機(jī)械系統(tǒng)建模

本章教學(xué)目標(biāo)掌握運(yùn)用牛頓定理對機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行建模的方法重點(diǎn)掌握模型中的參數(shù)對機(jī)械系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，從而據(jù)此調(diào)整設(shè)計(jì)參數(shù)，使機(jī)械系統(tǒng)滿足機(jī)電一體化的設(shè)計(jì)要求教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：機(jī)械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中各個(gè)參數(shù)對機(jī)械系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，基本物理量的折算方法難點(diǎn)：機(jī)械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中各個(gè)參數(shù)對機(jī)械系統(tǒng)動態(tài)特性的影響1.拉普拉斯變換的定義拉氏變換是控制工程中的一個(gè)基本數(shù)學(xué)方法，其優(yōu)點(diǎn)是能將時(shí)間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)拉氏變換后，變成復(fù)變量s的乘積，將時(shí)間表示的微分方程，變成以s表示的代數(shù)方程。補(bǔ)1：拉普拉斯變換復(fù)變量原函數(shù)象函數(shù)拉氏變換符號拉普拉斯變換：在一定條件下，把實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)f(t)變換到復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù)F(s)

。

設(shè)有時(shí)間函數(shù)f(t)，當(dāng)t<0時(shí)，f(t)＝0；在t≥0時(shí)定義函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換為：

拉氏變換是否存在取決于定義的積分是否收斂。拉氏變換存在的條件：

①當(dāng)t≥0時(shí)，f(t)分段連續(xù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；

②當(dāng)t→∞時(shí)，f(t)的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，即在復(fù)平面上，對于Res

>a的所有復(fù)數(shù)s(Res表示s的實(shí)部)都使積分式絕對收斂，故Res

>a是拉普拉斯變換的定義域，a稱為收斂坐標(biāo)。式中：M、a為實(shí)常數(shù)。補(bǔ)1：拉普拉斯變換定義

當(dāng)f(t)含有沖激函數(shù)項(xiàng)時(shí)，此項(xiàng)0拉氏變換積分上限說明：F(s)=?[f(t)]f(t)=?

-1[F(s)]表示為：0—補(bǔ)1：拉普拉斯變換f(t)，t[0,)稱為原函數(shù)，屬時(shí)域。原函數(shù)用小寫字母表示，如f(t)

，i(t)，u(t)

F(s)稱為象函數(shù)，屬復(fù)頻域。象函數(shù)F(s)用大寫字母表示,如F(s)，I(s)，U(s)。稱為復(fù)頻率。f(t)F(S)LL_拉普拉斯變換對，記為：

微分定理拉氏變換的主要運(yùn)算定理利用這一定理可將系統(tǒng)微分方程轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)常用函數(shù)的拉普拉斯變換

（單位階躍函數(shù)）tu(t)F(s)=?

?

(指數(shù)函數(shù))F(s)==1?

（單位脈沖函數(shù)）δ(t)t0（單位斜坡函數(shù)）

f(t)t0F(s)=L[f(t)]=??（冪函數(shù)）

?????常用函數(shù)的拉普拉斯變換表ttne-atte-attne-ate-jwtu(t)δ(t)δ(n)(t)1sn1/s1/s2n!sn+1n!(s+a)n+11(s+a)21s+a1s+jw補(bǔ)2：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。三要素：線性定常系統(tǒng)零初始條件輸出與輸入的拉氏變換之比

零初始條件：輸入及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0-時(shí)刻均為0輸出及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0-時(shí)刻均為0傳遞函數(shù)與輸入、輸出之間的關(guān)系補(bǔ)2：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的一般形式

設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述

式中，nm，當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：補(bǔ)3：阻尼阻尼定義指任何振動系統(tǒng)在振動中，由于外界作用和/或系統(tǒng)本身固有的原因引起的振動幅度逐漸下降的特性，以及此一特性的量化表征。阻尼力在物理學(xué)和工程學(xué)上，阻尼的力學(xué)模型一般是一個(gè)與振動速度大小成正比，與振動速度方向相反的力第1節(jié)機(jī)械系統(tǒng)教學(xué)模型的建立1.1機(jī)械移動系統(tǒng)1.2機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)1.3基本物理量的折算基本構(gòu)成

