初中數(shù)學北師大版九年級下冊第一章直角三角形的邊角關系本章復習與測試(l)

小專題(二)解直角三角形的應用類型1單一直角三角形【例1】如圖，某同學在樓房的A處測得荷塘的一端B處的俯角為30°，荷塘另一端D與點C、B在同一條直線上，已知AC＝32米，CD＝16米，求荷塘寬BD為多少米？(取eq\r(3)≈，結果保留整數(shù))【方法歸納】通過構造單一的直角三角形，只要知道其中的一條邊長和一個銳角，就可以利用解直角三角形的知識求出其余各邊的長．1．某校九年級數(shù)學興趣小組的同學開展了測量東江寬度的活動．如圖，他們在河東岸邊的A點測得河西岸邊的標志物B在它的正西方向，然后從A點出發(fā)沿河岸向正北方向行進200米到點C處，測得B在點C的南偏西60°的方向上，他們測得東江的寬度是多少米？(結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈，eq\r(3)≈類型2背靠背三角形【例2】為促進我市經(jīng)濟快速發(fā)展，加快道路建設，某高速公路建設工程中，需修建隧道AB，如圖，在山外一點C測得BC距離為200m，∠CAB＝54°，∠CBA＝30°，求隧道AB的長．(參考數(shù)據(jù)：sin54°≈，cos54°≈，tan54°≈，eq\r(3)≈，結果精確到個位)【方法歸納】通過構造一個非直角三角形，已知其中的兩角和一邊，可過第三個角的頂點作高，將三角形轉化為兩個直角三角形，再利用解直角三角形的知識求出其余各邊長．2．(菏澤中考)南沙群島是我國固有領土，現(xiàn)在我南海漁民要在南沙某海島附近進行捕魚作業(yè)，當漁船航行至B處時，測得該島位于正北方向20(1＋eq\r(3))海里的C處，為了防止某國巡警干擾，就請求我A處的魚監(jiān)船前往C處護航，已知C位于A處的北偏東45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之間的距離．3．(漳州中考)將一盒足量的牛奶按如圖1所示倒入一個水平放置的長方體容器中，當容器中的牛奶剛好接觸到點P時停止倒入．圖2是它的平面示意圖，請根據(jù)圖中的信息，求出容器中牛奶的高度．(結果精確到cm，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈，eq\r(2)≈類型3母子三角形【例3】(邵陽中考)一艘觀光游船從港口A處以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號．一艘在港口正東方向B處的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里/小時的速度前往救援，求海警船到達事故船C處所需的大約時間．(參考數(shù)據(jù)：sin53°≈，cos53°≈【方法歸納】如圖，構造兩個直角三角形，利用解直角三角形的知識容易知道如下結果：tanβ＝eq\f(h,b)，tanα＝eq\f(h,a＋b)，a＝eq\f(h,tanα)－eq\f(h,tanβ)，b＝eq\f(atanα,tanβ－tanα)，h＝eq\f(atanβtanα,tanβ－tanα).4．(南京中考)如圖，輪船甲位于碼頭O的正西方向A處，輪船乙位于碼頭O的正北方向C處，測得∠CAO＝45°.輪船甲自西向東勻速行駛，同時輪船乙沿正北方向勻速行駛，它們的速度分別為45km/h和36km/h.經(jīng)過h，輪船甲行駛至B處，輪船乙行駛至D處，測得∠DBO＝58°，此時B處距離碼頭O有多遠？(參考數(shù)據(jù)：sin58°≈，cos58°≈，tan58°≈

參考答案例1在Rt△ACB中，∠CAB＝60°，CB＝ACtan60°＝32eq\r(3).

∴DB＝CB－CD＝32eq\r(3)－16≈39.答：荷塘寬DB的長約為39米．例2過點C作CD⊥AB于D，在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，BC＝200m，

∴CD＝eq\f(1,2)BC＝100，BD＝100eq\r(3).在Rt△ACD中，∵tan∠CAD＝eq\f(CD,AD)，

∴AD＝eq\f(100,tan54°)≈.

∴AB＝AD＋BD＝＋173≈246(m)．答：隧道AB的長約為246米．例3過點C作CD⊥AB，交AB的延長線于點D.由題意，得∠CAD＝30°，∠CBD＝53°，AC＝80海里，

∴CD＝40海里．在Rt△CBD中，sin53°＝eq\f(CD,CB)，

∴CB＝eq\f(CD,sin53°)≈eq\f(40,＝50(海里)．行駛時間：eq\f(50,40)＝(小時)．答：海警船到達C處需小時．針對訓練1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝200.∵tan60°＝eq\f(AB,AC)，

∴AB＝200×eq\r(3)≈200×≈346(米)．2．過點A作AD⊥BC，垂足為D，由題意得∠ACD＝45°，∠ABD＝30°.設CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，在Rt△ABD中，可得BD＝eq\r(3)x，又∵BC＝20(1＋eq\r(3))，CD＋BD＝BC，即x＋eq\r(3)x＝20(1＋eq\r(3))，解得x＝20.

∴AC＝eq\r(2)x＝20eq\r(2)(海里)．答：A、C之間的距離為20eq\r(2)海里．3．過點P作PN⊥AB于點N，由題意可得：∠ABP＝30°，AB＝8cm，則AP＝4cm，BP＝ABcos30°＝4eq\r(3)cm.∵NP·AB＝AP·BP，

∴NP＝eq\f(AP·BP,AB)＝eq\f(4×4\r(3),8)＝2eq\r(3)(cm)．

∴9－2eq\r(3)≈(cm)．答：容器中牛奶的高度約為cm.4．設B處距離碼頭Oxkm.在Rt△CAO中，∠CAO＝45°，∵tan∠CAO＝eq\f(CO,AO)，

∴CO＝AO·tan∠CAO＝(45×＋x)·tan45°＝＋x.在Rt△DBO中，∠DBO＝58°，∵tan