專題01直線的傾斜角、斜率和方程解析版

專題01直線的傾斜角、斜率和直線方題型一直線的傾斜角與斜例題1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1,3、Q4,0兩點(diǎn)的直線l的傾斜角為 【答案】因直線l過(guò)點(diǎn)P1,3、Q4,0，則直線l的斜率k30 1 l的傾斜角為滿足

180，顯然90，則有tan ，解得，3，.所以直線l的傾斜角為.2

3mx12my20的傾斜角為2，則m 3 3 【答案】l2，所以斜率ktan23 所以3m2m

3m1343例題3已知?jiǎng)又本€l:xmy20的傾斜角的取值范圍是,，則實(shí)數(shù)m43

3,

3

1,3 【答案】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系可得11m

由題設(shè)知：直線斜率范圍為(1,3，即11m

3，可得1m33xlx軸(正方向)按逆時(shí)針?lè)较蚶@著交ll的傾斜角．lx0，傾斜角的范圍是[0，π)．π經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為 題型二直線的 A．3x2y3 B．2xy2C．2xy1 D．2xy2【答案】根據(jù)BC所在直線的斜率求得高線的斜率，結(jié)合點(diǎn)斜式即可求得結(jié)果因?yàn)锽2,1C02，故可得BC2110 BC邊上的高所在直線的斜率k2A10，y2x12xy20.例題2過(guò)兩點(diǎn)A(0,3)，B(2,0)的截距式方程為

y

B．xy

C．xy

D．xy 【答案】A(03B(2,0x軸，y軸上的截距分別為－2，3xy1 Ax，yAxByC0（A，B0）B．當(dāng)C0AxByC0（A，B0）CA0B0C0AxByC0x【答案】A；將C0代入方程即可驗(yàn)證直線是否過(guò)原點(diǎn)，進(jìn)而判斷B；A，在平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有傾斜角，當(dāng)90k存在，其方程ykxb，它可變形為kxyb0AxByC0AkB1Cb；當(dāng)90xx1AxByC0A1B0Cx1A，B0B，當(dāng)C0AxByC0（A，B0）AxBy0A0B00，即直線過(guò)原點(diǎn)00CA0B0C0AxByC0yC0BDx1，顯然它不能表示為點(diǎn)斜式，故錯(cuò)誤．例題4過(guò)點(diǎn)P1,2引直線，使A2,3，B4,5到它的距離相等，則這條直線的方程是 A．4xy6 B．x4y6C．2x3y70或x4y6 D．3x2y70或4xy6【答案】設(shè)所求的直線為l，則直線lAB或直線lAB的中點(diǎn)，分情況討論即可求解設(shè)所求的直線為l，則直線lAB或直線lAB因?yàn)锳2,3B45，所以

5344所以過(guò)點(diǎn)P12ABy24x1即4xy60，A2,3B45AB的中點(diǎn)為31，所以過(guò)點(diǎn)P12與線段AB的中點(diǎn)為31的直線的方程為y212x13即3x2y703x2y70或4xy60，x y2－y＝ kα

yx題型一直線的傾斜角與斜已知直線l的斜率的絕對(duì)值為3，則直線的傾斜角 k＝3k＝－360°Am22m23B3mm22ml的傾斜角為，若03, 4 【答案】(2)4 m23

則km223mm2tan，因?yàn)?4

4, m23所以1k1m22m31

1m223mm22m2m即m22m

解得m4或m23 12m2m

過(guò)兩點(diǎn)A(3mm2，2m)、B(m23m2)的直線的傾斜角為135，則實(shí)數(shù)m的值 【答案】

2m33mm2m2

1依題意可得，直線的斜率為1，且3mm2m232m3即3mm2m2

1，整理

m22m32m2m

1可求得m2或m經(jīng)檢驗(yàn)m1不合題意，故m2

m

31,3AB3 【答案】05, AB的斜率km1m13m

31,33 m1 3, k的取值范圍為

3,3 即tan3

3 ∴0,5, 05, 題型二直線的設(shè)直線l的方程為(a1)xy1a0，若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l ．【答案】2xy0xy1整理直線l的方程為a(x1xy10，列出方程組，求出直線過(guò)點(diǎn)(12)00兩種情況，得到直線l的方程直線l的方程為(a1)xy1a0，即a(x1xy10，x10x1y2，可得該直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(12)由于直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，若直線ly2x，即2xy0．若直線lxyc0，再把點(diǎn)(12)代入，求得c1，故直線lxy10綜上可得，直線l的方程為2xy0xy10．2xy0xy10將直線y3(x2)繞點(diǎn)(2,0)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后所得直線方程的斜截式 3【答案】y3x33根據(jù)題意直線旋轉(zhuǎn)后的傾斜角為120°，斜率為 ，且過(guò)點(diǎn)(2,0)，寫出直線方程化簡(jiǎn)可得到結(jié)果3y3(x23 ，且過(guò)點(diǎn)(2,0)3y0

