2023年極坐標與參數(shù)方程常見題型

極坐標與參數(shù)方程高考題的幾種常見題型一、極坐標方程與直角坐標方程的互化例1(2023海南寧夏)⊙O1和⊙O2的極坐標方程分別為，．(I)把⊙O1和⊙O2的極坐標方程化為直角坐標方程；(II)求通過⊙O1，⊙O2交點的直線的直角坐標方程．解：(I)，，由得．所以．即為⊙O1的直角坐標方程．同理為⊙O2的直角坐標方程(II)解:由,兩式相減得－4x-4y=0,即過交點的直線的直角坐標方程為y=－x．二、已知曲線的極坐標方程,判斷曲線類型例2(2023貴州貴陽高三適應(yīng)性監(jiān)測考試,23)以直角坐標系的原點為極點，軸非負半軸為極軸，在兩種坐標系中取相同單位的長度.已知直線的方程為，曲線的參數(shù)方程為，點是曲線上的一動點.（Ⅰ）求線段的中點的軌跡方程；(Ⅱ)求曲線上的點到直線的距離的最小值.[解析]（Ⅰ）設(shè)中點的坐標為，依據(jù)中點公式有（為參數(shù)），這是點軌跡的參數(shù)方程，消參得點的直角坐標方程為.（5分）（Ⅱ）直線的普通方程為，曲線的普通方程為，表達認為圓心，以2為半徑的圓，故所求最小值為圓心到直線的距離減去半徑，設(shè)所求最小距離為d，則.因此曲線上的點到直線的距離的最小值為.三、求曲線的交點坐標例3（2023東北三校第一次聯(lián)合考試）在極坐標系下，已知圓和直線。(1)求圓和直線的直角坐標方程；當時，求直線于圓公共點的極坐標。解：（1）圓，即圓的直角坐標方程為：，即直線，即則直線的直角坐標方程為：，即。由得故直線與圓公共點的一個極坐標為。根據(jù)條件求直線和圓的極坐標方程例4(2023遼寧)在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為cos（）=1，M,N分別為C與x軸，y軸的交點。（1）寫出C的直角坐標方程，并求M,N的極坐標；（2）設(shè)MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程。解：（Ⅰ）由C直角方程為（Ⅱ）M點的直角坐標為（2，0）N點的直角坐標為P點的直角坐標為直線OP極坐標方程為參數(shù)方程的問題例5(2023山西忻州一中、康杰中學、臨汾一中、長治二中四校高三第三次聯(lián)考，23)在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）設(shè)為曲線上的動點，求點到上點的距離的最小值，并求此時點的坐標.[解析]（1）由曲線：

得兩式兩邊平方相加得：即曲線的普通方程為：

由曲線：得：所以

即曲線的直角坐標方程為:(2)由（1）知橢圓與直線無公共點，橢圓上的點到直線的距離為

所以當時，的最小值為，此時點的坐標為1.(2023山西太原高三模擬考試（一），23)

在平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為，且曲線C1上的點M（2，）相應(yīng)的參數(shù).且以O(shè)為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2是圓心在極軸上且通過極點的圓，射線與曲線C2交于點.

（I）求曲線C1的普通方程，C2的極坐標方程；

（Ⅱ）若是曲線C1上的兩點，求的值.2.(2023福州高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測,21(2))在平面直角坐標系中,認為極點,軸非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為,直線l的參數(shù)方程為:(為參數(shù))，兩曲線相交于,兩點.（Ⅰ）寫曲線直角坐標方程和直線普通方程;（Ⅱ）若,求的值．[解析](Ⅰ)(曲線的直角坐標方程為,直線的普通方程.（4分）(Ⅱ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入,得到,,相應(yīng)的參數(shù)分別為,，則3.(2023河北石家莊高中畢業(yè)班復(fù)習教學質(zhì)量檢測（二），23)已知直線的參數(shù)方程為：，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（Ⅰ）求曲線的參數(shù)方程；（Ⅱ）當時，求直線與曲線交點的極坐標.[解析]（Ⅰ）由，可得所以曲線的直角坐標方程為，標準方程為，曲線的極坐標方程化為參數(shù)方程為（5分）（Ⅱ）當時，直線的方程為，化成普通方程為，由，解得或，所以直線與曲線交點的極坐標分別為，；,.4.(2023黑龍江哈爾濱第三中學第一次高考模擬考試，23)

