數(shù)學(xué)建模-微分方程

§3.1微分方程的幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例

在許多實(shí)際問題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題，本節(jié)將通過一些最簡(jiǎn)單的實(shí)例來說明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。例1（理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程，并得出理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為mgsinθ，根據(jù)牛頓第二定律可得：

從而得出兩階微分方程：（3.1）這是理想單擺應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程

（3.1）是一個(gè)兩階非線性方程，不易求解。當(dāng)θ很小時(shí)，sinθ≈θ，此時(shí)，可考察（3.1）的近似線性方程：（3.2）由此即可得出

（3.2）的解為:θ(t)=θ0cosωt

其中當(dāng)時(shí),θ(t)=0故有MQPmg圖3-1

（3.1）的近似方程例2我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時(shí)敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。這一問題屬于對(duì)策問題，較為復(fù)雜。討論以下簡(jiǎn)單情形：敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以B為極點(diǎn)，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為r=r(θ)，見圖3-2。BAA1drdsdθθ圖3-2由題意，，故ds=2dr圖3-2可看出，故有:即:（3.3）解為：（3.4）先使自己到極點(diǎn)的距離等于潛艇到極點(diǎn)的距離然后按（3.4）對(duì)數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。追趕方法如下：例3

一個(gè)半徑為Rcm的半球形容器內(nèi)開始時(shí)盛滿了水，但由于其底部一個(gè)面積為Scm2的小孔在t=0時(shí)刻被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總共需要多少時(shí)間？解:以容器的底部O點(diǎn)為原點(diǎn)，取坐標(biāo)系如圖3.3所示。令h(t)為t時(shí)刻容器中水的高度，現(xiàn)建立h(t)滿足的微分方程。設(shè)水從小孔流出的速度為v(t)，由力學(xué)定律，在不計(jì)水的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：因體積守衡，又可得：易見：故有：即：這是可分離變量的一階微分方程，得RxySO圖3-3hr例4

一根長(zhǎng)度為l的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為T1，另一端溫度恒為T2，（T1、T2為常數(shù)，T1>T2）。金屬桿橫截面積為A，截面的邊界長(zhǎng)度為B，它完全暴露在空氣中，空氣溫度為T3，（T3<T2，T3為常數(shù)），導(dǎo)熱系數(shù)為α，試求金屬桿上的溫度分布T(x)，（設(shè)金屬桿的導(dǎo)熱率為λ）一般情況下，在同一截面上的各點(diǎn)處溫度也不盡相同，如果這樣來考慮問題，本題要建的數(shù)學(xué)模型當(dāng)為一偏微分方程。但由題意可以看出，因金屬桿較細(xì)且金屬桿導(dǎo)熱系數(shù)又較大，為簡(jiǎn)便起見，不考慮這方面的差異，而建模求單變量函數(shù)T(x)。熱傳導(dǎo)現(xiàn)象機(jī)理：當(dāng)溫差在一定范圍內(nèi)時(shí)，單位時(shí)間里由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量與兩側(cè)的溫差成正比，比例系數(shù)與介質(zhì)有關(guān)。T1T2oxABT3l

dt時(shí)間內(nèi)通過距離O點(diǎn)x處截面的熱量為：dt時(shí)間內(nèi)通過距離O點(diǎn)x+dx處截面的熱量為：由泰勒公式：金屬桿的微元[x,x+dx]在dt內(nèi)由獲得熱量為：同時(shí)，微元向空氣散發(fā)出的熱量為：系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，故有：所以金屬桿各處溫度T(x)滿足的微分方程:這是一個(gè)兩階常系數(shù)線性方程，很容易求解

為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長(zhǎng)。本節(jié)將建立幾個(gè)簡(jiǎn)單的單種群增長(zhǎng)模型，以簡(jiǎn)略分析一下這方面的問題。一般生態(tài)系統(tǒng)的分析可以通過一些簡(jiǎn)單模型的復(fù)合來研究，大家若有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自行建立相應(yīng)的模型。

美麗的大自然

種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量，甚至允許它為可微變量，由此引起的誤差將是十分微小的。離散化為連續(xù)，方便研究§3.2

