第八講 等候線模型

第八講等候線模型物流管理系薛偉霞隊(duì)列——排隊(duì)論運(yùn)行指標(biāo)：系統(tǒng)中沒(méi)有任何個(gè)體的概率；等候線中等待個(gè)體的平均數(shù)；系統(tǒng)中個(gè)體的平均數(shù)；一個(gè)個(gè)體在等候線中所花費(fèi)的平均時(shí)間；一個(gè)個(gè)體在系統(tǒng)中花費(fèi)的平均時(shí)間；一個(gè)個(gè)體到達(dá)以后不得不等待以接受服務(wù)的概率。實(shí)踐——花旗銀行自動(dòng)取款機(jī)的等待時(shí)間美國(guó)花旗銀行紐約分部負(fù)責(zé)近250家銀行業(yè)務(wù)中心。每個(gè)中心提供一臺(tái)或多臺(tái)自動(dòng)取款機(jī)(ATM)，這些自動(dòng)取款機(jī)可以執(zhí)行多種銀行業(yè)務(wù)。在每個(gè)服務(wù)中心，顧客隨機(jī)到達(dá)，然后使用某一臺(tái)自動(dòng)取款機(jī)的服務(wù)，并形成等候線。為了確定在某一特定業(yè)務(wù)中心區(qū)域內(nèi)自動(dòng)取款機(jī)的數(shù)量，管理者需要得到關(guān)于每位顧客的平均等候時(shí)間以及平均服務(wù)時(shí)間的信息。等候線的運(yùn)作參數(shù)，諸如等候線中顧客的平均數(shù)量、每位顧客的平均等待時(shí)間以及新到達(dá)的顧客不得不等待的概率等信息，會(huì)幫助管理者確定各個(gè)業(yè)務(wù)區(qū)域內(nèi)自動(dòng)取款機(jī)的數(shù)量。實(shí)踐——花旗銀行自動(dòng)取款機(jī)的等待時(shí)間例如，位于曼哈頓鬧市區(qū)的銀行業(yè)務(wù)中心，每天的最高顧客到達(dá)率為每小時(shí)172小時(shí)。使用擁有6臺(tái)自動(dòng)取款機(jī)的多路線等待線模型時(shí)可以得出：88%的顧客必須等待，并且顧客的平均等待時(shí)間為6-7分鐘。我們認(rèn)為這種服務(wù)水平是不可接受的。利用等候線模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，我們得出的建議是：在可接受的服務(wù)水平的要求下，需要將該地區(qū)的自動(dòng)取款機(jī)增加到7臺(tái)。等候線模型的使用為各業(yè)務(wù)中心區(qū)域增加自動(dòng)取款機(jī)提供了指導(dǎo)。主要內(nèi)容等候線系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)到達(dá)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布的單列等候線模型到達(dá)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布的多列等候線模型等候線模型中的一般關(guān)系等候線的經(jīng)濟(jì)性分析案例——伯格.度姆快餐店伯格.度姆快餐店出售火腿漢堡、奶酪漢堡、法式油炸食品、軟包裝飲料和攪拌牛奶，同時(shí)還有一些特色食品和甜點(diǎn)可供選擇。雖然伯格.度姆快餐店希望能夠?yàn)槊课活櫩吞峁┘磿r(shí)的服務(wù)，但是很多時(shí)候，到達(dá)的顧客遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于伯格.度姆快餐店的服務(wù)人員所能接待的人數(shù)。因此，顧客們不得不排隊(duì)，以等候所點(diǎn)快餐并取走多點(diǎn)的食品。伯格.度姆快餐店擔(dān)心，它目前所用的顧客服務(wù)方式正導(dǎo)致過(guò)長(zhǎng)的等候時(shí)間。管理層已經(jīng)提出要求，需要對(duì)等候線進(jìn)行研究，以開(kāi)發(fā)一個(gè)能夠減少等待時(shí)間、提高服務(wù)質(zhì)量的最佳服務(wù)方式。單列等候線顧客到達(dá)服務(wù)生接收點(diǎn)餐并滿足點(diǎn)餐要求等候線系統(tǒng)點(diǎn)餐完畢后顧客離開(kāi)到達(dá)間隔分布顧客的到達(dá)規(guī)律可以用泊松概率分布來(lái)很好地描述。