概率論與數(shù)理統(tǒng)計43協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)二、相關(guān)系數(shù)的意義三、小結(jié)第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)1.問題的提出一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及性質(zhì)

對于二維隨機向量(X,Y)來說,數(shù)學期望只反映了X與Y各自的平均值,方差只反映了X與Y各自離開均值的偏離程度,它們對X與Y之間相互關(guān)系不提供任何信息.

但二維隨機向量(X,Y)的概率密度f(x,y)或分布律pij全面地描述了(X,Y)的統(tǒng)計規(guī)律,也包含有X與Y之間關(guān)系的信息.我們希望有一個數(shù)字特征能夠在一定程度上反映這種聯(lián)系.

在討論這個問題之前，我們先看一個例子。在研究子女與父母的相象程度時，有一項是關(guān)于父親的身高和其成年兒子身高的關(guān)系。1.問題的提出

這里有兩個變量，一個是父親的身高，一個是成年兒子身高.為了研究二者關(guān)系，英國統(tǒng)計學家皮爾遜收集了1078個父親及其成年兒子身高的數(shù)據(jù),畫出了一張散點圖。兒子的身高父親的身高問：父親及其成年兒子身高存在怎樣的關(guān)系呢？fatherson1.問題的提出類似的問題有：1、吸煙和患肺癌有什么關(guān)系？2、受教育程度和失業(yè)有什么關(guān)系？3、高考入學分數(shù)和大學學習成績有什么關(guān)系？……???協(xié)方差1.問題的提出

因此,方差是協(xié)方差的特例,協(xié)方差刻畫兩個隨機變量之間的“某種”關(guān)系.2.定義特別,若X=Y,則cov(X,X)=E(X-E(X))2=D(X)

對兩個隨機向量(X,Y),若存在，則稱為X和Y的協(xié)方差.對于任意隨機變量X與Y,總有

由協(xié)方差定義得這是計算協(xié)方差的常用公式.可見，若X與Y獨立，則Cov(X,Y)=0.

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

3.計算(4)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(2)Cov(X,X)=D(X)4.協(xié)方差的性質(zhì)(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)其中a、b是常數(shù)(1)

Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(對稱性)特別的:Cov(X,c)=0(c為常數(shù))(5)若X與Y獨立，則Cov(X,Y)=0.

協(xié)方差的數(shù)值在一定程度上反映了X與Y相互間的聯(lián)系,但它受X與Y本身數(shù)值大小的影響.如令X*=kX,Y*=kY,這時X*與Y*間的相互聯(lián)系和X與Y的相互聯(lián)系應該是一樣的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)

為了克服這一缺點,在計算X與Y的協(xié)方差之前,先對X與Y進行標準化:

再來計算X*和Y*的協(xié)方差，這樣就引進了相關(guān)系數(shù)的概念.為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)(correlationconfficient).1.定義:若D(X)>0,D(Y)>0,且Cov(X,Y)存在時，稱

在不致引起混淆時，記

為.二、相關(guān)系數(shù)

考慮以X的線性函數(shù)a+bX來近似表示Y.以均方誤差

e=E{[Y-(a+bX)]2}=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)來衡量以a+bX近似表達Y的好壞程度.e的值越小表示a+bX與Y的近似程度越好.為此令從而得2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1:隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)滿足|ρXY|≤1.證明由可知

性質(zhì)2:|ρXY|=1的充要條件是,存在常數(shù)a,b使得P{Y=a+bX}=1

證明:(1)若|ρXY|=1,則由(2)

若存在常數(shù)a*,b*使得P{Y=a*+b*X}=1,則有P{[Y-(a*+b*X)]2=0}=1.即得E{[Y-(a*+b*X)]2}=0,又由即得|ρXY|=1注意

|ρXY|的大小反映了X,Y之間線性關(guān)系的密切程度:ρXY=0時,X,Y之間無線性關(guān)系;|ρXY|=1時,X,Y之間具有線性關(guān)系.ρXY>0,X,Y正相關(guān)ρXY<0,X,Y負相關(guān)ρXY≠0,X,Y相關(guān)ρXY=0,X,Y不相關(guān)(ρXY=1,X,Y完全正相關(guān))(ρXY=-1,X,Y完全負相關(guān))xy0

完全正相關(guān)Y=aX+ba>0xy0

完全負相關(guān)Y=aX+ba<0xy0

完全不相關(guān)xy0

正相關(guān)xy0

負相關(guān)A：0B：1C：-1D：1或-1解：因為X＋Y＝n，即P{Y=-X+n}=1，所以X與Y完全負相關(guān)，故從而選C。注：若a>0時,ρXY=1a<0時,ρXY=-1則例1：將一枚密度均勻硬幣拋n次，分別以X和Y記作正反面出現(xiàn)的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)為例2(X,Y)的聯(lián)合分布為:X-101Y-1011/81/81/81/801/81/81/81/8求相關(guān)系數(shù)ρXY,并判斷X,Y是否相關(guān),是否獨立.解：X-101Y-1011/81/81/83/81/801/82/81/81/81/83/83/82/83/81XY-101P2/84/82/8例2(X,Y)的聯(lián)合分布為:X-101Y-1011/81/81/81/801/81/81/81/8求相關(guān)系數(shù)ρXY,并判斷X,Y是否相關(guān),是否獨立.解：從而：X-101Y-1011/81/81/83/81/801/82/81/81/81/83/83/82/83/81另一方面：P(X=-1,Y=-1)=1/8≠P(X=-1)P(Y=-1)=(3/8)×(3/8)所以X與Y不獨立.例3:設隨機變量Θ在[-π,π]上服從均勻分布,又X=sinΘ,Y=cosΘ試求X與Y的相關(guān)系數(shù)ρ.解：這時有Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即ρ=0.從而X與Y不相關(guān),沒有線性關(guān)系;但是X與Y存在另一個函數(shù)關(guān)X2+Y2=1,從而X與Y是不獨立的.

X,Y不相關(guān)X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)不相關(guān)與相互獨立的關(guān)系結(jié)論若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，X,Y相互獨立X,Y不相關(guān)解練習1.定義三、矩2.協(xié)方差矩陣

這一講我們主要介紹了協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)是刻劃兩個隨機變量間線性相關(guān)程度的重要的數(shù)字特征,它取值在-1到1之間.小結(jié)

例4設隨機變量X和Y相互獨立且X~N(1,2),Y~N(0,1).試求Z=2X-Y+3的概率密度.YX-10100.070.180.1510.080.320.20YX-10100.070.180.1510.080.320.20解

X與Y的分布律分別為X-101P0.150.50.35Y01P0.40.6于是解則于是

解

所以因此

例4設隨機變量X和Y相互獨立且X~N(1,2),Y~N(0,1).試求Z=2X-Y+3的概率密度.

故X和Y的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，X和Y的