質(zhì)量、阻尼器和彈簧建立其數(shù)學(xué)模型的基本原理

牛頓第二定律1.1機(jī)械移動系統(tǒng)機(jī)械移動系統(tǒng)的建模方法：（1）求系統(tǒng)運(yùn)動方程（牛頓第二定律）（2）對運(yùn)動方程兩邊取拉氏變換（3）求傳遞函數(shù)（4）畫系統(tǒng)框圖

1.1機(jī)械移動系統(tǒng)組合機(jī)床動力滑臺銑平面單自由度隔振系統(tǒng)單輪汽車支承系統(tǒng)1.1機(jī)械移動系統(tǒng)舉例說明移動系統(tǒng)的建模方法：組合機(jī)床動力滑臺銑平面設(shè)動力滑臺的質(zhì)量m液壓缸的剛度k粘性阻尼系數(shù)c外力f(t)若不計(jì)動力滑臺與支承之間摩擦力則系統(tǒng)的力學(xué)模型一、動力滑臺系統(tǒng)一、動力滑臺系統(tǒng)（1）求系統(tǒng)的運(yùn)動方程

x(t)彈力位移f(t)外力慣性力阻尼力動力滑臺受力分析滑臺滑臺受力平衡方程（左邊=右邊）一、動力滑臺系統(tǒng)（2）運(yùn)動方程的拉氏變換則設(shè)L[x(t)]=X(s)L[f(t)]=F(s)L[x(t)]=sX(s)L[x(t)]=s2X(s)L[mx+cx+kx]=(ms2+cs+k)X(s)=ms2X(s)+csX(s)+kX(s)(ms2+cs+k)X(s)=F(s)一、動力滑臺系統(tǒng)（3）傳遞函數(shù)(ms2+cs+k)X(s)=F(s)傳遞函數(shù)輸出的拉氏變換與輸入的拉氏變換之比輸出：X(s)輸入：F(s)一、動力滑臺系統(tǒng)（4）系統(tǒng)框圖傳遞函數(shù)一、動力滑臺系統(tǒng)系統(tǒng)的運(yùn)動方程與傳遞函數(shù)與動力滑臺的完全一樣二、單自由度隔振系統(tǒng)單自由度隔振系統(tǒng)動力滑臺系統(tǒng)（不計(jì)摩擦力）二、單自由度隔振系統(tǒng)運(yùn)動方程傳遞函數(shù)三、單輪汽車支承系統(tǒng)汽車質(zhì)量汽車輪子的質(zhì)量減振器阻尼系數(shù)彈簧剛度輪胎彈性剛度輪胎絕對位移汽車絕對位移外力三、單輪汽車支承系統(tǒng)（1）求系統(tǒng)的運(yùn)動方程

汽車m1汽車m1相對位移：x1-x2慣性力阻尼力彈簧彈力m1x1c(x1-x2)k1(x1-x2)運(yùn)動方程三、單輪汽車支承系統(tǒng)（1）求系統(tǒng)的運(yùn)動方程

輪胎m2慣性力阻尼力彈簧彈力外力m2x2c(x2-x1)k1(x2-x1)+k2x2f(t)運(yùn)動方程三、單輪汽車支承系統(tǒng)（1）求系統(tǒng)的運(yùn)動方程

