初中數(shù)學人教版八年級上冊全等三角形1角的平分線的性質 全省一等獎

《角的平分線的性質》（第2課時）教學案例實錄與評析評析：道真縣玉溪鎮(zhèn)中心學校胡軍執(zhí)教：遵義縣第六中學李祖琴教學內容解析：本節(jié)課是人教版義務教育課程標準實驗教科書八年級數(shù)學上冊第十二章“全等三角形”第3節(jié)“角平分線的性質”第2課時的內容。在此之前第1課時學習的角平分線的尺規(guī)作圖，這為本節(jié)課學習角平分線的性質做好了鋪墊；本章前面學習的全等三角形的有關知識，為本節(jié)課證明角平分線的性質創(chuàng)造了條件；本節(jié)課對角平分線性質的探究為今后學習圖形對稱、等腰三角形奠定了基礎；對角平分線性質的證明為學生學會思考問題，注重書寫格式，清楚地表達思考的過程提供了方法，使學生體會證明的必要性；角平分線性質的應用為證明線段相等、角相等開辟了新的途徑。教學重、難點基于對本節(jié)課教學內容的分析，本節(jié)課的重點定為：角平分線性質的理解和應用；難點是：探究角平分線的性質及文字命題的論證。學習目標知識與技能：1.掌握“角平分線線上的點到角的兩邊距離相等”這一的性質；2.能運用“角平分線線上的點到角的兩邊距離相等”這一性質解決簡單的幾何問題；3.初步學會將文字語言轉化為圖形和符號語言并按步驟進而證明，提高分析問題及邏輯推理能力。過程與方法：通過實驗探究活動，經歷“角平分線上的點到角的兩邊距離相”這一性質的發(fā)現(xiàn)和證明過程。情感態(tài)度與價值觀：通過學習，體驗獲取數(shù)學知識的成就感；滲透從不同的側面認識事物的辯證思維方法。教學過程實錄及評析：一、創(chuàng)設情境、導入新課

師（多媒體展示）問題情境：如圖1，在公路和鐵路交叉所成的角平分線上有一空曠場地，市政府決定利用此空曠地投資修建一個批發(fā)市場，那么這個批發(fā)市場到公路和鐵路的距離哪個更近？生：有的回答“一樣近”。

師：為什么會“一樣近”？本節(jié)課我們就帶著這個問題走進今天的學習內容。

板書：角平分線的性質。

評析：教師試圖通過創(chuàng)設確定在公路和鐵路交叉所成的角平分線上有一空曠場地批發(fā)市場（點）到公路和鐵路（角的兩邊）的距離關系為問題情境引出“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”（“一樣近”）的結論，使學生體驗到理論來自實際的需要，從而引導學生對學習本課新知識產生強烈的求知欲。從教學的理念上看這個問題情境的設置體現(xiàn)了新課程從實際生活引入數(shù)學學習材料，讓學生感受數(shù)學來自生活的教學理念。但從數(shù)學學科特點看，課堂上沒有從角平分線性質的本質特征（一是角平分線上任一點到角的兩邊的距離（兩條線段）的存在，二是這兩條線段的數(shù)量關系是相等）給學生造成某種數(shù)量關系的認知沖突，學生只是簡單答成“一樣近。究其原因是因為過于關注形式，淡化了數(shù)學的本質。在課堂教學中，創(chuàng)設的問題情境要蘊含數(shù)學知識的本源，抓住數(shù)學知識本源和數(shù)學思想方法，與新課程理念所倡導的理念有機整合，糾正“去數(shù)學化”傾向，還數(shù)學教學本來面目！

