初中數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)上冊(cè)第一章　特殊平行四邊形 一等獎(jiǎng)

．正方形的性質(zhì)與判定第2課時(shí)正方形的判定課后作業(yè):方案（A）一、教材題目：P25，T1-T41．證明：對(duì)角線相等的菱形是正方形．2．已知：如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，且BE＝DF.求證：四邊形AECF是菱形．(第2題)3．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別在它的四條邊上，且AE＝BF＝CG＝DH.四邊形EFGH是什么特殊四邊形？你是如何判斷的？(第3題)聯(lián)系拓廣(第4題)4．如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，正方形A′B′C′O與正方形ABCD的邊長相等．在正方形A′B′C′O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個(gè)正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論．二、補(bǔ)充題目：部分題目來源于《典中點(diǎn)》7．(2023·日照)小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個(gè)條件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD中選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使?ABCD為正方形(如圖)，現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯(cuò)誤的是()A．①②B．②③C．①③D．②④(第9題)9．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分線EF交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，且BE＝BF，添加一個(gè)條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是()A．BC＝ACB．CF⊥BFC．BD＝DFD．AC＝BF答案教材(第1題)1．解：已知，如圖，四邊形ABCD是菱形，AC與BD交于點(diǎn)O，且AC＝BD，求證：四邊形ABCD是正方形．證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝eq\f(1,2)AC，OD＝eq\f(1,2)BD.∴∠AOD＝90°.又∵AC＝BD，∴OA＝OD.∴∠DAC＝45°.同理可得∠BAC＝45°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°.∴四邊形ABCD是正方形．點(diǎn)撥：已知菱形滿足對(duì)邊平行和鄰邊相等這兩個(gè)條件，只需再證一個(gè)角等于90°即可用正方形的定義得到四邊形ABCD是正方形．2．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠DCB＝90°.∴∠ADF＝∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝45°.又∵BE＝DF，∴△ADF≌△ABE≌△CBE≌△CDF.∴AF＝AE＝CE＝CF.∴四邊形AECF是菱形．3．解：四邊形EFGH是正方形．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠B＝90°.∵AE＝DH，∴BE＝AH.在△AEH和△BFE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AH＝BE，,∠A＝∠B，,AE＝BF，))∴△AEH≌△BFE.∴EH＝FE，∠AEH＝∠BFE.同理可證EH＝HG＝GF，∴四邊形EFGH是菱形．又∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BEF＋∠AEH＝90°.∴∠HEF＝90°.∴四邊形EFGH是正方形．點(diǎn)撥：利用三角形全等易證四邊形EFGH是菱形，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形證得四邊形EFGH為正方形．4．解：兩個(gè)正方形重疊部分的面積等于正方形ABCD面積的eq\f(1,4).證明：設(shè)A′O與AB的交點(diǎn)為M，C′O與BC的交點(diǎn)為N.∵四邊形ABCD，四邊形A′B′C′O都是正方形，∴∠A′OC′＝90°，∠BOC＝90°，OB＝OC，∠MBO＝∠NCO＝45°.∴∠MOC′－∠BOC′＝∠BOC－∠BOC′，即∠MOB＝∠NOC.∴△MOB≌△NOC.∴S△MOB＝S△NOC.∴S四邊形OMBN＝S△MOB＋S△OBN＝S