塑性理論 第七章 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

第七章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

塑性變形時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，其數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為本構(gòu)方程或物理方程。7.1彈性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系7.2塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系特點(diǎn)7.3增量理論7.4全量理論7.5應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律主要內(nèi)容：7.1彈性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系虎克定律廣義虎克定律E：彈性模量：泊松比剪切模量比列及差比形式：結(jié)論：在彈性變形中包括改變體積的變形和改變形狀的變形。前者與球應(yīng)力分量成正比，后者與偏差應(yīng)力分量成正比，寫成張量形式：廣義虎克定律改寫為：彈性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)：應(yīng)力與應(yīng)變完全成線性關(guān)系，即應(yīng)力主軸與全量應(yīng)變主軸重合彈性變形是可逆的，與應(yīng)變歷史（加載過程無關(guān)），應(yīng)力與應(yīng)變之間存在統(tǒng)一的單值關(guān)系彈性變形時(shí)，應(yīng)力張量使物體產(chǎn)生體積變化，泊松比小于0.57.2塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系特點(diǎn)體積不變，泊松比v=0.5應(yīng)力、應(yīng)變?yōu)榉蔷€性關(guān)系全量應(yīng)變與應(yīng)力主軸不一定重合

塑性變化不可逆——無單值一一對應(yīng)關(guān)系——與加載路徑有關(guān)

對于應(yīng)變硬化材料，卸載后的屈服應(yīng)力比初始屈服應(yīng)力高ABCDε,γσ,τOεCεDσSτSa)JIADBCEOτσ初始屈服軌跡后繼屈服軌跡不同加載路線的應(yīng)力與應(yīng)變b)a)應(yīng)力—應(yīng)變曲線b)屈服軌跡JIADBCEOτσ初始屈服軌跡后繼屈服軌跡b)JIADBCEOτσ初始屈服軌跡后繼屈服軌跡b)7.3增量理論又稱為流動(dòng)理論，是描述材料處于塑性狀態(tài)時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變增量或應(yīng)變速率之間關(guān)系的理論。全量應(yīng)變：前面我們討論過的應(yīng)變，都是反映微元體在某一變形過程或變形過程的某個(gè)階段終了時(shí)的應(yīng)變大小，所以可叫做“全量應(yīng)變”。應(yīng)變增量：就是變形過程中某一短階段中的應(yīng)變。以物體在變形過程中某瞬時(shí)的形狀尺寸為原始狀態(tài)，在此基礎(chǔ)上發(fā)生的無限小應(yīng)變就是應(yīng)變增量，記為：1、Levy-Mises理論材料是剛塑性材料，即彈性應(yīng)變增量為零，塑性應(yīng)變增量就是總的應(yīng)變增量材料符合Mises屈服準(zhǔn)則每一加載瞬時(shí)，應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合塑性變形時(shí)體積不變0yε應(yīng)變增量與應(yīng)力偏增量成正比：為瞬時(shí)的非負(fù)系數(shù)，加載時(shí)為變值，卸載時(shí)為0Levy-Mises方程差比形式：∴

∵

∵

∴

∴

∴

2、Prandtl-Reuss理論-塑性增量方程

總應(yīng)變增量由彈、塑性兩部分組成：增量理論特點(diǎn)：Prandtl-Reuss理論與Levy-Mises理論的差別在于前者考慮彈性變形而后者不考慮都指出了塑性應(yīng)變增量與應(yīng)變偏量之間的關(guān)系整個(gè)變形由各個(gè)瞬時(shí)變形累加而得，能表達(dá)加載過程的歷史對變形的影響，能反映出復(fù)雜的加載情況卸載時(shí)仍按虎克定律求解SO面平行于S沿著屈服表面的法線方向1234Oxy復(fù)雜加載途徑例題：已知兩端封閉的薄壁圓筒，內(nèi)徑為，壁厚為，承受內(nèi)壓，從而產(chǎn)生塑性變形，如果材料是各向同性的，并忽略筒壁上的徑向應(yīng)力（），試求切向、軸向和徑向應(yīng)變增量的比值。所以：由增量理論：所以：

解：由于：7.4全量理論簡單加載，各應(yīng)力分量按同一比例增加

應(yīng)力分量比例增加，中途不能卸載，因此加載從原點(diǎn)出發(fā)；應(yīng)力主軸與應(yīng)變主軸重合變形體不可壓縮在上述條件下，小塑性變形的情況下，漢基提出：為瞬時(shí)的正值比例常數(shù)，在整個(gè)加載過程中可能是變量。

因?yàn)椋核裕簩τ谒苄宰冃蜗喈?dāng)大的塑性加工問題時(shí)，可以忽略彈性應(yīng)變，坐標(biāo)軸取主軸時(shí)：注：雖然全量理論只適用于微小變形和簡單加載條件，但由于全量理論表示的是應(yīng)力與全應(yīng)變一一對應(yīng)的關(guān)系，這在數(shù)學(xué)處理上比較方便，因此許多人用這個(gè)理論解某些問題。近年來的研究表明，全量理論的應(yīng)用范圍大大超過了原來的一些限制。然而該理論仍缺乏普遍性，一般認(rèn)為，研究大塑性變形的一般問題，采用增量理論為宜。例題：兩端封閉的薄壁筒，直徑為400mm，壁厚為4mm，承受內(nèi)壓100個(gè)大氣壓，從而產(chǎn)生塑性變形，如果材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線為，試求壁厚的減少量。解：由于：所以：由應(yīng)力-應(yīng)變曲線：由全量理論：所以：7.5應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律塑性變形時(shí)，當(dāng)主應(yīng)力順序不變，且應(yīng)變主軸方向不變時(shí)，則主應(yīng)變的順序與主應(yīng)力順序相對應(yīng)，即這種規(guī)律稱為應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)關(guān)系順序?qū)?yīng)關(guān)系和中間關(guān)系統(tǒng)稱為應(yīng)力應(yīng)變對應(yīng)規(guī)律其實(shí)質(zhì)是將增量理論的定量描述變?yōu)橐环N定性判斷中間關(guān)系根據(jù)Levy-Mises方程由于初始應(yīng)變?yōu)榱愕淖冃芜^程，可視為幾個(gè)階段組成，在時(shí)間間隔t1中，應(yīng)變增量為在時(shí)間間隔t2中在時(shí)間間隔tn中由于主軸