第五章-剛體力學(xué)

第五章剛體力學(xué)1剛體運(yùn)動概述：剛體：在任何情況下形狀和大小都不變的物體。即任意兩質(zhì)點之間的距離保持不變的質(zhì)點系（理想模型）。

剛體——一種特殊質(zhì)點系

質(zhì)點系

質(zhì)點

剛體2用以確定一個物體在空間的位置所需的獨立坐標(biāo)的個數(shù)。自由剛體的自由度數(shù)n=6非自由剛體的自由度數(shù)小于6

物體系運(yùn)動自由度n，決定了其獨立的微分方程組的數(shù)目有n個，其中每個方程均為二階微分方程.若運(yùn)動被限制或被約束,其自由度將減少。多一個約束條件,就減少一個自由度。ABC二、剛體的自由度3三、剛體運(yùn)動的幾種形式1.平動（平移）

運(yùn)動過程中剛體內(nèi)任意一條直線在運(yùn)動過程中始終保持方向不變。

剛體的任意運(yùn)動都可視為某一點的平動和繞通過該點的軸線的轉(zhuǎn)動特點：剛體內(nèi)所有的點具有相同的位移、速度和加速度。－－剛體上任一點的運(yùn)動規(guī)律即代表剛體的平動規(guī)律。研究方法：用質(zhì)心代表整個剛體的運(yùn)動?？梢暈橘|(zhì)點。（n=3）42.定軸轉(zhuǎn)動

剛體上所有質(zhì)點都繞同一直線作圓周運(yùn)動。這種運(yùn)動稱為剛體的轉(zhuǎn)動。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸固定不動的轉(zhuǎn)動。O特點：剛體內(nèi)所有的點具有相同的角位移、角速度和角加速度。——剛體上任一點作圓周運(yùn)動的規(guī)律即代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動的規(guī)律(n=1)5

剛體上各點都平行于某一固定平面的運(yùn)動稱為剛體的平面運(yùn)動，又稱為剛體的平面平行運(yùn)動。3平面平行運(yùn)動可以分解為：剛體隨質(zhì)心的平動（i=2）和繞質(zhì)心垂直于運(yùn)動平面的定軸轉(zhuǎn)動（i=1）如：車輪直線滾動64定點轉(zhuǎn)動：

運(yùn)動中剛體上只有一點固定不動，整個剛體繞過該固定點的某一瞬時軸線轉(zhuǎn)動.如：陀螺的運(yùn)動75一般運(yùn)動剛體不受任何限制的的任意運(yùn)動,稱為剛體的一般運(yùn)動。它可視為以下兩種剛體的基本運(yùn)動的疊加：

繞通過基點O的瞬時軸的定點轉(zhuǎn)動

隨基點O（可任選）的平動基點（O和O

′）選取不同，平動不同，轉(zhuǎn)動也可以不同，與基點的選取有關(guān)如圖示的兩種運(yùn)動分解：8剛體的一般運(yùn)動質(zhì)心的平動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動+9五、歐拉角1011121314151617181920212223證加241.剛體內(nèi)任意點的速度剛體內(nèi)任意點的速度和加速度252.剛體內(nèi)任意點的加速度上式是處理剛體運(yùn)動學(xué)問題的基礎(chǔ)，對于各種具體的運(yùn)動形態(tài)，只需要相應(yīng)的做出限制。26（1）平動：（2）定軸轉(zhuǎn)動：取基點A位于轉(zhuǎn)軸上27（3）平面平行運(yùn)動（4）定點運(yùn)動：以定點為基點，并取為坐標(biāo)原點282930六、瞬時轉(zhuǎn)動中心上式是否總成立？兩邊用標(biāo)乘能否在剛體上或與之剛性聯(lián)結(jié)的地方，找到速度為零的點？31平面平行運(yùn)動總能找到瞬心。兩邊矢乘32所以，速度為0的點的位置矢量為用分量形式寫出則得速度為零的點的坐標(biāo)33與幾何法找瞬心34§5.2轉(zhuǎn)動慣量一、剛體的動量矩

mi對o點的動量矩：剛體對o點的動量矩352.坐標(biāo)表示36統(tǒng)稱慣量系數(shù)37I慣量張量描述剛體轉(zhuǎn)動時慣性特征的物理量。矩陣形式矩陣形式矩陣形式38慣量主軸與方向一般不一致，但總能找到一些特殊的方向，剛體繞通過定點沿這些方向的軸轉(zhuǎn)動時，兩方向一致。這些軸稱為慣量主軸。慣量主軸與矩陣元的關(guān)系設(shè)x軸為慣量主軸繞x軸轉(zhuǎn)動時慣量主軸定義39充要條件同理y軸為慣量主軸時Z軸為慣量主軸時與慣量主軸相關(guān)的慣量積（非對角矩陣元）為零40均勻剛體的慣量主軸1.對稱軸設(shè)x為對稱軸，剛體上任意點（x,y,z）對稱點（x,-y,-z）對稱軸是慣量主軸。2.對稱軸的法線設(shè)yz面是通過定點的對稱面，x軸是法線，剛體上任意點（x,y,z）對稱點（-x,y,z）對稱面的法線也是慣量主軸41四、轉(zhuǎn)動慣量剛體繞定點轉(zhuǎn)動的慣性轉(zhuǎn)動張量度量張量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的慣性轉(zhuǎn)動慣量度量標(biāo)量剛體對軸線的轉(zhuǎn)動慣量