泊松概率函數(shù)可以計(jì)算在某個(gè)時(shí)間段內(nèi)，有x個(gè)顧客到達(dá)的概率。x——在此時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的人數(shù)；λ——每個(gè)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的平均人數(shù)；e=2.71828.伯格.度姆快餐店顧客到達(dá)的概率平均每小時(shí)到達(dá)的顧客人數(shù)為45人。λ=45名顧客/60分鐘=0.75名顧客/分鐘。伯格.度姆快餐店顧客到達(dá)的概率到達(dá)顧客概率00.472410.354320.132930.033240.0062≥50.0010服務(wù)時(shí)間分布服務(wù)時(shí)間——從服務(wù)開(kāi)始，某位顧客在服務(wù)臺(tái)所花費(fèi)的時(shí)間。服務(wù)時(shí)間的概率分布可以用指數(shù)概率分布來(lái)表示。利用指數(shù)分布計(jì)算服務(wù)時(shí)間小于或等于時(shí)間長(zhǎng)度t時(shí)的概率：μ——每個(gè)時(shí)間段內(nèi)可接受服務(wù)的個(gè)體的均值；e=2.71828.伯格.度姆快餐店的服務(wù)時(shí)間分布每個(gè)服務(wù)生平均每個(gè)時(shí)間能為60位顧客提供點(diǎn)餐服務(wù)。平均服務(wù)率：μ=1名顧客/分鐘。其他排隊(duì)原則——先到先服務(wù)(FCFS)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行——開(kāi)始或起始階段稱為過(guò)渡（瞬時(shí)）階段，當(dāng)系統(tǒng)正常或穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時(shí)，過(guò)渡（瞬時(shí)）階段結(jié)束。等候線模型描述了等候線的穩(wěn)態(tài)運(yùn)行參數(shù)。到達(dá)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布的單列等候線模型的運(yùn)行參數(shù)λ——每個(gè)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)的平均數(shù)（平均到達(dá)率）μ——每個(gè)時(shí)間段內(nèi)服務(wù)的平均數(shù)（平均服務(wù)率）1、系統(tǒng)中沒(méi)有任何個(gè)體的概率：2、等候線中個(gè)體的平均數(shù)：3、系統(tǒng)中個(gè)體的平均數(shù)：到達(dá)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布的單列等候線模型的運(yùn)行參數(shù)4、一個(gè)個(gè)體在等候線中所花費(fèi)的平均時(shí)間：5、一個(gè)個(gè)體在系統(tǒng)中花費(fèi)的平均時(shí)間：6、某位剛到達(dá)的個(gè)體必須等待的概率：7、系統(tǒng)中同時(shí)有n個(gè)個(gè)體的概率：伯格.度姆快餐店的運(yùn)行參數(shù)平均到達(dá)率λ=0.75平均服務(wù)率μ=11、2、3、伯格.度姆快餐店的運(yùn)行參數(shù)4、5、6、伯格.度姆快餐店的運(yùn)行參數(shù)伯格.度姆快餐店的等候線系統(tǒng)中有N位顧客的概率顧客人數(shù)概率00.250010.187520.140630.105540.079150.059360.04457個(gè)或更多0.1335改進(jìn)等候線運(yùn)作1、通過(guò)創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)變更或利用新技術(shù)來(lái)提高平均服務(wù)率μ。2、增加服務(wù)渠道，這樣能夠使更多的顧客得到即時(shí)服務(wù)。伯格.度姆改進(jìn)后的運(yùn)行參數(shù)雇傭一名上菜員幫助收銀臺(tái)旁的點(diǎn)餐員。