Malthus模型與Logistic模型模型1馬爾薩斯（Malthus）模型馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長(zhǎng)率r基本上是一常數(shù)，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率），既：

或（3.5）

（3.6）

（3.1）的解為：其中N0=N(t0)為初始時(shí)刻t0時(shí)的種群數(shù)。

馬爾薩斯模型的一個(gè)顯著特點(diǎn)：種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時(shí)間為T，則有：故模型檢驗(yàn)

比較歷年的人口統(tǒng)計(jì)資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長(zhǎng)的實(shí)際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報(bào)結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6（即3.06×109），人口增長(zhǎng)率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實(shí)際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計(jì)算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。模型預(yù)測(cè)假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級(jí)數(shù)的方式增長(zhǎng)。例如，到2510年，人口達(dá)2×1014個(gè)，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動(dòng)范圍，而到2670年，人口達(dá)36×1015個(gè)，只好一個(gè)人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競(jìng)爭(zhēng)等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長(zhǎng)率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。模型2Logistic模型人口凈增長(zhǎng)率應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)，即：r=r(N)

從而有：（3.7）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實(shí)際背景，它無法用擬合方法來求。為了得出一個(gè)有實(shí)際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們?cè)诮?shí)際問題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，總是采用盡可能簡(jiǎn)單的方法。r(N)最簡(jiǎn)單的形式是常數(shù)，此時(shí)得到的就是馬爾薩斯模型。對(duì)馬爾薩斯模型的最簡(jiǎn)單的改進(jìn)就是引進(jìn)一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）對(duì)馬爾薩斯模型引入一次項(xiàng)（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)），令r(N)=r-aN

此時(shí)得到微分方程：或（3.8）

（3.8）被稱為L(zhǎng)ogistic模型或生物總數(shù)增長(zhǎng)的統(tǒng)計(jì)籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)的，因?yàn)楫?dāng)種群數(shù)量很大時(shí)，會(huì)對(duì)自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項(xiàng)又被稱為競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。（3.8）可改寫成：

（3.9）

(3.9)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長(zhǎng)的種群個(gè)體，當(dāng)種群數(shù)量過多時(shí)，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會(huì)提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當(dāng)前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3.9）指出，種群增長(zhǎng)率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，得到了實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，這就是（3.9）也被稱為統(tǒng)計(jì)籌算律的原因。圖3-5對(duì)（3.9）分離變量：兩邊積分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3.9）的滿足初始條件N(0)=N0的解為：（3.10）易見：N(0)=N0

，N(t)的圖形請(qǐng)看圖3.5模型檢驗(yàn)

用Logistic模型來描述種群增長(zhǎng)的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一個(gè)人工飼養(yǎng)小谷蟲的實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（E·F·Gauss）也做了一個(gè)原生物草履蟲實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。

大量實(shí)驗(yàn)資料表明用Logistic模型來描述種群的增長(zhǎng)，效果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如，高斯把5只草履蟲放進(jìn)一個(gè)盛有0.5cm3營(yíng)養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時(shí)草履蟲以每天230.9%的速率增長(zhǎng)，此后增長(zhǎng)速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線：

幾乎完全吻合，見圖3.6。

圖3-6Malthus模型和Logistic模型的總結(jié)

Malthus模型和Logistic模型均為對(duì)微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長(zhǎng)率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。

用模擬近似法建立微分方程來研究實(shí)際問題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長(zhǎng)情況而建立的，但它們也可用來研究其他實(shí)際問題，只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可，下面我們來看兩個(gè)較為有趣的實(shí)例。歷史背景:例5贗品的鑒定在第二次世界大戰(zhàn)比利時(shí)解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機(jī)關(guān)開始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國(guó)出賣過藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家范·梅格倫（H·A·Vanmeegren），此人曾將17世紀(jì)荷蘭名畫家揚(yáng)·弗米爾（JanVeermeer）的油畫“捉奸”等賣給納粹德國(guó)戈林的中間人。可是，范·梅格倫在同年7月12日在牢里宣稱：他從未把“捉奸”賣給戈林，而且他還說，這一幅畫和眾所周知的油畫“在埃牟斯的門徒”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫和兩幅德胡斯（17世紀(jì)荷蘭畫家）的油畫，都是他自己的作品，這件事在當(dāng)時(shí)震驚了全世界，為了證明自己是一個(gè)偽造者，他在監(jiān)獄里開始偽造弗米爾的油畫“耶穌在門徒們中間”，當(dāng)這項(xiàng)工作接近完成時(shí)，范·梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造罪，因此他拒絕將這幅畫變陳，以免留下罪證。為了審理這一案件，法庭組織了一個(gè)由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國(guó)際專門小組查究這一事件。他們用X射線檢驗(yàn)畫布上是否曾經(jīng)有過別的畫。此外，他們分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗(yàn)油畫中有沒有歷經(jīng)歲月的跡象?？茖W(xué)家們終于在其中的幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡，還在幾幅畫中檢驗(yàn)出了20世紀(jì)初才發(fā)明的酚醛類人工樹脂。根據(jù)這些證據(jù)，范·梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年?？墒撬诒O(jiān)獄中只待了兩個(gè)多月就因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日死去。

