初中數(shù)學浙教版八年級上冊第2章特殊三角形 省賽獲獎

《第2章特殊三角形》一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）溫馨提示：每小題四個答案中，只有一個是正確的請將正確的答案選出來．1．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，則圖中的等腰三角形有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．下列說法中，正確的有（）①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩底角相等；③等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高相等；④等腰三角形是軸對稱圖形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．在平面直角坐標系xoy中，已知點A（2，﹣2），在y軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．在△ABC中，∠A的相鄰外角是110°，要使△ABC為等腰三角形，則底角∠B的度數(shù)是（）A．70 B．55° C．70°或55° D．60°5．已知三角形的周長為15cm，且其中兩邊都等于第三邊的2倍，那么最短邊的長是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm6．如圖所示，△ABC中，AB=AC，過AC上一點作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，則∠DEF=（）A．55° B．60° C．65° D．70°7．若三角形中的一條邊是另一條邊的2倍，且有一個角為30°，則這個三角形是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都不對8．如圖所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△A′B′C′≌△ABC，則∠BCA′：∠BCB′等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：49．如圖所示，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=3，BC=5，則DC的長度是（）A． B． C． D．10．一個三角形兩邊中點的連線叫做這個三角形的中位線．只要順次連結三角形三條中位線，則可將原三角形分割為四個全等的小三角形（如圖（1））；把三條邊分成三等份，再按照圖（2）將分點連起來，可以看作將整個三角形分成9個全等的小三角形；把三條邊分成四等份，…，按照這種方式分下去，第n個圖形中應該得到（）個全等的小三角形．A． B． C． D．（n+1）2二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）溫馨提示：填空題應當是填最簡潔，最正確的答案！11．如圖，△ABC是Rt△，BC是斜邊，P是三角形內(nèi)一點，將△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的長等于．12．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，則CD=．13．如圖，有一塊邊長為4的正方形塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在A點，兩條直角邊分別與CD交于點F，與CB延長線交于點E．則四邊形AECF的面積是．14．如圖所示，在Rt△ABC中，CD是斜邊上的中線，CE是高．已知AB=10cm，DE=2.5cm，則∠BDC=度，S△BCD=cm2．15．若直角三角形兩條直角邊上的中線分別是5厘米和厘米，則斜邊長為厘米．16．已知：如圖，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，BC=．三、解答題（共8題，共66分）溫馨提示：解答題應把必要的解答過程表述出來！17．如圖所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求證：AD=BE．18．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，添加一個條件，使DE=DF，并說明理由．解：需添加條件是．19．如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，且BC=6，AB=10，求AC和CD．20．已知，如圖，延長△ABC的各邊，使得BF=AC，AE=CD=AB，順次連接D，E，F(xiàn)，得到△DEF為等邊三角形．求證：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC為等邊三角形．21．已知，如圖△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F．求證：（1）BF=AC；（2）CE=BF．22．如圖，已知OA=a，P是射線ON上一動點（即P可以在射線ON上運動），∠AON=60°，填空：（1）當OP=時，△AOP為等邊三角形；（2）當OP=時，△AOP為直角三角形；（3）當OP滿足時，△AOP為鈍角三角形．23．已知，如圖，AD∥BC，∠A=90°，AD=BE，∠EDC=∠ECD，請你說明下列結論成立的理由：（1）△AED≌△BCE，（2）AB=AD+BC．24．如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．（1）求證：△COD是等邊三角形；（2）當a=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；（3）探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？