已知在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的取值范圍.[解析]（Ⅰ）直線的普通方程為，C直角坐標方程為.（Ⅱ）設(shè)點，則，所以的取值范圍是.(10分）5.（2023吉林實驗中學高三年級第一次模擬，23）選修4—4:坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（Ⅰ）求圓C的極坐標方程；（Ⅱ）直線的極坐標方程是，射線與圓C的交點為O、P，與直線的交點為Q，求線段PQ的長．6.(2023河南豫東豫北十所名校高中畢業(yè)班階段性測試（四）數(shù)學（理）試題,23)

已知曲線C的極坐標方程是．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程是(t是參數(shù))．

(I)將曲線C的極坐標方程和直線的參數(shù)方程分別化為直角坐標方程和普通方程；(Ⅱ)若直線與曲線C相交于A，B兩點，且，試求實數(shù)m的值．7.(2023吉林省長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測試，23)已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．（1）求圓的直角坐標方程；（2）若是直線與圓面≤的公共點，求的取值范圍．[解析]（1）圓的極坐標方程為所以又所以所以圓的普通方程（2）設(shè)由:所以圓的圓心是，半徑是將代入得又直線過，圓的半徑是，所以即的取值范圍是8.(2023周寧、政和一中第四次聯(lián)考，21)在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（Ⅰ）將的方程化為普通方程；（Ⅱ）認為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.設(shè)曲線的極坐標方程是，求曲線與交點的極坐標.[解析]（Ⅰ）依題意，的普通方程為，（Ⅱ）由題意，的普通方程為，代入圓的普通方程后得，解得，，點、的直角坐標為，，從而，.

（7分）9.(2023江蘇蘇北四市高三期末統(tǒng)考,21C)在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）；認為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的極坐標方程為.由直線上的點向圓引切線，求切線長的最小值.[解析]由于圓的極坐標方程為，所以，所以圓的直角坐標方程為，圓心為,半徑為1,（4分）由于直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以直線上的點向圓C引切線長是，所以直線上的點向圓C引的切線長的最小值是.（10分）10.(2023河南鄭州高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量預(yù)測,23)已知曲線(t為參數(shù))，(為參數(shù))（Ⅰ）化，的方程為普通方程，并說明它們分別表達什么曲線;（Ⅱ）過曲線的左頂點且傾斜角為的直線交曲絨于A，B兩點，求.[解析]

解（Ⅰ）曲線為圓心是，半徑是1的圓.曲線為中心是坐標原點，焦點在x軸上，長軸長是8，短軸長是6的橢圓.（4分）

（Ⅱ）曲線的左頂點為，則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）將其代入曲線整理可得：，設(shè)相應(yīng)參數(shù)分別為，則所以.

（10分）11.(2023河北衡水中學高三上學期第五次調(diào)研考試,23)在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）判斷點與直線的位置關(guān)系，說明理由；(Ⅱ)設(shè)直線與直線的兩個交點為、，求的值.[解析]（Ⅰ）直線即，:，點在上.(Ⅱ)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線C的直角坐標方程為，將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程，有，設(shè)兩根為，.（10分）12.(2023蘭州高三第一次診斷考試,23)在直角坐標系中，以原點O為極點，以軸正半軸為極軸，與直角坐標系取相同的長度單位，建立極坐標系，設(shè)曲線C參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的極坐標方程為.

（Ⅰ）寫出曲線C的普通方程和直線的直角坐標方程；

（Ⅱ）求曲線C上的點到直線的最大距離，并求出這個點的坐標.[解析]（Ⅰ）由得，則直線的普通方程為.由得曲線的普通方程為.

（5分）（Ⅱ）在

上任取一點，則點到直線的距離為

，當，即時，，此時點.

