2023年人教版初中數(shù)學(xué)相交線與平行線知識點(diǎn)

第五章相交線與平行線５．1相交線5.1.1相交線鄰補(bǔ)角與對頂角兩直線相交所成的四個(gè)角中存在幾種不同關(guān)系的角,它們的概念及性質(zhì)如下表:圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角112∠1與∠２有公共頂點(diǎn)∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即∠1=∠2鄰補(bǔ)角443∠3與∠4有公共頂點(diǎn)∠3與∠４有一條邊公共,另一邊互為反向延長線.∠3+∠4=１８０°注意點(diǎn)：(1)對頂角是成對出現(xiàn)的,對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角；（2）假如∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之假如∠α=∠β,那么∠α與∠β不一定是對頂角;(3)假如∠α與∠β互為鄰補(bǔ)角,則一定有∠α+∠β=180°；反之假如∠α+∠β=1８0°,則∠α與∠β不一定是鄰補(bǔ)角;（4)兩直線相交形成的四個(gè)角中,每一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，而對頂角只有一個(gè)．例：如圖,三條直線交于一點(diǎn),任意找出圖中的四對對頂角.錯(cuò)解：如圖,對頂角為:(1)∠AOC與∠BOD;（2)∠AOF與∠BＯD;（３)∠ＣOＦ與∠ＤＯＥ;（4）∠AOC與∠BOE.錯(cuò)解分析:錯(cuò)解中把有公共頂點(diǎn)的角誤認(rèn)為是對頂角,導(dǎo)致(２)和(４）錯(cuò)誤．假如對對頂角的概念沒有真正理解和掌握,在比較復(fù)雜的圖形辨認(rèn)中會產(chǎn)生錯(cuò)誤．對頂角就是:一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線.正解:（1）∠AOC與∠ＢOD;（２)∠ＢOE與∠AOＦ;（3）∠COF與∠DOE；(４）∠COE與∠ＤOＦ．(答案不唯一：∠ＡOE與∠BＯF，∠BＯC與∠AOD也是對頂角）5.1.2垂線1、定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中,有一個(gè)角是直角時(shí),就說這兩條直線互相垂直,其中的一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點(diǎn)叫做垂足．ABABCDO如圖所示:AB⊥ＣＤ,垂足為O2、在同一平面內(nèi),過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．3、連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短.簡稱:垂線段最短.４、點(diǎn)到直線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度,叫做點(diǎn)到直線的距離５.１．３同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角12312345678如圖,直線被直線所截1、∠１與∠5在截線的同側(cè)，同在被截直線的上方,叫做同位角（位置相同)2、∠5與∠3在截線的兩旁（交錯(cuò)），在被截直線之間（內(nèi)),叫做內(nèi)錯(cuò)角（位置在內(nèi)且交錯(cuò)）3、∠5與∠4在截線的同側(cè),在被截直線之間（內(nèi)）,叫做同旁內(nèi)角．6B6BAD2345789FEC11如圖,判斷下列各對角的位置關(guān)系:(1）∠１與∠2；（2)∠１與∠7；(3)∠１與∠BAＤ；(4)∠２與∠６;（5）∠5與∠８.解:我們將各對角從圖形中抽出來(或者說略去與有關(guān)角無關(guān)的線）,得到下列各圖.如圖所示,不難看出∠1與∠２是同旁內(nèi)角；∠１與∠７是同位角;∠1與∠ＢAＤ是同旁內(nèi)角;∠２與∠6是內(nèi)錯(cuò)角；∠5與∠8對頂角.ABABC17ABF21ABABCD26ADBF1BBAFE58C注意：圖中∠2與∠９，它們是同位角嗎？不是，∵∠２與∠9的各邊分別在四條不同直線上,不是兩直線被第三條直線所截而成.５.２平行線及其鑒定5.2．1平行線1、平行線的概念:在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作∥.２、兩條直線的位置關(guān)系在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：⑴相交;⑵平行.因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時(shí)，就可以肯定它們平行;反過來也同樣（這里,我們把重合的兩直線當(dāng)作一條直線）判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時(shí),可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來擬定：①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩直線相交;②無公共點(diǎn)，則兩直線平行；③兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，則兩直線重合（∵兩點(diǎn)擬定一條直線)3、平行公理――平行線的存在性與惟一性通過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：假如兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行如左圖所示,∵∥,∥∴∥注意符號語言書寫,前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才會結(jié)論,這兩條直線都平行．例：同一平面內(nèi)，不相交的兩條線是平行線.錯(cuò)解：對．錯(cuò)解分析:平行線是同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系,不相交的兩條線,說的不明確.若是射線或線段有也許不相交．∴說法是錯(cuò)誤的.正解:同一平面內(nèi),不相交的兩條直線是平行線.5.