《第2章特殊三角形》參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）溫馨提示：每小題四個答案中，只有一個是正確的請將正確的答案選出來．1．△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于D，則圖中的等腰三角形有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【分析】由已知條件，利用三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)得到各角的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的定義及等角對等邊得出答案．【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．BD平分∠ABC交AC于D，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵∠A=∠ABD=36°，∴△ABD是等腰三角形．∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，∴△BDC是等腰三角形．∴共有3個等腰三角形．故選C．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；求得角的度數(shù)是正確解答本題的關鍵．2．下列說法中，正確的有（）①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩底角相等；③等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高相等；④等腰三角形是軸對稱圖形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】等腰三角形的性質(zhì)．【分析】認真閱讀每一問題給出的已知條件，根據(jù)等腰三角形的概念、性質(zhì)判斷正誤．【解答】解：①等腰三角形的兩腰相等，正確；②等腰三角形的兩底角相等，正確；③等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高相等，正確；④等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸就是底邊上的高所在的直線，正確．故選D．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；熟練掌握并靈活應用這些知識是解答本題的關鍵．3．在平面直角坐標系xoy中，已知點A（2，﹣2），在y軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】等腰三角形的判定；坐標與圖形性質(zhì)．【分析】如果OA為等腰三角形的腰，有兩種可能，以O為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個交點，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個交點；如果OA為等腰三角形的底，只有一種可能，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個交點；符合條件的點一共4個．【解答】解：分二種情況進行討論：當OA為等腰三角形的腰時，以O為圓心OA為半徑的圓弧與y軸有兩個交點，以A為圓心AO為半徑的圓弧與y軸有一個交點；當OA為等腰三角形的底時，作線段OA的垂直平分線，與y軸有一個交點．∴符合條件的點一共4個．故選D．【點評】本題考查了等腰三角形的判定及坐標與圖形的性質(zhì)；針對線段OA在等腰三角形中的地位，分類討論用畫圓弧的方式，找與y軸的交點，比較形象易懂．4．在△ABC中，∠A的相鄰外角是110°，要使△ABC為等腰三角形，則底角∠B的度數(shù)是（）A．70 B．55° C．70°或55° D．60°【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【專題】計算題；分類討論．【分析】根據(jù)已知可求得∠A的度數(shù)，題中沒有指明∠A是頂角還是底角，故應該分情況進行分析，從而不難求解．【解答】解：①當∵∠A是頂角時，∵∠A的相鄰外角是110°，∴∠A=180°﹣110°=70°，∵只有當∠B=∠C時，△ABC為等腰三角形，∴∠B=（180°﹣70°）÷2=55°，②當∠A=∠B是底角時，∵∠A的相鄰外角是110°，∴∠A=180°﹣110°=70°，∴∠B=70°，故選C．【點評】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用，注意分類討論思想的運用．5．已知三角形的周長為15cm，且其中兩邊都等于第三邊的2倍，那么最短邊的長是（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考點】三角形三邊關系．【分析】可設這個三角形的最短邊為x厘米，根據(jù)三角形的周長為15厘米可列出方程求解即可．【解答】解：設這個三角形的最短邊為x厘米，依題意有x+2x+2x=15，5x=15，x=3．故這個三角形的最短邊為3厘米．故選C．【點評】考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題關鍵是根據(jù)三角形的周長列出方程求解．6．如圖所示，△ABC中，AB=AC，過AC上一點作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE=140°，則∠DEF=（）A．55° B．60° C．65° D．70°【考點】三角形的外角性質(zhì)．【分析】由DE⊥AC，∠BDE=140°，可計算出∠A，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠C，最后利用EF⊥BC及同角的余角相等得到∠DEF的度數(shù)．【解答】解：∵DE⊥AC，∠BDE=140°，∴∠A=50°，又∵AB=AC，∴∠C==65°，∵EF⊥BC，∴∠DEF=∠C=65°．所以A錯，B錯，C對，D錯．故選C．【點評】考查了垂直的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)．7．若三角形中的一條邊是另一條邊的2倍，且有一個角為30°，則這個三角形是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都不對【考點】三角形．