3(x2，即y

3x23故答案為y3x23已知直線k1x12ky30kR恒過(guò)定點(diǎn)AA在直線xy1m0n0上，則2mn 最小值 【答案】A為(2,1211，根據(jù)目標(biāo)式結(jié)合基本不等式“1” k1x12ky3k(x2yxy30x2y2時(shí)，方程恒成立，故直線恒過(guò)定點(diǎn)(2,1 211，則2mn2mn2152n2m

9，當(dāng)且僅當(dāng)mn3 2mn的最小值為9

xy40或3xy60(寫出其中一個(gè)即可由題意，設(shè)直線的截距式方程并代入C(1,3，分離常數(shù)后結(jié)合a、b解：A(a0)B(0,bxy 又C(1,3131，整理得a

b

1

b3又abb4當(dāng)b4a4；當(dāng)b6a2xy1xy1xy40或3xy60 故答案為xy40或3xy60若三點(diǎn)A3,1，B2,b，C8,11在同一條直線上，則實(shí)數(shù)b 【答案】由題意可得kABkAC，列方程可求出由題意可知A3,1B2,bC8,11三點(diǎn)所在的直線的斜率存在所以

AB

b-111-1，解得b2- 8-直線y3x1的傾斜角的大小 33由直線的斜率與傾斜角的關(guān)系可得tan 3設(shè)直線的傾斜角為3由直線l的方程為：y3x1可得tan 3又0,所以33若直線l的傾斜角的范圍為, 2,，則該直線的斜率的取值范圍 42 【答案】

3,

由直線的斜率公式ktan(2解：由直線l的傾斜角的變化范圍, 2,42 結(jié)合直線的斜率公式ktan(2可得k的范圍是

3,01,

3,01,直線l:2m1xm1y3m2mR經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo) 【答案】2xy3將直線方程化簡(jiǎn)為xy2m2xy30，進(jìn)而令x2xy3lxy2m2xy30令xy20x1l總過(guò)定點(diǎn)1,12xy3 y直線ymx21過(guò)定 【答案】ymx21x20x2,yymx21過(guò)定點(diǎn)2,1，2,1.不論m為何值，直線3m3x52mym60都恒過(guò)一定點(diǎn)，則此定點(diǎn)的坐標(biāo) 1【答案】(3,1化簡(jiǎn)直線方程為3x5y6m(3x2y1)0，聯(lián)立方程組3x5y60，即可求解3x2y1由題意，直線3m3x52mym60，可化為3x5y6m(3x2y1)0，聯(lián)立方程組3x5y60x1y3x2y1 1所以不論m為何值，直線過(guò)定點(diǎn)(3,111(3,1直線xtany20的傾斜角 323xtany20，得3xy20.∴直線的斜率k3，設(shè)其傾斜角為03tan3，∴23

23 x3y120x3y12x

1，再根據(jù)面積求得a的值，即可得到答案x

1|a|424a122x3y120x3y120，x3y120x3y120一條光線沿直線3x4y50入射到x軸后反射，則反射光線所在的直線方程 【答案】3x4y5根據(jù)題意分析出反射光線過(guò)直線3x4y50x軸的交點(diǎn)，且傾斜角與直線3x4y50的傾斜角互解：由題可知，直線3x4y50xy0x5，所以直線3x4y50x軸的交點(diǎn)為3

5,0)3又直線3x4y5

4

，所以反射光線所在直線的斜率為34y3(x5，即3x4y50 故答案為：3x4y50. ①經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Px0y0yy0kxx0②經(jīng)過(guò)任意兩點(diǎn)P1x1y1P2x2y2的直線都可以用方程yy1x2x1xx1y2y1表示③xy1 ④經(jīng)過(guò)定點(diǎn)0bykxb【答案】①由于直線過(guò)定點(diǎn)Px0y0yy0kxx0表示，xx0，①不正確；yy1x2x1xx1y2y1，xx時(shí)，經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)PxyPxyy2y1 1

x2yyy2y1xx，整理得yyx

xxxy

x

③xxxy1 xy1表示，③ ④當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)0bx0ykxb表示，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)0bykxb表示，④不正確，41個(gè). 【答案】yk(x-2)3x軸，yA230B032k 12kkSAOB22k32k2 kk＞0SAOB2當(dāng)且僅當(dāng)k=3時(shí)取等號(hào)2

k212k，kS△AOB＝m＞0k＞0時(shí)，kk212k當(dāng)k＜0時(shí)，SAOB2 當(dāng)且僅當(dāng)k3時(shí)取等號(hào)20＜m＜12時(shí)，僅有兩條直線使△AOBm；m＝12時(shí)，僅有三條直線使△AOBm；已知直線2m1x1my31m0m1,1與兩坐標(biāo)軸分別交于AB兩點(diǎn)．當(dāng)OAB的 積取最小值時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則m的值 【答案】5A(3(1m0B(03(1m)OAB的面積S關(guān)于m2m 1合分式及二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷面積取最小的m值A(chǔ)(3(1m0B(03(1m)2m 113(1m)3(1 (1∴當(dāng)△OAB的面積S 2m 1 22m2m t 令1mt13，則S22t25t22