然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不肯相信著名的“在埃牟斯的門徒”是范·梅格倫偽造的。事實(shí)上，在此之前這幅畫已經(jīng)被文物鑒定家認(rèn)定為真跡，并以17萬美元的高價(jià)被倫布蘭特學(xué)會(huì)買下。專家小組對(duì)于懷疑者的回答是：由于范·梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒有地位而十分懊惱，他下決心繪制“在埃牟斯的門徒”，來證明他高于三流畫家。當(dāng)創(chuàng)造出這樣的杰作后，他的志氣消退了。而且，當(dāng)他看到這幅“在埃牟斯的門徒”多么容易賣掉以后，他在炮制后來的偽制品時(shí)就不太用心了。這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學(xué)地、確定地證明“在埃牟斯的門徒”的確是一個(gè)偽造品。這一問題一直拖了20年，直到1967年，才被卡內(nèi)基·梅倫（Carnegie-Mellon）大學(xué)的科學(xué)家們基本上解決。原理與模型測(cè)定油畫和其他巖石類材料的年齡的關(guān)鍵是本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象。放射性現(xiàn)象：著名物理學(xué)家盧瑟夫在本世紀(jì)初發(fā)現(xiàn)，某些“放射性”元素的原子是不穩(wěn)定的，并且在已知的一段時(shí)間內(nèi)，有一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子，且物質(zhì)的放射性與所存在的物質(zhì)的原子數(shù)成正比。用N(t)表示時(shí)間t時(shí)存在的原子數(shù),則：常數(shù)λ是正的，稱為該物質(zhì)的衰變常數(shù)用λ來計(jì)算半衰期T:與負(fù)增長(zhǎng)的Malthus模型完全一樣其解為:令則有:許多物質(zhì)的半衰期已被測(cè)定，如碳14，其T=5568；軸238，其T=45億年。與本問題相關(guān)的其他知識(shí):

(1)藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一，已達(dá)兩千年以上。白鉛中含有微量的放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來的，而鉛又屬于鈾系，其演變簡(jiǎn)圖如下（刪去了許多中間環(huán)節(jié)）

(2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷地衰減，補(bǔ)充著其后繼元素。從而，各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測(cè)量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之2.7（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于2—3%的。

(3)從鉛礦中提煉鉛時(shí)，鉛210與鉛206一起被作為鉛留下，而其余物質(zhì)則有90—95%被留在礦渣里，因而打破了原有的放射性平衡。（注：這些有關(guān)物理、地質(zhì)方面的知識(shí)在建模時(shí)可向相應(yīng)的專家請(qǐng)教。）簡(jiǎn)化假定：本問題建模是為了鑒定幾幅不超過300年的古畫，為了使模型盡可能簡(jiǎn)單，可作如下假設(shè)：

(1)由于鐳的半衰期為1600年，經(jīng)過300年左右，應(yīng)用微分方程方法不難計(jì)算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個(gè)常數(shù)。

(2)鉛210的衰變?yōu)椋恒U210T=22年釙210鉛206T=138天若畫為真品，顏料應(yīng)有300年左右或300年以上的歷史，容易證明：每克白鉛中釙210的分解數(shù)等于鉛210的分解數(shù)（相差極微，已無法區(qū)別）?？捎们罢叽婧笳?，因釙的半衰期較短，易于測(cè)量。建模：

