離散型隨機(jī)變量

第二章第二節(jié)離散型隨機(jī)變量設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是x1,x2,…。

為了描述隨機(jī)變量X，我們不僅需要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率。(一)離散型隨機(jī)變量：

這樣，就的得到了隨機(jī)變量X取值的概率規(guī)律。從盒中任取3個(gè)球，求取到白球的概率？設(shè)取到的白球數(shù)

X為一個(gè)隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2。于是，取每個(gè)值的概率為：例1：且，其中pk滿足：k=1,2,…；（1）pk≥0，

定義1：設(shè)xk

(k=1,2,……)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱P(X=xk)=pk，k=1,2,……為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律，有的書上也稱概率函數(shù)。通常用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否服從概率分布一、離散型隨機(jī)變量的概率分布（2）二、概率分布的表示方法（1）列表法：（2）公式法：（3）表格法：X~P(X=xk)=pk，k=1,2,……Xx1x2

??????xk??????pkp1p2

??????pk??????三、舉例例2.

某籃球運(yùn)動員投中籃圈的概率為0.9，求其兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X

的概率分布。解：X可取0，1，2等值P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18P(X=2)=(0.9)(0.9)=0.81

且P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1常常表示為：這就是X的概率分布。X012pk0.010.180.81例3.

如圖所示，電子線路中裝有兩個(gè)并聯(lián)的繼電器。假設(shè)這兩個(gè)繼電器是否接通具有隨機(jī)性，且彼此獨(dú)立。已知每個(gè)繼電器接通的概率為0.8，記X

為線路中接通的繼電器的個(gè)數(shù)。求:(1)X

的概率分布；(2)線路接通的概率。解:(1)首先，隨機(jī)變量X可能取0,1,2三個(gè)值。

記Ai

={第i個(gè)繼電器接通}，i=0,1,2。兩個(gè)繼電器是否接通是相互獨(dú)立的，于是

A1和A2相互獨(dú)立，且P(A1)=P(A2)=0.8。

因{X=0}表示兩個(gè)繼電器都沒接通，所以

P{X=0}=P(ā1ā2)=P(ā1)P(ā2)=0.20.2=0.04。P{X=1}=P(A1ā2∪ā1A2)=P(A1ā2)+P(ā1A2)

=P(A1)P(ā2)+P(ā1)P(A2)

=0.80.2+0.20.8=0.32類似地P{X=2}=P(A1A2)=P(A1)P(A2)

=0.80.8=0.64于是，X

的概率分布為(2)因?yàn)榇穗娐凡⒙?lián)，所以只要一個(gè)繼電器接通，整個(gè)線路將接通。于是所求的概率為P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64=0.96。X012pk0.040.320.64(二)常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布(I)兩點(diǎn)分布

若隨機(jī)變量X

只可能取0或1兩個(gè)值，其概率分布為

P{X=1}=p，P{X=0}=1-p，其中0p1，則稱X

服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布或(0-1)分布，記為XB(1,p)。

200件產(chǎn)品中，有196件是正品，4件是次品，今從中隨機(jī)地抽取一件，若規(guī)定例4.X=1,取到合格品0,取到不合格品則P{X=1}=196/200=0.98,

P{X=0}=4/200=0.02。故X服從參數(shù)為0.98的兩點(diǎn)分布，即

X～B(1,0.98).例6.

設(shè)生男孩的概率為p，生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù)。伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分布(II)求X的概率分布。X的概率分布為：男女X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為p。X=0X=1X=2X=3X=4例7.

將一枚均勻的骰子拋擲3次，令X表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù)，X的概率分布為：不難求得，

擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”

一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A和ā，或者形象地把這兩個(gè)互逆的結(jié)果叫做“成功”與“失敗”。

新生兒：“是男孩”，“是女孩”

抽產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)(“重復(fù)”是指每次試驗(yàn)中的試驗(yàn)條件相同)例如，

這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作n次伯努利試驗(yàn)，簡稱伯努利試驗(yàn)或伯努利概型。

其中，每次試驗(yàn)成功的概率都是p，失敗的概率都是q=1-p。

用X表示n次伯努利試驗(yàn)中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則稱

X服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p)。注:伯努利試驗(yàn)對試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；實(shí)際上，二項(xiàng)分布描述的是n次伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù)（X）的概率分布。（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A和ā，

且P(A)=p，P(ā)=1-p；（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。例8.某類燈泡使用時(shí)數(shù)在2000小時(shí)以上視為正品.已知有一大批這類的燈泡,其次品率是0.2.隨機(jī)抽出20只燈泡做壽命試驗(yàn),求這20只燈泡中恰有3只是次品的概率.解:設(shè)X為20只燈泡中次品的個(gè)數(shù),則X~B(20,0.2)，于是

下面我們研究二項(xiàng)分布

B(n,p)和兩點(diǎn)分布

B(1,p)之間的一個(gè)重要關(guān)系。

說明設(shè)試驗(yàn)E

只有兩個(gè)結(jié)果:A和ā，記p=P(A),則P(ā)=1-p,且0<p<1。我們把試驗(yàn)E

在相同的條件下，相互獨(dú)立地進(jìn)行n

次，記X

為n

次獨(dú)立試驗(yàn)中結(jié)果A出現(xiàn)的次數(shù)。把描述第i

次實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)變量記作Xi

，則Xi～B(1,p),且X1,X2,,Xn也是相互獨(dú)立的，則有X=X1+X2+??????+Xn。

一、泊松分布的定義

設(shè)隨機(jī)變量X

所有的可能取值為0,1,2,???,且概率分布為：其中>0是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布，記作X~P()。(III)泊松分布其中，例9.

某一無線尋呼臺，每分鐘收到尋呼的次數(shù)X

服從參數(shù)為=3的泊松分布。求:(1)一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率。

(2)一分鐘內(nèi)收到2至5次尋呼的概率。.解:泊松分布為P{X=3}=p(3;3)=(33/3!)e-3≈0.2240(2)

P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3≈0.7169解:例10.

某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X

服從參數(shù)=0.8的泊松分布。求:該城市一天內(nèi)發(fā)生3次以上火災(zāi)的概率。P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}]=1-[(0.80/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8≈0.0474

泊松分布的圖形特點(diǎn)：X~P()歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似給出的，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入。二、二項(xiàng)分布與泊松分布命題

對于二項(xiàng)分布B(n,p)，當(dāng)n

充分大，而p又很小時(shí)，則對任意固定的非負(fù)整數(shù)k，有近似式其中，=np。

由泊松定理，n次伯努利試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布。

我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件。如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等。解:例11.

某出租汽車公司共有出租車400輛，設(shè)每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02。求:一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率。

將觀察一輛車一天內(nèi)是否出現(xiàn)故障看成一次試驗(yàn)E。因?yàn)槊枯v車是否出現(xiàn)故障與其它車無關(guān)，于是觀察400輛出租車是否出現(xiàn)故障就是做400次伯努利試驗(yàn)。設(shè)X

表示一天內(nèi)出現(xiàn)故障的車數(shù)，則:X～B(400,0.02)。令=np=400×0.02=