1 92∴當(dāng)t4，即m1S

t

)2 故答案為5方程(a1)xy2a10(aR)所表示的直線恒過(guò) 定點(diǎn) B．定點(diǎn)(2,C．點(diǎn)(2,3)和點(diǎn)(2, D．點(diǎn)(2,3)和點(diǎn)(3,【答案】x2把方程化為xy1a(x2)0，列出方程組xyx2由題意，方程(a1)xy2a10(aR)，可化為xy1a(x2)0xy1又由x2

，解得x2y3所以方程(a1)xy2a10所表示的直線恒過(guò)點(diǎn)(2,3如圖，設(shè)直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3，則k1,k2,k3的大小關(guān)系為 k1k2

k1k3

k2k1

k3k2【答案】ktan(90當(dāng)090時(shí)，斜率是非負(fù)數(shù)，傾斜角越大，斜率越大；當(dāng)90180時(shí)，斜率是負(fù)數(shù)，傾斜角越大，斜率也越大.通過(guò)圖形判斷可得三條直線的傾斜角均在[0,90范圍內(nèi)，又根據(jù)“當(dāng)090時(shí)，直線的傾斜角越大，斜率越大”k1k2k3已知下列命題：①直線的傾斜角為，則此直線的斜率為tan；②直線的斜率為tan，則直線的傾斜角為；③直線的傾斜角為，則sin0.上述命題中不正確的是（ 【答案】①，90時(shí)，直線的斜率不存在，①錯(cuò)誤②tan225tan18045tan451，直線的傾斜角為45，不是225，②錯(cuò)誤③，當(dāng)0sin0，③錯(cuò)誤 已知直線的傾斜角的范圍是,3，則此直線的斜率k的取值范圍是 4 B．1,C．1,

D．,11,【答案】當(dāng)直線的傾斜角時(shí)，直線的斜率ktan，因32則當(dāng)[tan1，即k4

41，當(dāng)(3tan1，即k1 所以直線的斜率k的取值范圍是11(1)A1,2，B1,3，C0,4(2)D2,2，E2,0，F(xiàn)0,1解：因?yàn)?/p>

231

1，

242，所以1

ABkAC解：因?yàn)?/p>

2

1，

2

1，所以

2

2

D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在同一條直線上.A4,3，斜率是k過(guò)點(diǎn)C12，且與y軸平行過(guò)點(diǎn)D2,1E34y4xxy15x由題意，知直線的斜率ktan1351，y4x1．1x3因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)D2,1E34，所以斜率k413y15x2已知三條直線l1l2l3的斜率分別為k1k2k3，傾斜角分別為，且k1k2k3，探索其傾斜角的大小關(guān)系．ytanx在[0,x(0ytanx0x(,ytanx0 ktan,[0, ytanx在[0, x(0ytanx0x(,ytanx （1）當(dāng)0kkk時(shí)，有[0 ytanx在[0,π單調(diào)遞增，有2（2）當(dāng)kkk0時(shí)，有, ytanx在(,單調(diào)遞增，有2[0,（3）當(dāng)k0kk，有(,)，，[0, ytanx在[0,π單調(diào)遞增，有2( [0,（4）當(dāng)kk0k，有,)，( [0, ytanx在(,單調(diào)遞增，有2經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，2），3【答案】(1)3xy23xy3xy3由題知直線的斜率為k

3，進(jìn)而根據(jù)斜截式方程求解并化為一般式方程即可根據(jù)斜率公式得直線斜率為k3xy1，進(jìn)而待定系數(shù)求解，并化為一般式方程即可 解：因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,2，且傾斜角為3所以直線的斜率為ktan33y3x2所以直線的一般方程為3xy2解：因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,3和點(diǎn)1,0所以直線斜率為k

32

y3x1所以直線的一般式方程為3xy3xy 因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)2,1 所以 1，解得a xy3kl的方程為2xk3y2k60k3kl的斜率為1【答案】l的方程為2xk3y2k60k3l的斜率為

2k3于是得

k

1，解得k5k5.l的方程為2xk3y2k60k3x0y2y0xk3，于是得(k321，解得k2，k A(2，1)，B(m3)α的范圍是3m 4【答案】[0AB的斜率不存在或斜率不大于11 α的范圍是3kk≤－1k 4m＝2k＝31＝

≥1

≤－12<m≤4m m

m

mm的取值范圍是[0，4]．過(guò)點(diǎn)32，斜率為33過(guò)點(diǎn)30，與x軸垂直斜率為4，在y軸上的截距為斜率為3，在x軸上的截距為2過(guò)點(diǎn)1,842過(guò)點(diǎn)200【答案】(1)3x3y3360x304xy703xy602xy603x2y60因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)32，斜率為33y2

3(x3)3

3x3y3360因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)30x軸垂直，x3x30；因?yàn)橹本€的斜率為4y7，y4x74xy70；3y3xbx軸上的截距為