(1)記提煉白鉛的時(shí)刻為t=0，當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210的分子數(shù)為y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時(shí)間分解數(shù)相同。由此容易推算出每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于30000個(gè)，否則鈾的含量將超過4%，而這是不可能的。因?yàn)椋喝魟t（個(gè)）這些鈾約重（克）即每克白鉛約含0.04克鈾，含量為4%以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)的上界，若畫上的鉛分解數(shù)大于該值，說明畫是贗品；但若是小于不能斷定畫一定是真品。

(2)設(shè)t時(shí)刻1克白鉛中鉛210含量為y(t)，而鐳的單位時(shí)間分解數(shù)為r（常數(shù)），則y(t)滿足微分方程：

由此解得：故：

若此畫是真品，t-t0≈300（年）。畫中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)λy(t)及目前鐳的分解數(shù)r均可用儀器測(cè)出，從而可求出λy0的近似值，并利用（1）判斷這樣的分解數(shù)是否合理。若判斷結(jié)果為不合理，則可以確定此畫必是贗品，但反之不一定說明畫是真品（因?yàn)楣烙?jì)仍是十分保守的且只能證明畫的“年齡”）。Carnegie-Mellon大學(xué)的科學(xué)家們利用上述模型對(duì)部分有疑問的油畫作了鑒定，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（見表3-1）。油畫名稱210分解數(shù)（個(gè)/分）鐳226分解數(shù)（個(gè)/分）1、在埃牟斯的門徒8.50.82、濯足12.60.263、看樂譜的女人10.30.34、演奏曼陀琳的女人8.20.175、花邊織工1.51.46、笑女5.26.0計(jì)算λy0

（個(gè)/分）980501571301273401022501274.8-10181表3-1對(duì)“在埃牟斯的門徒”，λy0≈98050（個(gè)/每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類似可以判定（2），（3），（4）也是贗品。而（5）和（6）都不會(huì)是幾十年內(nèi)偽制品，因?yàn)榉派湫晕镔|(zhì)已處于接近平衡的狀態(tài)，這樣的平衡不可能發(fā)生在十九世紀(jì)和二十世紀(jì)的任何作品中。判定結(jié)果：利用放射原理，還可以對(duì)其他文物的年代進(jìn)行測(cè)定。例如對(duì)有機(jī)物（動(dòng)、植物）遺體，考古學(xué)上目前流行的測(cè)定方法是放射性碳14測(cè)定法，這種方法具有較高的精確度，其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射性碳14（C14）。有機(jī)物存活時(shí)，它們通過新陳代謝與外界進(jìn)行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的C14處于放射性平衡中。一旦有機(jī)物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通過對(duì)比測(cè)定，可以估計(jì)出它們生存的年代。例如，1950年在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有Hammurabi王朝字樣的木炭，經(jīng)測(cè)定，其C14衰減數(shù)為4.09個(gè)/每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭中C14衰減數(shù)為6.68個(gè)/每克每分鐘，C14的半衰期為5568年，由此可以推算出該王朝約存在于3900-4000年前。例6新產(chǎn)品的推廣

經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。

設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為K，記t時(shí)刻已銷售出的電飯包數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，于是由統(tǒng)計(jì)籌算律：記比例系數(shù)為k，則x(t)滿足：

此方程即Logistic模型，解為：還有兩個(gè)奇解:x=0和x=K

對(duì)x(t)求一階、兩階導(dǎo)數(shù)：容易看出，x’(t)>0，即x(t)單調(diào)增加。由x’’(t0)=0，可以得出=1，此時(shí)，。當(dāng)t<t0時(shí)，x’’(t)>0，x’(t)單調(diào)增加，而當(dāng)t>t0時(shí)，x’’(t)<0，x’(t)單調(diào)減小。實(shí)際調(diào)查表明，銷售曲線與Logistic曲線十分接近，尤其是在銷售后期，兩者幾乎完全吻合。在銷出量小于最大需求量的一半時(shí)，銷售速度是不斷增大的，銷出量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時(shí)期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果?！?.3

為什么要用三級(jí)火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說明為什么不能用一級(jí)火箭而必須用多級(jí)火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級(jí)火箭系統(tǒng)？1、為什么不能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星?