【分析】如圖，分AB是30°角所對的邊AC的2倍和AB是30°角相鄰的邊AC的2倍兩種情況求解．【解答】解：如圖：（1）當AB是30°角所對的邊AC的2倍時，△ABC是直角三角形；（2）當AB是30°角相鄰的邊AC的2倍時，△ABC是鈍角三角形．所以三角形的形狀不能確定．故選D．【點評】解答本題關鍵在于已知30°的角與邊的關系不明確，需要討論求解，所以三角形的形狀不能確定．8．如圖所示，在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：5：10，又△A′B′C′≌△ABC，則∠BCA′：∠BCB′等于（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4【考點】全等三角形的性質(zhì)．【分析】設∠A=3k，∠B=5k，∠C=10k，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠A′CB′=∠ACB=10k，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠BCB′=8k，然后求出∠A′CB=2k，求出比值即可．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=3：5：10，∴設∠A=3k，∠B=5k，∠C=10k，∵△A′B′C′≌△ABC，∴∠A′CB′=∠ACB=10k，在△ABC中，∠B′CB=∠A+∠B=3k+5k=8k，∴∠A′CB=∠A′CB′﹣∠B′CB′=10k﹣8k=2k，∴∠BCA′：∠BCB′=2k：8k=1：4．故選D．【點評】本題考查了全等三角形對應角相等的性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，利用“設k法”表示出各角更簡便．9．如圖所示，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=3，BC=5，則DC的長度是（）A． B． C． D．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】計算題．【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理計算AC===4，易證得Rt△CAD∽Rt△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CD：AC=AC：BC，即CD：4=4：5，即可求出CD．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，∴AC===4，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，而∠C公共，∴Rt△CAD∽Rt△CBA，∴CD：AC=AC：BC，即CD：4=4：5，∴CD=．故選C．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．也考查了勾股定理．10．一個三角形兩邊中點的連線叫做這個三角形的中位線．只要順次連結三角形三條中位線，則可將原三角形分割為四個全等的小三角形（如圖（1））；把三條邊分成三等份，再按照圖（2）將分點連起來，可以看作將整個三角形分成9個全等的小三角形；把三條邊分成四等份，…，按照這種方式分下去，第n個圖形中應該得到（）個全等的小三角形．A． B． C． D．（n+1）2【考點】三角形中位線定理；規(guī)律型：圖形的變化類．【分析】第一圖形中三角形的個數(shù)為4，第二個圖形中三角形的個數(shù)為9，這兩個數(shù)均為完全平方數(shù)，那么就可得到第n個圖形中全等的三角形個數(shù)．【解答】解：由圖（1）可知：順次連接各中點所得全等的小三角形為1+3=（1+1）2；圖（2）中順次連接各中點所得全等的小三角形為1+3+5=（2+1）2；同理如果把三條邊分成3等分可得到1+3+5+7=（3+1）2個全等的小三角形，按照這種方式分下去，第n個圖形中應該得到（n+1）2個全等的小三角形．故選：D．【點評】本題考查了三角形中位線定理，用加法表示出全等三角形的個數(shù)，進而找到相應規(guī)律是解決本題的關鍵．二、填空題（共6小題，每小題4分，共24分）溫馨提示：填空題應當是填最簡潔，最正確的答案！11．如圖，△ABC是Rt△，BC是斜邊，P是三角形內(nèi)一點，將△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′的長等于．【考點】旋轉的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】根據(jù)旋轉的性質(zhì)得到AP′=AP=3，∠P′AP=∠CAB=90°，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得到出PP′的長．【解答】解：∵△ABP繞點A逆時針旋轉后，能與△ACP′重合，∴AP′=AP=3，∠P′AP=∠CAB=90°，∴△P′AP為等腰直角三角形，∴P′P=AP=3．故答案為3．【點評】本題考查了旋轉的性質(zhì)：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．12．在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥AC，交BC于D，若AB=a，則CD=2a．【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)．【分析】如圖：作CD的中點E，連接AE，由直角三角形的性質(zhì)可以得出AE=CD，可以得出∠AEB=2∠C，得出∠AEB=∠B，就有AB=AE=a，就可以得出結論．【解答】解：如圖，作CD的中點E，連接AE，∴DE=CE=CD．∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴AE=CD，∴AE=CE，∴∠C=∠EAC，∵∠AED=∠C+CAE，∴∠AED=2∠C．∵∠B=2∠C，∴∠AEB=∠B，∴AB=AE=CD，∴CD=2AB．∵AB=a，∴CD=2a．故答案為：2a．【點評】本題考查了作輔助線的運用及直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)的運用等腰三角形的性質(zhì)的運用，解答本題作斜邊上的中線是關?。?3．