平均服務(wù)率由每小時(shí)60人上升到75人。平均到達(dá)率λ=0.75平均服務(wù)率μ=1.25伯格.度姆改進(jìn)后的運(yùn)行參數(shù)系統(tǒng)沒(méi)有顧客的概率0.400等候線中顧客的平均人數(shù)0.900系統(tǒng)中顧客的平均人數(shù)1.500一個(gè)顧客在等候線中花費(fèi)的平均時(shí)間1.200分鐘一個(gè)顧客在系統(tǒng)花費(fèi)的平均時(shí)間按2.000分鐘一位到達(dá)的顧客必須等候的概率0.600系統(tǒng)中有7位以上（含7位）顧客的概率0.028課堂練習(xí)針對(duì)伯格.度姆快餐店的單列等候線，假設(shè)平均到達(dá)率增加到每分鐘1名顧客，平均服務(wù)率增加到每分鐘1.25位顧客。請(qǐng)計(jì)算在這個(gè)新系統(tǒng)下的各運(yùn)行參數(shù)。與原來(lái)的系統(tǒng)相比，這個(gè)新系統(tǒng)的服務(wù)是改善了還是變差了？討論一下兩者的差異，并指出造成差異的原因。到達(dá)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布的多列等候線模型多列等候線——包括兩個(gè)或兩個(gè)以上服務(wù)渠道，假設(shè)這些服務(wù)渠道就服務(wù)能力而言是相同的。在多列系統(tǒng)中，到達(dá)的個(gè)體在單列等候線中等待，然后移動(dòng)到第一個(gè)可用的渠道接受服務(wù)。伯格.度姆快餐店的雙渠道等候線顧客到達(dá)渠道1服務(wù)生A等候線點(diǎn)餐完畢后顧客離開(kāi)渠道2服務(wù)生B顧客到下一個(gè)營(yíng)業(yè)渠道多列等候線運(yùn)行參數(shù)滿足下列條件：到達(dá)服從泊松分布；各個(gè)渠道的服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布；各個(gè)渠道的平均服務(wù)率μ相同；到達(dá)者在單列等候線中等候，然后移動(dòng)到第一個(gè)可用的渠道接收服務(wù)。運(yùn)行參數(shù)λ表示系統(tǒng)的平均到達(dá)率；μ表示每個(gè)渠道的平均服務(wù)率；k表示渠道數(shù)。1、系統(tǒng)中沒(méi)有任何個(gè)體的概率：2、等候線中個(gè)體的平均數(shù)：運(yùn)行參數(shù)3、系統(tǒng)中個(gè)體的平均數(shù)：4、一個(gè)個(gè)體在等候線中所花費(fèi)的平均時(shí)間：5、一個(gè)個(gè)體在系統(tǒng)中花費(fèi)的平均時(shí)間：運(yùn)行參數(shù)6、某位剛到達(dá)的個(gè)體必須等待的概率：7、系統(tǒng)中同時(shí)有n個(gè)個(gè)體的概率：到達(dá)服從泊松分布、服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布的多列等候線中的P0的值比率（λ/μ）渠道的數(shù)量（k）23450.150.86050.86070.86070.86070.200.81820.81870.81870.81870.250.77780.77880.77880.77880.300.73910.74070.74080.74080.750.45450.47060.47220.47240.800.42860.44720.44910.44931.000.33330.36360.36730.36781.200.25000.29410.30020.30111.400.17650.23600.24490.24631.800.05260.14600.16160.16462.000.11110.13040.1343伯格.度姆快餐店的雙渠道系統(tǒng)如果管理者想對(duì)增開(kāi)第二個(gè)點(diǎn)餐工作臺(tái)（以便能同時(shí)為2位顧客提供服務(wù)）的可行性進(jìn)行評(píng)估。假設(shè)在單列等候線中排隊(duì)的第一位的顧客首先到達(dá)空閑的服務(wù)生處，接收服務(wù)。平均到達(dá)率為0.75位顧客/分鐘，每個(gè)渠道的服務(wù)率為1位顧客/分鐘。