2022-2023學(xué)年河南省周口市太康縣第二高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省周口市太康縣第二高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．“”是“直線與直線平行的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出當(dāng)時(shí)實(shí)數(shù)的值，再利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，解得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線的方程為，此時(shí).因?yàn)椋虼?，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A.2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則直線與的位置關(guān)系是（

）A．垂直 B．平行 C．異面 D．相交但不垂直【答案】B【詳解】因?yàn)?，，，，所?,可得，所以，線與的位置關(guān)系是平行，故選B．3．已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由空間向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算求出，再求和即可.【詳解】∵，∴，即，∴解得，∴.故選：D.4．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段C1D，AC上，則線段PQ長(zhǎng)度的最小值是()．A． B． C． D．【答案】C【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]，∴PQ＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝，μ＝時(shí)，線段PQ的長(zhǎng)度取得最小值.5．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體中，P為的中點(diǎn)，Q為上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且的長(zhǎng)為定值，則點(diǎn)Q到平面的距離（

）A．等于 B．和的長(zhǎng)度有關(guān)C．等于 D．和點(diǎn)Q的位置有關(guān)【答案】A【分析】取的中點(diǎn)G，連接，利用線面平行判斷出選項(xiàng)B,D錯(cuò)誤；建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積公式求得點(diǎn)到面的距離，從而得出結(jié)論.【詳解】取的中點(diǎn)G，連接，則，所以點(diǎn)Q到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，與的長(zhǎng)度無(wú)關(guān)，B錯(cuò)．又平面，所以點(diǎn)到平面的距離即點(diǎn)Q到平面的距離，即點(diǎn)Q到平面的距離，與點(diǎn)Q的位置無(wú)關(guān)，D錯(cuò)．如圖，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，，設(shè)是平面的法向量，則由得令，則，所以是平面的一個(gè)法向量．設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，則，A對(duì)，C錯(cuò)．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)到直線的距離，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)，屬中檔題.6．已知點(diǎn)，若點(diǎn)C是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則面積的最小值為(

)A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】首先求出直線的方程和線段的長(zhǎng)度，利用圓心到直線的距離再減去圓的半徑得出的高的最小值，即可求解.【詳解】由題意，易知直線的方程為，且,∵圓可化為，∴圓心為，半徑為1，又∵圓心到直線的距離，∵的面積最小時(shí)，點(diǎn)C到直線的距離最短，該最短距離即圓心到直線的距離減去圓的半徑，故面積的最小值為.故選：D.7．點(diǎn)M，N是圓＝0上的不同兩點(diǎn)，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對(duì)稱，則該圓的半徑等于（

