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第二節(jié)迭代法一、迭代格式二迭代法的收斂性

三、小結一、迭代格式考慮方程組(2.1)即以后，把它們代入（2.1）中第一個方程算出對方程組（2.1）作迭代時，取定初始近似值顯然，迭代格式收斂的話，則比更接近于的第一個分量所以在計算時，我們不再像迭代法那樣以代入(2.1)中第二式的右邊，而是把新算出的及代入該式右邊，得到即計算下一個分量時，要用到剛算出的新分量。這樣或許能收到更好的效果。按這樣方式建立的迭代格式稱為迭代格式，其一般形式為(2.2)

用矩陣表示就是

(2.3)

其中，

由（2.3）式可知，因存在，所以迭代格式（2.3）也可表示為

(2.4)我們稱為迭代法的迭代矩陣。

由（2.4）式可見，對方程組作迭代，等價于對方程組

(2.5)作迭代。

二迭代法的收斂性

定理3對于任意右端向量和初始向量，迭代法收斂的充要條件是

其中由于對方程組作簡單迭代是一回事，故由定理1有作迭代同對方程組即特征方程的根的絕對值小于1。

而由于類似于定理2，我們還可以給出如下收斂的充分條件。

(2.6)所以在實際問題中，只需求出方程的根。

定理4對于任意右端向量初始向量，迭代法收斂的充分條件是

由此定理可知，條件(1）或(2）被滿足時，則迭代法與迭代法都收斂。

可以證明，當條件(2）被滿足時，迭代法比迭代法收斂得快些。

例4

分別用和迭代法解方程組解由于，故迭代法迭代法都收斂。取，首先采用迭代格式，計算求得與其精確解相比，其誤差為

再利用迭代格式，計算求得

其誤差為

從此例可以看出，當充分條件(2）被滿足時，迭代法確實比迭代法收斂快些。

然而，迭代法并不總比迭代法好。有時迭代法還比迭代法收斂得慢些，有時甚至在迭代法收斂時，它卻不收斂。例5設方程組的系數(shù)矩陣為

試證明迭代法收斂，而迭代法不收斂。

證明顯然，迭代法的迭代矩陣為

因為由定理1可知，迭代法收斂。

，則有

令又，其中

令

則有

故迭代法不收斂。

類似地方法，可以證明，若系數(shù)矩陣為

時，迭代法不收斂，而迭代法收斂。

這個問題留給同學做練習。下面我們給出判斷Gauss-Seidel迭代法收斂的其它方法。定理5設方程組為（1）如果矩陣是對稱正定的，則迭代法收斂。

（2）如果是嚴格對角占優(yōu)的，則迭代法收斂。

證略。

由上可見，迭代法的使用與問題的特點有著密切的關系，使用時應

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