幾種特殊形式的光波課件

上節(jié)課的內(nèi)容：光波與電磁波麥克斯韋方程組電磁波譜2.麥克斯韋電磁方程3.物質(zhì)方程5.光電磁場(chǎng)的能流密度4.波動(dòng)方程1.2幾種特殊形式的光波(Severallightwaveswithspecialforms)3.柱面光波(Cylindricallightwave)1.平面光波(Planelightwave)2.球面光波(Sphericallightwave)4.高斯光束(Gaussianbeams)上節(jié)得到的交變電場(chǎng)E和交變磁場(chǎng)H所滿足的波動(dòng)方程，可以表示為如下的一般形式：1.2幾種特殊形式的光波這是一個(gè)二階偏微分方程，根據(jù)邊界條件的不同，解的具體形式也不同，例如，可以是平面光波、球面光波、柱面光波或高斯光束。1）波動(dòng)方程的平面光波解在直角坐標(biāo)系中，拉普拉斯算符的表示式為為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)

f不含

x、y變量，則波動(dòng)方程為1.平面光波(Planelightwave)1）波動(dòng)方程的平面光波解為了求解波動(dòng)方程，先將其改寫為令可以證明1）波動(dòng)方程的平面光波解因而，上面的方程變?yōu)榍蠼庠摲匠?，f可表示為對(duì)于式中的

f1(z-

t)，(z-

t)為常數(shù)的點(diǎn)都處于相同的振動(dòng)狀態(tài)。如圖所示，t＝0時(shí)的波形為

I，t＝t1時(shí)的波形Ⅱ相對(duì)于波形

I

平移了

t1,……。波陣面：將某一時(shí)刻振動(dòng)相位相同的點(diǎn)連接起來(lái)，所組成的曲面叫波陣面。由于此時(shí)的波陣面是垂直于傳播方向z

的平面，所以

fl

和f2

是平面光波。1）波動(dòng)方程的平面光波解Oxyzk在一般情況下，沿任一方向k、以速度v傳播的平面波，如右圖所示。1）波動(dòng)方程的平面光波解zOxyk2）單色平面光波

（1）單色平面光波的三角函數(shù)表示(20)式是波動(dòng)方程在平面光波情況下的一般解形式，根據(jù)具體條件的不同，可以采取不同的具體函數(shù)表示。最簡(jiǎn)單、最普遍采用的是三角函數(shù)形式，即

（1）單色平面光波的三角函數(shù)表示所謂單色，即指單頻。一個(gè)單色平面光波是一個(gè)在時(shí)間上無(wú)限延續(xù)，空間上無(wú)限延伸的光波動(dòng)，在時(shí)間、空間中均具有周期性。其時(shí)間周期性用周期（T）、頻率（v）、圓頻率（）表征，而由（21）式形式的對(duì)稱性，其空間周期性可用

、1/

、k表征，并分別可以稱為空間周期、空間頻率和空間圓頻率。

（1）單色平面光波的三角函數(shù)表示單色平面光波的時(shí)間周期性與空間周期性密切相關(guān),并由v＝/

相聯(lián)系。為便于運(yùn)算，經(jīng)常把平面簡(jiǎn)諧光波的波函數(shù)寫成復(fù)數(shù)形式。例如，可以將沿z方向傳播的平面光波寫成采用這種形式，就可以用簡(jiǎn)單的指數(shù)運(yùn)算代替比較繁雜的三角函數(shù)運(yùn)算。（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示由于對(duì)（22）式取實(shí)部即為（21）式所示的函數(shù)，所以，對(duì)復(fù)數(shù)形式的量進(jìn)行線性運(yùn)算，只有取實(shí)部后才有物理意義，才能與利用三角函數(shù)形式進(jìn)行同樣運(yùn)算得到相同的結(jié)果。（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示此外，由于對(duì)復(fù)數(shù)函數(shù)

exp[-i(t-kz)]與exp[i(t-kz)]