２.2平行線的鑒定鑒定方法1兩條直線被第三條直線所截,假如同位角相等，那么這兩條直線平行簡稱:同位角相等，兩直線平行鑒定方法2兩條直線被第三條直線所截，假如內(nèi)錯(cuò)角相等,那么這兩條直線平行簡稱：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行鑒定方法3兩條直線被第三條直線所截，假如同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行ABCDABCDEF1234幾何符號語言:∵∠3＝∠２∴AB∥CＤ(同位角相等,兩直線平行）∵∠1＝∠2∴AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行)∵∠4+∠2＝180°∴AB∥ＣD(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)例:判斷下列說法是否對的，假如不對的，請給予改正：(1)不相交的兩條直線必然平行線.（2）在同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線，假如它們不平行,那么這兩條直線一定相交．(3）過一點(diǎn)可以且只可以畫一條直線與已知直線平行解:（1）錯(cuò)誤.平行線是在“同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”.“在同一平面內(nèi)”是一項(xiàng)重要條件，不能漏掉.（2）對的（3）錯(cuò)誤.對的的說法是“過直線外一點(diǎn)”而不是“過一點(diǎn)”.∵假如這一點(diǎn)不在已知直線上,是作不出這條直線的平行線的.例:如圖,由條件∠2＝∠B,∠1=∠D，∠３+∠F=180°,可以鑒定哪兩條直線平行,并說明鑒定的根據(jù)是什么?AABEDFC123解:(1)由∠2=∠B可鑒定AB∥DE，根據(jù)是同位角相等,兩直線平行;(2)由∠１＝∠D可鑒定ＡＣ∥DF,根據(jù)是內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；(3）由∠３+∠F=180°可鑒定AＣ∥DF,根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．5.3平行線的性質(zhì)5．3.1平行線的性質(zhì)性質(zhì)1:兩直線平行,同位角相等;性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等;ABCDEABCDEF1234幾何符號語言：∵AB∥ＣD∴∠１=∠2（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2(兩直線平行，同位角相等)∵ＡB∥CDADEBC12∴∠4ADEBC12例：已知∠１＝∠B,求證:∠2=∠Ｃ證明:∵∠１=∠B（已知)∴ＤE∥BC（同位角相等,兩直線平行）∴∠2=∠Ｃ(兩直線平行，同位角相等)例：如圖,AＢ∥ＤF,DE∥BC,∠1=6５°ADFBEC12ADFBEC123解:∵DE∥ＢC∴∠2＝∠1＝６5°(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∵AB∥ＤF∴∠3+∠２=1８0°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∴∠3=１80°－∠2=１80°-65°=１15°例：如圖，直線ＡB,CD分別和直線MN相交于點(diǎn)Ｅ，F(xiàn)，EG平分∠ＢＥN,FＨ平分∠DFN．若AＢ∥ＣＤ,你能說明EG和ＦＨ也平行嗎?錯(cuò)解：∵EG平分∠BEＮ,∴∠ＢＥG=∠ＢEN.同理，∵ＦH平分∠ＤFN，∴∠DFH=∠DFN.又∵AB∥CD,∴∠BEN=∠DＦN；從而∠BEG=∠DＦH．∴ＥG∥FH.錯(cuò)解分析：在復(fù)雜的圖形中對的地找出同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，是運(yùn)用平行線的鑒定或性質(zhì)的前提.認(rèn)清一對同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是弄清截線和被截線，截線就是它們的公共邊，其余兩條邊就是被截線．而∠BEG和∠ＤFＨ不是直線ＥＧ,ＦH被某條直線所截得的同位角,∴由∠BＥG=∠DＦH不能鑒定EG∥FH.正解：∵EＧ平分∠BＥN,∴∠ＢEG＝∠ＧEN=∠BEＮ，同理，∵ＦＨ平分∠DFＮ,∴∠DFH=∠HFN=∠DFN,又∵AＢ∥ＣD,∴∠BEＮ=∠ＤFＮ，從而∠GEＮ=∠HFN.而∠GＥN,∠HFN是直線ＥG，F(xiàn)H被直線MＮ所截得的同位角,∴EG∥FＨ.例：如圖,△AＢC中,已知∠1+∠2＝１8０°,∠３＝∠B,試判斷ＤE與BC的位置關(guān)系,并說明理由.錯(cuò)解：∵∠1+∠２＝1８0°，∴ＥF∥AB.∴∠3+∠BＤE=180°．∵∠3=∠B,∴∠B＋∠BDE=１80°．∴ＤE∥BC.錯(cuò)解分析:由∠１+∠2=１80°，不能得到EＦ∥AＢ.雖然∠1和∠２是由直線EF和AB被直線DC所截得的角,但由于它們不是同旁內(nèi)角，∴盡管∠1＋∠2=180°，也不能得到EF∥AB．正解:∵∠1=∠4，∠1+∠2=１8０°,∴∠2＋∠4=１８0°.∴ＥＦ∥DB(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）.∴∠３＋∠BDE＝180°（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)).∵∠3=∠B,∴∠B+∠ＢDE=180°．∴DE∥ＢＣ(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．5.3.２命題、定理、證明1、命題的概念:判斷一件事情的語句，叫做命題．2、命題的組成每個(gè)命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項(xiàng),結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．3、假如題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫真命題.假如題設(shè)成立,不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題．4、通過推理證實(shí)而得到的真命題叫做定理.5、在很多情況下,一個(gè)命題的對的性需要通過推理才干作出判斷,這個(gè)推理過程叫做證明．5．4平移１、平移變換①把一個(gè)圖形整體沿某一方向移動(dòng)，會得到一個(gè)新的圖形,新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.②新圖形的每一點(diǎn),都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的,這兩個(gè)點(diǎn)是相應(yīng)點(diǎn)③連接各組相應(yīng)點(diǎn)的線段平行且相等２、平移的特性:①通過平移之后的圖形與本來的圖形的相應(yīng)線段平行(或在同一直線上）且相等,相應(yīng)角相等,圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化.②通