概率統(tǒng)計和隨機過程25連續(xù)型隨機變量課件

§2.5連續(xù)型隨機變量定義

設

X

是一隨機變量，若存在一個非負可積函數(shù)

f(x),使得其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱X

是連續(xù)型隨機變量，f(x)是它的概率密度函數(shù)(p.d.f.)，密度函數(shù)或概率密度連續(xù)型隨機變量的概念1分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)f(x)的幾何意義xF(x)2p.d.f.

f(x)的性質

常利用這兩個性質檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)

在f(x)

的連續(xù)點處，f(x)描述了X在

x

附近單位長度的區(qū)間內取值的概率3注意:對于連續(xù)型隨機變量X,P(X=a)=0這里a

可以是隨機變量

X

的一個可能的取值命題

連續(xù)型隨機變量取任一常數(shù)的概率為零強調

概率為1(零)的事件未必發(fā)生(不發(fā)生)事實上5對于連續(xù)型隨機變量Xbxf(x)a6xf(x)a7解(1)c=1000(2)設事件A

表示一只晶體管的壽命小于1500小時設在使用的最初1500小時三只晶體管中損壞的只數(shù)為Y9(1)均勻分布(a,b)上的均勻分布記作常見的連續(xù)性隨機變量的分布若X

的密度函數(shù)為，則稱X

服從區(qū)間其中X

的分布函數(shù)為10xf(x)abxF(x)ba11例3秒表的最小刻度差為0.01秒.若計時精度是取最近的刻度值,求使用該秒表計時產生的隨機誤差X的概率密度,并計算誤差的絕對值不超過0.004秒的概率.解

由題設知隨機誤差X等可能地取得區(qū)間上的任一值，則所以13(2)指數(shù)分布若X

的密度函數(shù)為則稱X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)141xF(x)0xf(x)015例4假定一大型設備在任何長為

t

的時間內發(fā)生故障的次數(shù)N(t)服從參數(shù)為t的Poisson分布,求相繼兩次故障的時間間隔T的概率分布解(1)17即18(3)

正態(tài)分布若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù)，19f(x)的性質：圖形關于直線x=

對稱：f(+x)=f(-x)在x=

時,f(x)取得最大值

(2)曲線

y=f(x)以x軸為漸近線(3)曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀2122f(x)的兩個參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對于不同的,對應的f(x)的形狀不變化，只是位置不同—形狀參數(shù)固定，對于不同的，f(x)的形狀不同.若1<2則附近值的概率更大.前者取23應用場合若隨機變量

X受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則X服從正態(tài)分布.各種測量的誤差；人的生理特征；工廠產品的尺寸；農作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線的抗拉強度；熱噪聲電流強度；學生們的考試成績；可用正態(tài)變量描述的實例非常之多25一種重要的正態(tài)分布：N(0,1)—標準正態(tài)分布它的分布函數(shù)記為(x)，其值有專門的表可查(x)

是偶函數(shù)，其圖形關于縱軸對稱標準正態(tài)分布性質:26對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換29例5

設X~N(1,4),求P(0X1.6)解P364附表330例6

已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解一31解二圖解法0.2由圖0.332例

3原理設

X~N(,2),求解在一次試驗中,X

落入區(qū)間(-3,+3)的概率為0.9974,而超出此區(qū)間的可能性很小由3原理知，當33標準正態(tài)分布的

分位數(shù)z設X~N(0,1),0<<1,稱滿足的點z

為X的分位數(shù)

z常用的幾個數(shù)據34例7

設測量的誤差X~N(7.5,100)(單位：米),問要進行多少次獨立測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過10米的概率大于