兩種形式取實(shí)部得到相同的函數(shù)，所以對(duì)于平面簡(jiǎn)諧光波，采用，exp[-i(t-kz)]和exp[i(t-kz)]兩種形式完全等效。（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示exp[-i(t-kz)]exp[i(t-kz)]（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示對(duì)于平面簡(jiǎn)詣光波的復(fù)數(shù)表示式，可以將時(shí)間相位因子與空間相位因子分開(kāi)來(lái)寫：式中稱為復(fù)振幅。（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示進(jìn)一步，若平面簡(jiǎn)諧光波沿著任一波矢

k方向傳播,則其三角函數(shù)形式和復(fù)數(shù)形式表示式分別為相應(yīng)的復(fù)振幅為

（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示

在信息光學(xué)中，經(jīng)常遇到相位共扼光波的概念。所謂相位共扼光波，是指兩列同頻率的光波，它們的復(fù)振幅之間是復(fù)數(shù)共軛的關(guān)系。（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示

假設(shè)有一個(gè)平面光波的波矢量

k平行于

xOz平面，在

z＝0平面上的復(fù)振幅為式中的

為k與z軸的夾角。xzEO（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示

則相應(yīng)的相位共扼光波復(fù)振幅為此相位共軛光波是與

波來(lái)自同一側(cè)的平面光波，其波矢量平行于

xOz平面，與

z

軸夾角為-

。（2）單色平面光波的復(fù)數(shù)表示

此相位共軛光波是與

波來(lái)自同一側(cè)的平面光波，其波矢量平行于

xOz平面，與

z

軸夾角為-

。xzE*EO-一個(gè)各向同性的點(diǎn)光源，它向外發(fā)射的光波是球面光波，等相位面是以點(diǎn)光源為中心、隨著距離的增大而逐漸擴(kuò)展的同心球面。球面波r光線波陣面2.球面光波(Sphericallightwave)球面光波所滿足的波動(dòng)方程仍然是（18）式，只是由于球面光波的球?qū)ΨQ性，其波動(dòng)方程僅與r

有關(guān)，與坐標(biāo)、

無(wú)關(guān)，所以球面光波的振幅只隨距離r變化。若忽略場(chǎng)的矢量性，采用標(biāo)量場(chǎng)理論，可將波動(dòng)方程表示為式中，。2.球面光波(Sphericallightwave)對(duì)于球面光波，利用球坐標(biāo)討論比較方便。此時(shí)，（32）式可表示為2.球面光波(Sphericallightwave)即因而其解為f1(r-t)代表從原點(diǎn)沿

r

正方向向外發(fā)散的球面光波，f2(r+t)代表向原點(diǎn)傳播的會(huì)聚球面光波。球面波的振幅隨

r成反比例變化。2.球面光波(Sphericallightwave)其復(fù)數(shù)形式為最簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)諧球面光波——單色球面光波的波函數(shù)為復(fù)振幅為上面三式中的A1為離開(kāi)點(diǎn)光源單位距離處的振幅值。2.球面光波(Sphericallightwave)一個(gè)各向同性的無(wú)限長(zhǎng)線光源，向外發(fā)射的波是柱面光波，其等相位面是以線光源為中心軸、隨著距離的增大而逐漸展開(kāi)的同軸圓柱面，如圖所示。zr3.柱面光波(Cylindricallightwave)柱面光波所滿足的波動(dòng)方程可以采用以z

軸為對(duì)稱軸、不含z的圓柱坐標(biāo)系形式描述：式中，。這個(gè)方程的解形式比較復(fù)雜，此處不詳述。但可以證明，當(dāng)r

較大（遠(yuǎn)大于波長(zhǎng)）時(shí)，其單色柱面光波的表示式為3.柱面光波(Cylindricallightwave)復(fù)振幅為可以看出，柱面光波的振幅與成反比。3.柱面光波(Cylindricallightwave)由激光器產(chǎn)生的激光束既不是上面討論的均勻平面光波，也不是均勻球面光波，而是一種振幅和等相位面都在變化的高斯球面光波，亦稱為高斯光束。在由激光器產(chǎn)生的各種模式的激光中，最基本、應(yīng)用最多的是基模（TEM00）高斯光束，因此，在這里僅討論基模高斯光束。有關(guān)這種高斯光束的產(chǎn)生、傳輸特性的詳情，可參閱激光原理教科書。4.高斯光束(Gaussianbeams)從求解波動(dòng)方程的觀點(diǎn)看，基模高斯光束仍是波動(dòng)方程（18）式在激光器諧振腔條件下的一種特解。它是以z軸為柱對(duì)稱的波，其表達(dá)式內(nèi)包含有z，且大體朝著z軸的方向傳播。4.高斯光束(Gaussianbeams)考慮到高斯光束的柱對(duì)稱性，可以采用圓柱坐標(biāo)系中的波動(dòng)方程形式：其解的一般函數(shù)形式為可以證明，下面的表達(dá)式滿足上述波動(dòng)方程：4.高斯光束(Gaussianbeams)式中E0常數(shù)，其余符號(hào)的意義為4.高斯光束(Gaussianbeams)這里，ω0=ω(z=0)