）A． B． C．3 D．9【答案】C【分析】根據(jù)題意可得：直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過(guò)圓心（－，－1），代入運(yùn)算解得k＝4，再代入求圓的半徑．【詳解】圓＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，則圓心坐標(biāo)為（－，－1），半徑為因?yàn)辄c(diǎn)M，N在圓＝0上，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線l：x－y＋1＝0對(duì)稱，所以直線l：x－y＋1＝0經(jīng)過(guò)圓心，所以－＋1＋1＝0，k＝4．所以圓的方程為：＝0，圓的半徑＝3.故選：C．8．若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】確定曲線是半圓（右半圓），直線過(guò)定點(diǎn)，求出直線過(guò)點(diǎn)時(shí)的斜率，再求得直線與半圓相切時(shí)的斜率，由圖形可得的范圍．【詳解】直線恒過(guò)定點(diǎn)，曲線表示以點(diǎn)為圓心，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓（包括點(diǎn)，．如圖，作出半圓，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，直線記為；當(dāng)與半圓相切時(shí)，由，得，切線記為．由圖形可知當(dāng)時(shí)，與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故選：A．9．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)作傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)題給條件得到關(guān)于的關(guān)系式，即可求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)在橢圓上，所以，兩式相減，得，由直線AB的傾斜角為，可知，所以；設(shè)，，所以，所以，所以，即，所以.故選：B.10．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，則雙曲線的一條漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線中a，b，c的關(guān)系先求出b，進(jìn)而可求焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：由題意，，又，解得.所以雙曲線的一條漸近線方程為，即.故選：B.11．已知是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m，點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB與x軸的交點(diǎn)為M（m，0），x=ty+m代入，可得，根據(jù)韋達(dá)定理有∵，，從而∵點(diǎn)A，B位于x軸的兩側(cè)，∴，故．故直線AB所過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是即有面積，當(dāng)時(shí)，即直線AB垂直于x軸，的面積取得最小值，且為8．【點(diǎn)睛】本題考查考查三拋物線中三角形的面積的最值，注意求出直線恒過(guò)定點(diǎn)，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題12．若方程表示橢圓，則k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，解方程即可得出答案.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎緳E圓，所以，解得：且.故k的取值范圍為：.故選：D.二、填空題13．若直線與直線互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________．【答案】【解析】直接利用兩直線垂直，求出m.【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，所以，解得：故答案為：3【點(diǎn)睛】若用一般式表示的直線,不用討論斜率是否存在,只要A1A2+B1B2=0,兩直線垂直.14．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA=2，則AB與PC的夾角的余弦值為_(kāi)_____.【答案】【分析】利用向量夾角公式來(lái)計(jì)算出與的夾角的余弦值.【詳解】∵··()=··=1××cos45°=1，又||=1，||=，∴cos<，>=.故答案為：15．已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則此雙曲線的漸近線方程是________.【答案】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)可求的值，從而可求漸近線方程.【詳解】∵拋物線的焦點(diǎn)是（2，0），∴，，∴，∴．所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:.16．已知F是拋物線的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N．若M為FN的中點(diǎn)，則___________．【答案】6【分析】由拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線方程并化簡(jiǎn)，由此計(jì)算出的值.【詳解】如圖，過(guò)M、N分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為，則，．因?yàn)镸為FN的中點(diǎn)，所以，由拋物線的定義知，從而．故答案為：6三、解答題17．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為a．(1)求和的夾角；(2)求證：．【答案】(1)60°(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）選好基底后，根據(jù)空間向量數(shù)量積即可求解；（2）利用向量垂直，數(shù)量積為0即可得解.【詳解】（1），，．由于正方體的棱長(zhǎng)為a，，且，，．，，．又，，．又，，與的夾角為60°．（2）證明：由（1）知，，，，．18．已知的三個(gè)頂點(diǎn)、、．(1)求邊所在直線的方程；(2)邊上中線的方程為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）根據(jù)直線的兩點(diǎn)式求解直線方程即可；（2）首先根據(jù)直線方程，可得，然后利用點(diǎn)到直線距離，得到點(diǎn)到直線的距離為：，再根據(jù)，得到，最后解方程組即可得到參數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)?、，所以BC邊所在直線的方程為：；（2）BC邊上中線AD的方程為，所以有，點(diǎn)A到直線BC的距離為：，，因?yàn)椋杂?，因此有或，解得：或，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為：或．19．如圖，圓內(nèi)有一點(diǎn)，AB為過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的弦．（1）當(dāng)時(shí)，求AB的長(zhǎng)．（2）是否存在弦AB被點(diǎn)平分？若存在，寫(xiě)出直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）;（2）.【分析】（1）求出直線AB的斜率即可寫(xiě)出其點(diǎn)斜式方程，利用勾股定理可求得弦長(zhǎng)；（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，AB與垂直，由此可求出直線AB的斜率，寫(xiě)出其點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)即可.【詳解】（1）依題意，直線AB的斜率為，又直線AB過(guò)點(diǎn)，所以直線AB的方程為：，圓心到直線AB的距離為，則，所以；（2）當(dāng)弦被點(diǎn)平分時(shí)，AB與垂直，因?yàn)?，所以，直線AB的點(diǎn)斜式方程為即.20．圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2m，水面寬4m.水下降1m后，水面寬多少？（精確到0.1m）【答案】4.9m【分析】通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出拋物線方程，將點(diǎn)代入拋物線方程求得，得到拋物線方程，再把點(diǎn)代入拋物線方程求得進(jìn)而得到答案．【詳解】在拋物線形拱橋上，以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如答圖所示.設(shè)該拋物線的方程為.拱頂離水面2m，水面寬4m，點(diǎn)在拋物線上，，解得，拋物線的方程為.當(dāng)水面下降1m時(shí)，，代入，得，即，，故這時(shí)水面寬約為4.9m.21．設(shè)雙曲線(0<a<b)的半焦距為c，直線l過(guò)(a,0)，(0，b)兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線l的距離為c，求雙曲線的離心率．【答案】e＝2.【分析】先求出直線的方程，利用原點(diǎn)到直線的距離為，，求出的值，進(jìn)而根據(jù)求出離心率．【詳解】由l過(guò)兩點(diǎn)(a,0)，(0，b)，得l的方程為bx＋ay－ab＝0.由原點(diǎn)到l的距離為c，得＝c.將b＝代入平方后整理，得162－16·＋3＝0.解關(guān)于的一元二次方程得＝或.∵e＝，∴e＝或e＝2.又0<a<b，故e＝＝＝>.∴應(yīng)舍去e＝.故所求離心率e＝2.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線性質(zhì)，考查求雙曲線的離心率常用的方法即構(gòu)造出關(guān)于的等式，屬于中檔題