如圖，有一塊邊長為4的正方形塑料模板ABCD，將一塊足夠大的直角三角板的直角頂點落在A點，兩條直角邊分別與CD交于點F，與CB延長線交于點E．則四邊形AECF的面積是16．【考點】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】由四邊形ABCD為正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，進一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以證明△AEB≌△AFD，所以S△AEB=S△AFD，那么它們都加上四邊形ABCF的面積，即可四邊形AECF的面積=正方形的面積，從而求出其面積．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，∴∠ABE=∠D=90°，∵∠EAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，∴∠DAF=∠BAE，在△AEB和△AFD中，∵，∴△AEB≌△AFD（ASA），∴S△AEB=S△AFD，∴它們都加上四邊形ABCF的面積，可得到四邊形AECF的面積=正方形的面積=16．故答案為：16．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的面積公式，正方形的性質(zhì)，關鍵在于求證△AEB≌△AFD．14．如圖所示，在Rt△ABC中，CD是斜邊上的中線，CE是高．已知AB=10cm，DE=2.5cm，則∠BDC=120度，S△BCD=cm2．【考點】直角三角形斜邊上的中線；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【分析】首先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD=5cm，再根據(jù)三角函數(shù)值算出∠ECD的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角與外角的關系可得∠CDB=∠CED+∠ECD，進而得到∠CDB的度數(shù)；再根據(jù)勾股定理可計算出CE的長，然后再利用三角形的面積公式進行計算即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CD是斜邊上的中線，∴CD=AB，∵AB=10cm，∴CD=5cm，∵CE是高，∴△CED是直角三角形，∵DE=2.5cm，∴sin∠ECD==，∴∠ECD=30°，∴∠CDB=∠CED+∠ECD=90°+30°=120°；在Rt△CED中：CE===（cm），∴S△BCD=DB?CE=×5×=（cm2）．故答案為：120；．【點評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，以及三角函數(shù)的應用，解決問題的關鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．15．若直角三角形兩條直角邊上的中線分別是5厘米和厘米，則斜邊長為厘米．【考點】勾股定理．【分析】如圖，在Rt△ABE與Rt△CBD中，利用勾股定理列出關于a、b的方程組，通過解方程組求得a、b的值；然后在Rt△ABC中根據(jù)勾股定理來求斜邊AC的長度．【解答】解：如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE、CD分別是直角邊BC、AB上的中線，且AE=5厘米，CD=厘米，則由勾股定理知，解得，則AB=2a=4，BC=2b=6．則在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得AC===2（厘米）．故答案是：2．【點評】本題考查了勾股定理．注意：勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．16．已知：如圖，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，BE=1，BC=8．【考點】含30度角的直角三角形．【分析】根據(jù)已知條件易求得∠BDE=30°，∠BAD=30°，則”30度角所對的直角邊是斜邊的一半“，所以BD=2BE=2，AB=2BD=4，BC=2AB=8．【解答】解：如圖，∵∠BAC=90°即AC⊥B，DE⊥AB，∴ED∥AC，∴∠BDE=∠C=30°，∴BD=2BE．又∵AD⊥BC，∴∠BAD=30°，∴AB=2BD=4BE，∴BC=2AB=8BE=8．故填：8．【點評】本題考查了含30度角的直角三角形．在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．三、解答題（共8題，共66分）溫馨提示：解答題應把必要的解答過程表述出來！17．如圖所示，已知：AB=BC=AC，CD=DE=EC，求證：AD=BE．【考點】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】先根據(jù)等邊三角形的內(nèi)角等于60°推出∠ACD=∠BCE，然后利用邊角邊證明△ACD與△BCE全等，然后根據(jù)全等三角形對應邊相等即可證明．【解答】證明：∵AB=BC=AC，CD=DE=EC，∴△ABC與△CDE是等邊三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB﹣∠BCD=∠DCE﹣∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD與△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，判定出△ABC與△CDE是等邊三角形并求出∠ACD=∠BCE是解題的關鍵．18．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的一點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，添加一個條件，使DE=DF，并說明理由．解：需添加條件是BD=CD，或BE=CF．