伯格.度姆快餐店的運(yùn)行參數(shù)伯格.度姆快餐店雙渠道系統(tǒng)中有n位顧客的概率顧客人數(shù)概率00.454510.340920.127830.047940.0180≥50.0109管理層的決策運(yùn)行參數(shù)一名員工的單列系統(tǒng)兩名員工的單列系統(tǒng)每個(gè)渠道一名員工的雙渠道系統(tǒng)P0系統(tǒng)沒(méi)有顧客的概率0.250.4000.4545Lq等候線中顧客的平均人數(shù)2.250.9000.1227L系統(tǒng)中顧客的平均人數(shù)31.5000.8727Wq一個(gè)顧客在等候線中花費(fèi)的平均時(shí)間3分鐘1.200分鐘0.1636分鐘W一個(gè)顧客在系統(tǒng)花費(fèi)的平均時(shí)間4分鐘2.000分鐘1.1636分鐘Pw一位到達(dá)的顧客必須等候的概率0.750.6000.2045系統(tǒng)中有7位以上（含7位）顧客的概率0.13350.0280.0109等候線模型中的一般關(guān)系Lq等候線中個(gè)體的平均數(shù)L系統(tǒng)中顧客的平均人數(shù)Wq一個(gè)顧客在等候線中花費(fèi)的平均時(shí)間W一個(gè)顧客在系統(tǒng)花費(fèi)的平均時(shí)間里特導(dǎo)出方程(不論到達(dá)是否服從泊松分布，服務(wù)時(shí)間是否服從指數(shù)分布)例題在一次對(duì)墨菲食品連鎖店的食品雜貨收銀臺(tái)的研究中，有分析家得出：該店的顧客到達(dá)服從平均到達(dá)率為每小時(shí)24位顧客的泊松分布；但是他還發(fā)現(xiàn)，服務(wù)時(shí)間服從平均服務(wù)率為每小時(shí)30位顧客的正態(tài)分布，而不是指數(shù)分布。通過(guò)一個(gè)對(duì)顧客實(shí)際等候時(shí)間的研究發(fā)現(xiàn)，每位顧客在系統(tǒng)中平均花費(fèi)的時(shí)間為4.5分鐘。該等候線系統(tǒng)的運(yùn)行參數(shù)等候線的經(jīng)濟(jì)性分析總成本——等候成本和服務(wù)成本。Cw——每個(gè)個(gè)體在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的等候成本；L——系統(tǒng)中個(gè)體的平均數(shù)；Cs——每條渠道在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的服務(wù)成本；k——渠道數(shù)；TC——每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的總成本。總成本是等候成本與服務(wù)成本之和：伯格.度姆快餐店的經(jīng)濟(jì)性分析等候成本，每分鐘花在每位等候顧客身上的成本。等候成本為每小時(shí)10美元。服務(wù)成本，與每個(gè)服務(wù)渠道的運(yùn)作直接相關(guān)的成本。包括服務(wù)生的薪水、福利以及其他與服務(wù)渠道的運(yùn)作相關(guān)的直接成本。根據(jù)估計(jì)，每小時(shí)為7美元。伯格.度姆快餐店的經(jīng)濟(jì)性分析單列系統(tǒng)（L=3位顧客）雙渠道系統(tǒng)（L=0.8727位顧客）等候線模型中的等候線成本曲線、服務(wù)成本曲線和總成本曲線的大體形狀其他等候線模型肯德?tīng)枺―.G.Kendall）提出了一套符號(hào)，這套符號(hào)有助于對(duì)已有的許多不同的等候線模型進(jìn)行分類。A/B/kA表示達(dá)到的概率分布；B表示服務(wù)時(shí)間的概率分布；k表示渠道數(shù)。通常使用的標(biāo)記字母：M——到達(dá)服從泊松分布或服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布。D——到達(dá)或服務(wù)時(shí)間是確定的或持續(xù)不變的；G——到達(dá)或服務(wù)時(shí)間服從某種已知均值和標(biāo)準(zhǔn)差的一般概率分布。練習(xí)萊克城地區(qū)航空公司的所有飛機(jī)乘客在進(jìn)入登機(jī)區(qū)域之前必須穿過(guò)安