二、實驗探究、學習新知

活動一：折紙實驗。

師：不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。你有什么辦法？

生：對拆。

師：再打開紙片，看看折痕與這個角有何關系？（讓五個學生上講臺演示自己的活動成果）。

眾生：角平分線。

評析：活動一的教學目的是讓學生通過折紙實驗初步感知“角平線上的點到角的兩邊距離相等”這一事實。但是，此活動只讓學生折出角平分線是一個不完整的活動，學生在折紙過程中沒有達到實驗探究的效果。教科書中通過折紙活動得到“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”的結論是由如圖2所示通過兩次折紙得到的。這里只完成了第一次。而第二次是再折出一個直角三角形并展開后會出現(xiàn)兩條折痕，這兩條折痕的數(shù)量關系如何，此時沒有體現(xiàn)出來。至于在第二種折法中再折一次，又會出現(xiàn)兩條折痕，而且這兩條折痕是等長的，這種方法可以做無數(shù)次，所以這種等長的折痕可以折出無數(shù)確被教師忽略了（即角平分線上的點的任意性），從而導致教學過程變成了信馬由韁的活動，學生在“蒙”和“碰”中前行，漫無目的。問題產生的主要原因是教師沒有領悟探究角平分線的性質折紙實驗的本質是首先尋找到角的兩邊距離等長的兩條折痕，教學抓不住“本質”就會變得無的放矢。（注：在課堂上確有學生折出直角三角形來了，可惜教師沒有發(fā)現(xiàn)或被忽視。）

活動二：探究、猜想角平分線的性質

探究步驟：

1.如圖3，在所折的折痕上取點的三個不位置，分別過點作，，點、為垂足。

2.測量、的長。

3.將三次數(shù)據填入下表：測量次數(shù)的長的長與的數(shù)量關系第一次

第二次

第三次

4.觀察每次測量結果,猜想線段與的有怎樣的數(shù)量關系，寫出結論：

生：按老師的要求獨立完成實驗探究（過程略）。

師：從上面的活動你得出什么結論？

生：每次測量出的線段與一樣長。

師：其他同學是不是都是這樣？

眾生：是。

師：由此你能得出什么猜想？

生：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。

評析：雖然學生對“角平分線”的性質給出了教師期望的比較完美的猜想結果，但從課堂教學的過程看這絕不是學生在理解和感悟的基礎上給出的。學生的回答可能基于兩個原因：一是學生確實通過活動二得到“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”的猜想；二是學生可能受學習“角平分線”的畫法和折紙實驗的啟發(fā)，從而產生了聯(lián)想；三是學生可能在課前進行了預習，從教科書上直接得到。從課堂教學的實際效果看，“讓學生經歷“角平分線上的點到角的兩邊距離相”這一性質的發(fā)現(xiàn)過程這一目標未能得到有效的落實。