（10分)14.（河南省商丘市2023屆高三第三次模擬考試數(shù)學（理）試題）在極坐標系中，已知圓C的圓心，半徑r=．（I）求圓C的極坐標方程；（Ⅱ）若，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線交圓C于A、B兩點，求弦長|AB|的取值范圍．解：（Ⅰ）直角坐標，所以圓的直角坐標方程為，……2分由得，圓C的直角坐標方程為．……5分（Ⅱ）將，代入的直角坐標方程，得，則，設(shè)Ａ，Ｂ相應(yīng)參數(shù)分別為，，則，，由于，所以所以，所以的取值范圍為15.（南京市2023屆高三年級第三次模擬考試數(shù)學試題）在平面直角坐標系xOy中，已知M是橢圓eq\F(x2,4)＋eq\F(y2,12)＝1上在第一象限的點，A(2，0)，B(0，2eq\R(,3))是橢圓兩個頂點，求四邊形OAMB的面積的最大值．解：設(shè)M(2cosθ，2eq\R(,3)sinθ)，θeq\o(\s\up1(),∈)(0，eq\F(π,2))．由題知OA＝2，OB＝2eq\R(,3)，……………2分∴四邊形OAMB面積S＝eq\F(1,2)×OA×2eq\R(,3)sinθ＋eq\F(1,2)×OB×2cosθ＝2eq\R(,3)sinθ＋2eq\R(,3)cosθ＝2eq\R(,6)sin(θ＋eq\F(π,4))所以當θ＝eq\F(π,4)時，四邊形OAMB的面積的最大值為2eq\R(,6)．……10分16.（甘肅省張掖市2023屆高三第三次診斷考試數(shù)學（理）試題）在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）；以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，圓的極坐標方程為．（Ⅰ）寫出直線的普通方程與圓的直角坐標方程；（Ⅱ）由直線上的點向圓引切線，求切線長的最小值.【解析】:（Ⅰ）,曲線C:……………4分（Ⅱ）由于圓極坐標方程，所以，所以圓的直角坐標方程為，圓心為,半徑為1,由于直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以直線上的點向圓C引切線長是所以直線上的點向圓C引的切線長的最小值是．…10分17.（黑龍江省大慶市2023年高三第次模擬考試數(shù)學（理）試卷）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，為直線與曲線的公共點，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（=1\*ROMANI）求點的極坐標；（=2\*ROMANII）將曲線上所有點的縱坐標伸長為本來的倍(橫坐標不變)后得到曲線，過點作直線，若直線被曲線截得的線段長為，求直線的極坐標方程.解：（=1\*ROMANI）的普通方程為。將代入上式整理得，解得故點的坐標為，其極坐標為.………5分（=2\*ROMANII）坐標變換式為故的方程為，即…7分當直線的斜率存在時,設(shè)其方程為，即，由圓心到直線距離得，，∴直線為，當直線的斜率不存在時，其方程為，顯然成立.故直線的極坐標方程為或.…10分18.（2023年長春市高中畢業(yè)班第二次調(diào)研測試）已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．（1）求圓的直角坐標方程；（2）若是直線與圓面≤的公共點，求的取值范圍．【解析】：（1）圓的極坐標方程為∴又，所以所以圓的普通方程（2）『解法1』：設(shè)由圓的方程所以圓的圓心是，半徑是將代入得又直線過，圓的半徑是，所以，所以即的取值范圍是19.（昆明第一中學2023屆高三第五次月考）以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，并在兩種坐標系中取相同的長度單位，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程為。（I）求直線l和圓C的直角坐標方程；（Ⅱ）若點P（x，y）在圓C上，求的取值范圍．21.（2023年高考（新課標理））直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),是上的動點,點滿足=,點的軌跡為.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在認為極點,軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與的異于極點的交點為,與的異于極點的交點為,求.【解析】(Ⅰ)設(shè)(,),則由條件知(,),由于在上,∴,即,∴的參數(shù)方程為(為參數(shù));(Ⅱ)曲線的極坐標方程為=,曲線的極坐標方程為=,∴射線與的交點的極徑為=,射線與的交點的極徑為=,∴==.22.（河南省鄭州市第四中學2023屆高三第十四次調(diào)考數(shù)學（理）試題）在直角坐標系中,以O(shè)為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的極坐標方程為,曲線的參數(shù)方程為,(為參數(shù),).(Ⅰ)求C1的直角坐標方程;(Ⅱ)當C1與C2有兩個公共點時,求實數(shù)的取值范圍.【答案】解:(Ⅰ)曲線的極坐標方程為,∴曲線的直角坐標方程為.(Ⅱ)曲線的直角坐標方程為,為半圓弧,如下圖所示,曲線為一族平行于直線的直線,