輪胎m2汽車m1三、單輪汽車支承系統(tǒng)（2）運(yùn)動方程的拉氏變換汽車m1則設(shè)L[x(t)]=X(s)L[f(t)]=F(s)L[x(t)]=sX(s)L[x(t)]=s2X(s)L[m1x1+c(x1-x2)+k1(x1-x2)]=0=m1s2X1(s)+cs[X1(s)-X2(s)]+k1[X1(s)-X2(s)]三、單輪汽車支承系統(tǒng)（2）運(yùn)動方程的拉氏變換L[m1x1+c(x1-x2)+k1(x1-x2)]=0=m1s2X1(s)+cs[X1(s)-X2(s)]+k1[X1(s)-X2(s)](m1s2+cs+k1)X1(s)=(cs+k1)X2(s)則三、單輪汽車支承系統(tǒng)（2）運(yùn)動方程的拉氏變換輪胎m2三、單輪汽車支承系統(tǒng)（2）運(yùn)動方程的拉氏變換輪胎m2汽車m1三、單輪汽車支承系統(tǒng)（3）傳遞函數(shù)單輪汽車支承系統(tǒng)的力學(xué)模型（3）傳遞函數(shù)單輪汽車支承系統(tǒng)的力學(xué)模型（4）系統(tǒng)框圖簡化后系統(tǒng)框圖基本構(gòu)成參數(shù)轉(zhuǎn)動慣量、阻尼器和彈簧建立其數(shù)學(xué)模型的基本原理

牛頓第二定律1.2機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)1.2機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)

簡單扭擺系統(tǒng)模型建立1.2機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)J：擺錘的轉(zhuǎn)動慣量c：擺錘與空氣間的粘性阻尼系數(shù)k：扭簧的彈性剛度m(t)：加在擺錘上的扭矩θ(t)：擺錘轉(zhuǎn)角取拉氏變換，傳遞函數(shù)：由牛頓第二定律，系統(tǒng)的運(yùn)動方程：1.2機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)1.2機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)機(jī)械位移和轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的傳遞函數(shù)形式是相同的打印機(jī)中的步進(jìn)電動機(jī)一同步齒形帶驅(qū)動裝置1.2機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)步進(jìn)電動機(jī)軸負(fù)載輸出軸轉(zhuǎn)角輸入軸轉(zhuǎn)角驅(qū)動力矩動力學(xué)方程1.2機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)步進(jìn)電動機(jī)軸負(fù)載拉氏變換1.2機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)步進(jìn)電動機(jī)軸負(fù)載傳遞函數(shù)1.2機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)系統(tǒng)以外力矩為輸入、輸出軸轉(zhuǎn)角為輸出的傳遞函數(shù)系統(tǒng)框圖1.2機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)系統(tǒng)框圖框圖簡化簡化后1.3基本物理量的折算基本物理量的折算：機(jī)械系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立過程中經(jīng)常遇到的問題以數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行說明1.3基本物理量的折算數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)1.3基本物理量的折算數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)電動機(jī)通過兩級減速齒輪z1、z2、z3、z4及絲杠螺母機(jī)構(gòu)驅(qū)動工作臺作直線運(yùn)動J1、J2、J3：轉(zhuǎn)動慣量k1、k2、k3：扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)k：絲杠螺母副的軸向剛度系數(shù)m：工作臺質(zhì)量c：工作臺導(dǎo)軌粘性阻尼系數(shù)T1、T2、T3：軸的輸入轉(zhuǎn)矩1.3基本物理量的折算（一）轉(zhuǎn)動慣量的折算將軸I、II、III上的轉(zhuǎn)動慣量和工作臺的質(zhì)量都折算到軸I上，作為系統(tǒng)總轉(zhuǎn)動慣量T1’、T2’、T3’分別為軸I、II、III的負(fù)載轉(zhuǎn)矩ω1、ω2、ω3分別為軸I、II、III的角速度ν為工作臺的運(yùn)動速度設(shè)1.3基本物理量的折算（一）轉(zhuǎn)動慣量的折算1）軸I、II、III上的轉(zhuǎn)動慣量的折算軸I軸II軸III軸II的輸入轉(zhuǎn)矩是從軸I上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩獲得，且與他們的轉(zhuǎn)速成反比由傳動關(guān)系知：由2-17、18、19推出軸II1.3基本物理量的折算（一）轉(zhuǎn)動慣量的折算1.3基本物理量的折算（一）轉(zhuǎn)動慣量的折算軸III根據(jù)力學(xué)原理和傳動關(guān)系1.3基本物理量的折算