為基模高斯光束的束腰半徑；f為高斯光束的共焦參數(shù)或瑞利長(zhǎng)度；

R(z)

為與傳播軸線相交于z點(diǎn)的高斯光束等相位面的曲率半徑；ω(z)

是與傳播軸線相交于z點(diǎn)高斯光束等相位面上的光斑半徑。4.高斯光束(Gaussianbeams)(z)0R(z)z0(42)式的波場(chǎng)就是基模高斯光束的標(biāo)量波形式，由它可以研究：4.高斯光束(Gaussianbeams)(1)光強(qiáng)分布的特征;(2)空間相移特征;(3)發(fā)散角的特征：（1）基模高斯光束在橫截面內(nèi)的光電場(chǎng)振幅分布按照高斯函數(shù)的規(guī)律從中心（即傳播軸線）向外平滑地下降，如圖所示。1/ez01exp[-r2/2(z)](z)(z)4.高斯光束(Gaussianbeams)由中心振幅值下降到1/e(

1/2.7=0.3678)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的寬度，定義為光斑半徑。（1）基模高斯光束在橫截面內(nèi)的光電場(chǎng)振幅分布可見(jiàn)，光斑半徑隨著坐標(biāo)z

按雙曲線的規(guī)律擴(kuò)展，即在z＝0

處，ω(z)=ω0，達(dá)到極小值，稱為束腰半徑。（1）基模高斯光束在橫截面內(nèi)的光電場(chǎng)振幅分布由（45）式可見(jiàn)，只要知道高斯光束的束腰半徑ω0

，即可確定任何z處的光斑半徑.ω0

是由激光器諧振腔決定的,改變激光器諧振腔的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì),即可改變?chǔ)?值.(z)0R(z)z0（1）基模高斯光束在橫截面內(nèi)的光電場(chǎng)振幅分布(2)基模高斯光束場(chǎng)的相位因子決定了基模高斯光束的空間相移特性。(2)基模高斯光束場(chǎng)的相位因子(a)kz

描述了高斯光束的幾何相移；(b)arctan(z/f)

描述了高斯光束在空間行進(jìn)距離

z處、相對(duì)于幾何相移的附加相移；(c)因子kr2/(2R(z))

則表示與橫向坐標(biāo)r有關(guān)的相移，它表明高斯光束的等相位面是以只R(z)

為半徑的球面。（2）基模高斯光束場(chǎng)的相位因子R(z)

隨z

的變化規(guī)律為（2）基模高斯光束場(chǎng)的相位因子可見(jiàn)：

①當(dāng)z＝0

時(shí)，R(z)→∞，表明束腰所在處的等相位面為平面；

②當(dāng)z→±∞

時(shí)，R(z)≈z→∞，表明離束腰無(wú)限遠(yuǎn)處的等相位面亦為平面，且曲率心就在束腰處；

③當(dāng)z＝±f

時(shí)，︱R(z)︱＝2f，達(dá)到極小值；

（2）基模高斯光束場(chǎng)的相位因子

④當(dāng)0＜z＜f

時(shí)，R(z)＞2f，表明等相位面的曲率中心在（－∞，－f）區(qū)間上；⑤當(dāng)z＞f

時(shí)，z＜R(z)＜z＋f，表明等相位面的曲率中心在（－f，0）區(qū)間上。(z)R(z)z0f-f基模高斯光束既非平面波，又非均勻球面波，它的發(fā)散度采用遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角表征。遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角θ1/e2