（1）衛(wèi)星能在軌道上運(yùn)動(dòng)的最低速度假設(shè)：（i）衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。（ii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi)星的引力忽略不計(jì)。分析：根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為:在地面有:得:k=gR2

R為地球半徑，約為6400公里故引力:假設(shè)(ii)dmm-dmvu-v假設(shè)(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力故又有:從而:設(shè)g=9.81米/秒2，得:

衛(wèi)星離地面高度(公里)衛(wèi)星速度(公里/秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86（2）火箭推進(jìn)力及速度的分析假設(shè)：火箭重力及空氣阻力均不計(jì)分析：記火箭在時(shí)刻t的質(zhì)量和速度分別為m(t)和υ(t)有：記火箭噴出的氣體相對(duì)于火箭的速度為u（常數(shù)），由動(dòng)量守恒定理：υ0和m0一定的情況下，火箭速度υ(t)由噴發(fā)速度u及質(zhì)量比決定。

故：由此解得：(3.11)

（2）火箭推進(jìn)力及速度的分析現(xiàn)將火箭——衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分：（i）mP（有效負(fù)載，如衛(wèi)星）（ii）mF（燃料質(zhì)量）（iii）mS（結(jié)構(gòu)質(zhì)量——如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。最終質(zhì)量為mP+mS，初始速度為0，所以末速度：根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性能，u只能達(dá)到3公里/秒，即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超過6.6公里/秒。目前根本不可能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星火箭推進(jìn)力在加速整個(gè)火箭時(shí)，其實(shí)際效益越來越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃燒過程中不斷減少，那么末速度能達(dá)到要求嗎？2、理想火箭模型假設(shè)：記結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在mS+mF中占的比例為λ，假設(shè)火箭理想地好，它能隨時(shí)拋棄無用的結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以λ與（1-λ）的比例同時(shí)減少。建模:

由

得到：解得：

理想火箭與一級(jí)火箭最大的區(qū)別在于，當(dāng)火箭燃料耗盡時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為mP，所以最終速度為：

只要m0足夠大，我們可以使衛(wèi)星達(dá)到我們希望它具有的任意速度?？紤]到空氣阻力和重力等因素，估計(jì)（按比例的粗略估計(jì)）發(fā)射衛(wèi)星要使υ=10.5公里/秒才行，則可推算出m0/mp約為51,即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要50噸重的理想火箭哈哈，我還是有可能上天的！3、理想過程的實(shí)際逼近——多級(jí)火箭衛(wèi)星系統(tǒng)記火箭級(jí)數(shù)為n，當(dāng)?shù)趇級(jí)火箭的燃料燒盡時(shí)，第i+1級(jí)火箭立即自動(dòng)點(diǎn)火，并拋棄已經(jīng)無用的第i級(jí)火箭。用mi表示第i級(jí)火箭的質(zhì)量，mP表示有效負(fù)載。為簡(jiǎn)單起見，先作如下假設(shè)：（i）設(shè)各級(jí)火箭具有相同的λ,即i級(jí)火箭中λmi為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，（1-λ）mi為燃料質(zhì)量。（ii）設(shè)燃燒級(jí)初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，并記比值為k?？紤]二級(jí)火箭：

由3.11式，當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭燃燒完時(shí)，其末速度為：當(dāng)?shù)诙?jí)火箭燃盡時(shí)，末速度為：該假設(shè)有點(diǎn)強(qiáng)加的味道，先權(quán)作討論的方便吧又由假設(shè)（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，并仍設(shè)u=3公里/秒，且為了計(jì)算方便，近似取λ=0.1，則可得：要使υ2=10.5公里/秒，則應(yīng)使:即k≈11.2，而:類似地，可以推算出三級(jí)火箭：

在同樣假設(shè)下:

要使υ3=10.5公里/秒，則(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而（m1+m2+m3+mP）/mP≈77。三級(jí)火箭比二級(jí)火箭幾乎節(jié)省了一半是否三級(jí)火箭就是最省呢？最簡(jiǎn)單的方法就是對(duì)四級(jí)、五級(jí)等火箭進(jìn)行討論?？紤]N級(jí)火箭：