是i質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離對連續(xù)分布42討論此均質(zhì)剛體繞哪個轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量大？為什么？12決定剛體轉(zhuǎn)動慣量的因素：剛體的質(zhì)量分布轉(zhuǎn)軸的位置注意43記?。±}1.質(zhì)量連續(xù)分布:

若棒繞一端o轉(zhuǎn)動，由平行軸定理，則轉(zhuǎn)動慣量為

解

o

(1)均質(zhì)細(xì)直棒(質(zhì)量m、長l)，求通過質(zhì)心C且垂直于棒的軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量。Cxxodxdm44R

(3)均質(zhì)圓盤(m,R)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量:dmrdr

(2)均質(zhì)細(xì)圓環(huán)(m,R)對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量:

45平行軸定理若剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jc，則剛體對與該軸相距為d的平行軸z的轉(zhuǎn)動慣量Jz

是mR如圖所示：46垂直軸定理o對于薄板剛體，繞垂直于板面的軸Oz的轉(zhuǎn)動慣量，等于位于板面內(nèi)與Oz軸交于一點的兩相互正交軸Ox和Oy的轉(zhuǎn)動慣量之和。例如：薄盤繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量4748轉(zhuǎn)動慣量也可由對定點O的慣量矩陣求得角速度繞轉(zhuǎn)軸的角動量49若力學(xué)體系有幾個部分組成，整體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量,等與各部分對該軸的轉(zhuǎn)動慣量之和。即組合定理

例如：有質(zhì)量為,長為的均質(zhì)細(xì)桿和質(zhì)量為，半徑為的勻質(zhì)球體組成的剛體，對Z軸的轉(zhuǎn)動慣量為50知道了剛體對某定點的慣量張量，就可求出通過該點的任一軸線的轉(zhuǎn)動慣量51五、剛體的動能剛體的動能是剛體內(nèi)各質(zhì)點的動能之和按柯尼希定理，動能分解為隨質(zhì)心平動動能和相對質(zhì)心的動能之和先一般討論剛體繞固定點轉(zhuǎn)動時動能的表達(dá)式52是剛體對通過定點的瞬時轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量53如果坐標(biāo)軸是關(guān)于定點的慣量主軸，慣量矩陣是對角化的剛體對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能的表達(dá)式也應(yīng)具有相同的形式54剛體一般運(yùn)動時的動能平動，定軸轉(zhuǎn)動，平面平行運(yùn)動55565758595.3節(jié)見課本136頁60剛體的定軸轉(zhuǎn)動描述剛體的轉(zhuǎn)動力學(xué)量剛體上A.B兩點被約束不動剛體繞A.B軸做定軸轉(zhuǎn)動角度變量角速度xyzBAFbFa對原點o剛體角動量o61剛體繞z軸轉(zhuǎn)動慣量動能：62剛體定軸轉(zhuǎn)動的基本方程：1.質(zhì)心定理：2.角動量定理63轉(zhuǎn)軸方向是固定的，約束力與z軸相交，與之相對應(yīng)的力矩沒有z方向的分量。剛體定軸轉(zhuǎn)動只有一個自由度，一個方程，其它5個方程，可以用來確定定軸轉(zhuǎn)動剛體約束力。與牛頓第二定律相比，地位相當(dāng)。64§5.7剛體的平面平行運(yùn)動

一、平面平行運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)

1.運(yùn)動特征1)其上任一點始終在平行于某一固定平面內(nèi)運(yùn)動，剛體上垂直該固定平面的直線上各點運(yùn)動情況相同。因此，平行于固定平面的某一截面，即代表剛體。2）剛體在內(nèi)，由，可由兩步完成

隨A點的純平動，，基點位移均為

ABA’B’θⅡⅡ’Ⅰ再繞A’作純平動Ⅱ’→Ⅱ，

可見剛體的平面平行運(yùn)動可分成=任意點的平動+繞該點的轉(zhuǎn)動65yxOrOCrr’y’jx’iθ平面平行運(yùn)動動力學(xué)1.

運(yùn)動微分方程以運(yùn)動學(xué)觀點，基點可任意選取，以動力學(xué)選質(zhì)心為基點較宜。取過質(zhì)心的薄片代表剛體（0-xy為靜系，C-x’y’為剛體系）

(1)-(3)為剛體平面平行運(yùn)動微分方程，三個方程可以確定661.剛體運(yùn)