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題；開放型．【分析】本題是開放題，應先確定選擇哪對三角形，再對應三角形全等條件求解．【解答】解：需添加的條件是：BD=CD，或BE=CF．添加BD=CD的理由：如圖，∵AB=AC，∴∠B=∠C．又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE=DF．添加BE=CF的理由：如圖，∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD．又∵BE=CF，∴△BDE≌△CDF（ASA）．∴DE=DF．【點評】三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．19．如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，且BC=6，AB=10，求AC和CD．【考點】勾股定理．【分析】首先利用勾股定理求得直角邊AC=8；然后利用面積法來求CD的長度．【解答】解：∵如圖，在Rt△ABC中，BC=6，AB=10，∴由勾股定理，得AC===8∴，∴．【點評】本題考查了勾股定理．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．20．已知，如圖，延長△ABC的各邊，使得BF=AC，AE=CD=AB，順次連接D，E，F(xiàn)，得到△DEF為等邊三角形．求證：（1）△AEF≌△CDE；（2）△ABC為等邊三角形．【考點】全等三角形的判定；等邊三角形的判定．【專題】證明題；壓軸題．【分析】（1）關鍵是證出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，兩兩相加可得．再結合已知條件可證出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等關系，可得出∠AFE=∠CED，再結合△DEF是等邊三角形，可知∠DEF=60°，從而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等邊三角形．【解答】證明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）．∵△DEF是等邊三角形（已知），∴EF=DE（等邊三角形的性質(zhì)）．又∵AE=CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（對應角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代換），△DEF是等邊三角形（已知），∴∠DEF=60°（等邊三角形的性質(zhì)），∴∠BCA=60°（等量代換），由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中，AB=BC（等角對等邊）．∴△ABC是等邊三角形（等邊三角形的判定）．【點評】本題利用了等量加等量和相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，還有三角形的外角等不相鄰的兩個內(nèi)角之和，等邊三角形的判定（三個角都是60°，那么就是等邊三角形）．21．已知，如圖△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F．求證：（1）BF=AC；（2）CE=BF．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題；壓軸題．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根據(jù)AAS證出△BDF≌△CDA即可；（2）推出∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，根據(jù)ASA證出△AEB≌△CEB，推出AE=CE即可．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°﹣45°=45°=∠DBC，∴BD=DC，在△BDF和△CDA中∵，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF=AC；（2）證明：∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，在△AEB和△CEB中∵，∴△AEB≌△CEB（ASA），∴AE=CE，即CE=AC，∵由（1）知AC=BF，∴CE=BF．【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，關鍵是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，題目綜合性比較強．22．如圖，已知OA=a，P是射線ON上一動點（即P可以在射線ON上運動），∠AON=60°，填空：（1）當OP=a時，△AOP為等邊三角形；（2）當OP=時，△AOP為直角三角形；（3）當OP滿足時，△AOP為鈍角三角形．【考點】等邊三角形的判定；含30度角的直角三角形．【分析】（1）由∠AON=60°，可得當OP=OA=a時，△AOP為等邊三角形；（2）分別從若AP⊥ON與若PA⊥OA去分析求解，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得OP的長；（3）結合（2）的結論，即可求得答案．【解答】解：（1）∵∠AON=60°，∴當OP=OA=a時，△AOP為等邊三角形；（2）若AP⊥ON，∵∠AON=60°，∴OP=OA?cos60°=a；若PA⊥OA，則OP==2a，∴當OP=時，△AOP為直角三角形；（3）由（2）可得：當OP滿足時，△AOP為鈍角三角形．故答案為：（1）a，（2）a或2a，（3）OP＞2a或OP＜a．【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與分類討論思想的應用．23．（2023秋?廣安校級期中）已知，如圖，AD∥BC，∠A=90°，AD=BE，∠EDC=∠ECD，請你說明下列結論成立的理由：（1）△AED≌△BCE，（2）AB=AD+BC．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【