記n級(jí)火箭的總質(zhì)量（包含有效負(fù)載mP）為m0，在相同的假設(shè)下可以計(jì)算出相應(yīng)的m0/mP的值，見表3-2n（級(jí)數(shù)）12345…

∞（理想）

火箭質(zhì)量（噸）/149776560…50表3-2由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭都需配備一個(gè)推進(jìn)器，所以使用四級(jí)或四級(jí)以上火箭是不合算的，三級(jí)火箭提供了一個(gè)最好的方案。當(dāng)然若燃料的價(jià)錢很便宜而推進(jìn)器的價(jià)錢很貴切且制作工藝非常復(fù)雜的話，也可選擇二級(jí)火箭。4、火箭結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)3中已經(jīng)能說過假設(shè)(ii)有點(diǎn)強(qiáng)加的味道；現(xiàn)去掉該假設(shè)，在各級(jí)火箭具有相同λ的粗糙假設(shè)下，來討論火箭結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)。W1=m1+…+mn+mP

W2=m2+…+mn+mP……Wn=mn+mPWn+1=mP記應(yīng)用（3.11）可求得末速度：記則又問題化為，在υn一定的條件下，求使k1k2…kn最小

解條件極值問題：或等價(jià)地求解無約束極值問題：可以解出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)滿足：火箭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)討論中我們得到與假設(shè)（ii）相符的結(jié)果，這說明前面的討論都是有效的！§3.4

藥物在體內(nèi)的分布

何為房室系統(tǒng)？在用微分方程研究實(shí)際問題時(shí)，人們常常采用一種叫“房室系統(tǒng)”的觀點(diǎn)來考察問題。根據(jù)研究對(duì)象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對(duì)象看成一個(gè)整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€(gè)相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。房室具有以下特征：它由考察對(duì)象均勻分布而成，（注：考察對(duì)象一般并非均勻分布，這里采用了一種簡(jiǎn)化方法一集中參數(shù)法）；房室中考察對(duì)象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為“交換”且交換滿足著總量守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來研究藥物在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方法來研究另一問題。兩者都很簡(jiǎn)單，意圖在于介紹建模方法。交換環(huán)境內(nèi)部單房室系統(tǒng)均勻分布藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的濃度成正比的，即：藥物分布的單房室模型

單房室模型是最簡(jiǎn)單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時(shí)刻都是均勻分布的，設(shè)t時(shí)刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種動(dòng)態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：

藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來研究一下在幾種常見的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。機(jī)體環(huán)境藥物總量圖3-8

假設(shè)藥物均勻分布情況1快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃度：

與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時(shí)間稱為藥物的血漿半衰期：負(fù)增長(zhǎng)率的Malthus模型

在快速靜脈注射時(shí)，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機(jī)體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程：（3.12）

情況2恒速靜脈點(diǎn)滴機(jī)體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物似恒速點(diǎn)滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即:則體內(nèi)藥物總量滿足：（x(0)=0）

（3.13）

這是一個(gè)一階常系數(shù)線性方程，其解為：或易見：稱為穩(wěn)態(tài)血藥濃度

對(duì)于多次點(diǎn)滴，設(shè)點(diǎn)滴時(shí)間為T1，兩次點(diǎn)滴之間的間隔時(shí)間設(shè)為T2，則在第一次點(diǎn)滴結(jié)束時(shí)病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后T2時(shí)間內(nèi)為情況1。故：（第一次）

0≤t≤T1

T1≤t≤T1

+T2

類似可討論以后各次點(diǎn)滴時(shí)的情況，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點(diǎn)滴起，患者體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。情況3口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外部藥物

口服藥或肌肉注射時(shí)，藥物的吸收方式與點(diǎn)滴時(shí)不同，藥物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記t時(shí)刻殘留藥物量為y(t)，則y滿足：D為口服或肌注藥物總量

