmm換成了nma。7.3.2空間群的符號(hào)各晶系空間群國際符號(hào)中的方向性規(guī)定與點(diǎn)群相同。一般點(diǎn)群符號(hào)是由不超過3個(gè)的字母記號(hào)構(gòu)成的，按順序，且視晶系的不同，每個(gè)記號(hào)代表了各規(guī)定方向上的對(duì)稱軸（對(duì)稱軸、倒轉(zhuǎn)軸、螺旋軸），或與該方向垂直的對(duì)稱平面（對(duì)稱面、滑移面）。當(dāng)在同一個(gè)方向上同時(shí)有對(duì)稱軸和與之垂直的對(duì)稱性平面存在，則寫成分號(hào)的形式。如4／m即代表該方向上有一L4同時(shí)還有一個(gè)對(duì)稱面與它垂直。如果晶體中與某一位置相對(duì)應(yīng)的方向上沒有對(duì)稱元素存在，則用“1”來填補(bǔ)空缺。7.3.2空間群的符號(hào)7.3.2空間群的符號(hào)7.3.3空間群的等效點(diǎn)系等效點(diǎn)系（setofequivalentpositions）是指晶體結(jié)構(gòu)中由一原始點(diǎn)經(jīng)空間群中所有對(duì)稱元素的作用所推導(dǎo)出來的規(guī)則點(diǎn)系，或簡單的說是空間群中對(duì)稱元素聯(lián)系起來的一套點(diǎn)集。這些點(diǎn)所分布的空間位置稱為等效位置（equivalentpositions）。等效點(diǎn)系通常都只考慮在一個(gè)單位晶胞范圍內(nèi)的情況，用分?jǐn)?shù)坐標(biāo)或者單胞中點(diǎn)集的圖形表示。如果等效點(diǎn)系與某對(duì)稱元素存在特定配置關(guān)系（如平行、垂直），這樣的等效點(diǎn)系稱為特殊等效點(diǎn)系，否則為一般等效點(diǎn)系。7.3.3空間群的等效點(diǎn)系一個(gè)空間群有一套一般點(diǎn)系以及若干套特殊點(diǎn)系，分別給予不同的記號(hào)，如用a，b，c，d，e，f，g…等小寫字母。對(duì)等效點(diǎn)系的描述包括重復(fù)點(diǎn)數(shù)、魏科夫（Wyckoff）符號(hào)、點(diǎn)位置上的對(duì)稱性、點(diǎn)的坐標(biāo)等內(nèi)容。重復(fù)點(diǎn)數(shù)就是單胞內(nèi)含有的等效點(diǎn)系的等效點(diǎn)數(shù)目。點(diǎn)位置上的對(duì)稱性是指該套等效點(diǎn)系的等效點(diǎn)所處位置上環(huán)境的對(duì)稱性。等效點(diǎn)的坐標(biāo)是指對(duì)一個(gè)單位晶胞內(nèi)等效點(diǎn)的指標(biāo)，它與空間格子中結(jié)點(diǎn)的指標(biāo)方法基本相同，其坐標(biāo)以軸單位（a，b，c）的系數(shù)形式給出。對(duì)可確定出坐標(biāo)值的特殊點(diǎn)系，用分?jǐn)?shù)、小數(shù)、0或1來表示；對(duì)不能確定值的一般點(diǎn)系，則以x，y，z表示。對(duì)于一種空間群，在一個(gè)晶胞范圍內(nèi)，用a，b，c，d，e，f，g，……對(duì)原始點(diǎn)位置不同的等效點(diǎn)系進(jìn)行編號(hào)，稱為等效點(diǎn)系的魏考夫(Wyckoff)符號(hào)。7.3.3空間群的等效點(diǎn)系7.3.3空間群的等效點(diǎn)系現(xiàn)以Pmm2為例說明等效點(diǎn)系的表示方法，其對(duì)稱要素在(001)面上的分布如圖所示。每隔a/2和b/2都有對(duì)稱面，兩個(gè)對(duì)稱面的交線為2次軸。圖中陰影部分為一個(gè)晶胞的范圍。原始點(diǎn)的可能位置有9種，構(gòu)成9套等效點(diǎn)系，其坐標(biāo)列于表內(nèi)，說明如下：a：在mm2上，通過m或L2的作用產(chǎn)生位于晶胞棱上的四個(gè)點(diǎn)。重復(fù)點(diǎn)數(shù)41/4=1，點(diǎn)的坐標(biāo)0，0，z。b：在離開a位置b/2處，也在mm2上，通過m的作用產(chǎn)生位于晶胞面上的兩個(gè)點(diǎn)，重復(fù)點(diǎn)數(shù)2l/2=1，點(diǎn)的坐標(biāo)0，1/2，z。c：在離開a位置a/2處，也在mm2位置。m的作用產(chǎn)生位于晶胞面的二個(gè)點(diǎn)，重復(fù)點(diǎn)數(shù)2l/2=1，點(diǎn)的坐標(biāo)1/2，0，z。7.3.3空間群的等效點(diǎn)系d：在離a位置(a+b)/2處，也是mm2位置。m和2均不對(duì)其產(chǎn)生作用，重復(fù)點(diǎn)數(shù)為1，點(diǎn)的坐標(biāo)1/2，1/2，z。e：在m上，通過m或2產(chǎn)生位于晶胞面上的四個(gè)點(diǎn)，重復(fù)點(diǎn)數(shù)41/2=2，點(diǎn)的坐標(biāo)為x，0，z；-x，0，z。f:在m上，通過m或2的作用產(chǎn)生兩個(gè)點(diǎn)，重復(fù)點(diǎn)數(shù)為2，點(diǎn)的坐標(biāo)x，1/2，z；-x，1/2，z。7.3.3空間群的等效點(diǎn)系g：在m上，通過m或2的作用產(chǎn)生兩個(gè)點(diǎn)，重復(fù)點(diǎn)數(shù)為2，點(diǎn)的坐標(biāo)0，y，z；0，-y，z。h：在m上，通過m或2的作用產(chǎn)生兩個(gè)點(diǎn)，重復(fù)點(diǎn)數(shù)為2，點(diǎn)的坐標(biāo)為l/2，y，z；1/2，-y，z。i：在一般位置，m和2均可對(duì)其產(chǎn)生作用，重復(fù)點(diǎn)數(shù)為4，點(diǎn)的坐標(biāo)為x，y，z；-x，-y，z；x，-y，z；-x，y，z。7.3.3空間群的等效點(diǎn)系7.3.3空間群的等效點(diǎn)系在具體的晶體結(jié)構(gòu)中，質(zhì)點(diǎn)（原子、離子或分