因而：所以：解得：從而藥物濃度：在通常情況下，總有k1>k（藥物未吸收完前，輸入速率通常總大于分解與排泄速率），但也有例外的可能（與藥物性質(zhì)及機(jī)體對(duì)該藥物的吸收、分解能力有關(guān)）。當(dāng)k1>k時(shí)，體內(nèi)藥物量均很小，這種情況在醫(yī)學(xué)上被稱為觸發(fā)翻轉(zhuǎn)（flip-flop）。當(dāng)k1=k時(shí)，對(duì)固定的t，令k→k1取極限（應(yīng)用羅比達(dá)法則），可得出在這種情況下的血藥濃度為：圖3-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達(dá)到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點(diǎn)滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時(shí)刻，血藥的有效濃度保持時(shí)間也不盡相同，（注：為達(dá)到治療目的，血藥濃度應(yīng)達(dá)到某一有效濃度，并使之維持一特定的時(shí)間長(zhǎng)度）。圖3-9

我們已求得三種常見給藥方式下的血藥濃度C(t)，當(dāng)然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時(shí)間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。

新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間的基礎(chǔ)研究、小量試制、中間試驗(yàn)、專業(yè)機(jī)構(gòu)評(píng)審及臨床研究。當(dāng)一種新藥品、新疫苗研制出來后，研究人員必須用大量實(shí)驗(yàn)搞清它是否真的有用，如何使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時(shí)參考。在實(shí)驗(yàn)中研究人員要測(cè)定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特點(diǎn)找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時(shí)間及給藥次數(shù)等），這些研究與試驗(yàn)據(jù)估計(jì)最少也需要數(shù)年時(shí)間。在2003年春夏之交的SARS（非典）流行期內(nèi)，有些人希望醫(yī)藥部門能趕快拿出一種能治療SARS的良藥或預(yù)防SARS的有效疫苗來，但這只能是一種空想。SARS的突如其來，形成了“外行不懂、內(nèi)行陌生”的情況。國(guó)內(nèi)權(quán)威機(jī)構(gòu)一度曾認(rèn)為這是“衣原體”引起的肺炎，可以用抗生素控制和治療。但事實(shí)上，抗生素類藥物對(duì)SARS的控制與治療絲毫不起作用。以鐘南山院士為首的廣東省專家并不迷信權(quán)威，堅(jiān)持認(rèn)為SARS是病毒感染引起的肺炎，兩個(gè)月后（4月16日），世界衛(wèi)生組織正式確認(rèn)SARS是冠狀病毒的一個(gè)變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認(rèn)并非是由權(quán)威機(jī)構(gòu)定義的，而是經(jīng)對(duì)猩猩的多次實(shí)驗(yàn)證實(shí)的）。發(fā)現(xiàn)病原體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預(yù)防的辦法當(dāng)然就更困難了，企圖幾個(gè)月解決問題注定只能是一種不切實(shí)際的幻想。

上述研究是將機(jī)體看成一個(gè)均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱單房室模型，但機(jī)體事實(shí)上并不是這樣。藥物進(jìn)入血液，通過血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個(gè)部位，又通過交換進(jìn)入各個(gè)器官。因此，要建立更接近實(shí)際情況的數(shù)學(xué)模型就必須正視機(jī)體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這就需要多房室系統(tǒng)模型。IIIk12k21兩房室系統(tǒng)圖3-10

圖3-10表示的是一種常見的兩房室模型，其間的k12表示由室I滲透到室II的變化率前的系數(shù)，而k21則表示由室II返回室I的變化率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，其值應(yīng)當(dāng)用實(shí)驗(yàn)測(cè)定，使之盡可能地接近實(shí)際情況。當(dāng)差異較大的部分較多時(shí)，可以類似建立多房室系統(tǒng)，即N房室系統(tǒng)§3.5

傳染病模型傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點(diǎn)來看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)民族或地區(qū)，當(dāng)某種傳染病流傳時(shí)，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個(gè)常數(shù)。即既非所有人都會(huì)得病也非毫無規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會(huì)相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來加以證明。問題的提出：設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時(shí)刻共有i人得病，t時(shí)刻已感染（infective）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位時(shí)間內(nèi)將疾病傳播給k個(gè)人（k稱為該疾病的傳染強(qiáng)度），且設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會(huì)康復(fù)模型1此模型即Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長(zhǎng)情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價(jià)值，但隨著時(shí)間的推移，將越來越偏離實(shí)際情況。已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對(duì)每一類中的個(gè)體則不加任何區(qū)分，來建立兩房室系統(tǒng)。則可導(dǎo)出：故