師：如何證明“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”這一猜想？

活動三：驗證猜想

師板書命題：“角平分線上的點到角的兩邊的距離相等”。

師（多媒體展示）：證明一個幾何中的命題有以下步驟：

1.根據題意，畫出圖形；

2.根據題設、結論，結合圖形，寫出已知、求證；

3.經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明的過程。

師：結合圖3思考：命題的已知、求證是什么？

生1：命題的已知、求證是：角平分線上的點到角的兩邊位置相等。

生2：作的是90°的角。

師對學生的回答顯得無奈，只好再作提示：首先要明確什么是已知，什么是求證？并用多媒體直接展示：

已知：1.角平分線上的點；2.點到角的兩邊的距離。

求證：這一點到角的兩邊距離相等。

師提示用數(shù)學語言表示為：

已知：如圖3，平分，點在上。

生：于點，于點。

師肯定：這就是把已知條件中的文字語言轉化為數(shù)學語言。

師：求證怎樣寫？

生：求證：

師：你們能不能證明？

生齊答：能。

師：請同學們證明（并請一學生到黑板上板演）

生：獨立證明。

一學生板演實錄：

證明：如圖4，∵平分。

∴。

又∵于點，于點。

∴

在△和△中。

，，。

∴△≌△?！唷?/p>

師：巡視、指導學生完成證明，并有針對性的講評（略）

師：證明一個幾何命題的步驟有那些？

生答：寫出已知、求證并證明。

師：怎樣結合圖3用數(shù)學語言來表述角的平分線的性質？

生答師板書：符號語言：如圖3，∵是的平分線，點在上，于點，于點?！?。

評析：教師試圖通過活動三引導學生對如何證明“猜想“，并展開探究，呈現(xiàn)角平分線“性質”的形成過程。從教學的視角看，這環(huán)節(jié)有點亂，表面上教學理念新穎，數(shù)學活動調動了學生學習的積極性，課堂上學生的參與度高，氣氛熱烈，教學民主，學生的主體地位得到了很好的體現(xiàn)。但從數(shù)學的視角看，這這環(huán)節(jié)的教學沒有抓住證明命題的本質，特別是當學生的思維“離經叛道”（如學生答成：命題的已知、求證是：“角平分線上的點到角的兩邊位置相等”；“作的是90°的角”）時，教師顯得無奈。事實上，探究角平分線的性質及文字命題的論證是本課的難點，要突破分析證明命題的途徑這一難點需要在學習中逐步培養(yǎng)學生的分析能力，對于文字命題要盡量幫助學生分析并畫好了圖形，結合圖形寫出已知、求證及證明過程，

三、學以致用、鞏固新知

師：應用這個性質，必須抓做什么條件？

生：角的平分線和角平分線上的點到角的兩邊的距離。

師（多媒體展示）練習題：

1.判斷：

⑴如圖5，為的平分線，則。()

⑵如圖6，于點，于點，則。（）

⑶是的平分線，在上取一點到的距離等于，則到的距離為。（

）

注：此題教師采用的方法是教師問，學生答的形式，過程略。

2.回答“問題情境”中提出的問題。

生：批發(fā)市場到公路和鐵路的距離相等。

3.實踐應用：如圖7：在△中，，是的平分線，于，在上，。

求證：。

此題抽兩個學生上黑板板書解題過程。

生1：證明：∵，∴?！?，∴。

∵是的平分線，∴。

在△和△中，

，，?！唷鳌铡鳌！唷?/p>

生2：證明：∵是的平分線，∴。

又∵，∴，

∵，∴。

在△和△中

，，?！唷鳌铡鳌?/p>

∴。

以下證明與生1相同，略。

師：講評（過程略）

師：比較上面兩種證法，哪種方法簡單？

生：第一種。

4.鏈接中考

如圖8，在△中，，平分，于，若，，。

求△的周長。

此時因教學時間關系教師只作了提示，要求學生課后完成。

評析：此環(huán)節(jié)主要意圖是通過課堂練習落實能運用“角平分線線上的點到角的兩邊距離相等”這一性質解決簡單的幾何問題這一知識與技能目標。從課堂教學過程觀察，學生在實踐應用過程中還有不少學生象生2的解答哪樣，沒有用好本課所學的性質。

四、暢談收獲、布置作業(yè)

師：這節(jié)課從知識和方法的角度你有什么收獲呢？與你的同伴進行交流。

生：活動交流，暢談收獲，并歸納出本節(jié)收獲是：

在知識上：理解了“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”這一性質。

在方法上主要學習了：

⑴運用觀察、測量、猜想、驗證等方法獲得新知識；

⑵解決角平分線的問題的常用方法:從角平分線上的一點向角的兩邊作(找）垂線段。

⑶證線段相等常用方法：①全等，②角平分線的性質。

作業(yè)：略。

綜述：在本節(jié)課的教學中，教師試圖通過三個數(shù)學活動，引導學生把“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”這一性質揭示出來。通過實驗探究的學習和建構，使學生理解和掌握角平分線的性質。但從課堂教學實際情境看，未能達到教師的教學預設。主要表現(xiàn)以下不足：

1.未能有效的使用教材完成教學任務

本節(jié)教材為學生的學習活動提供的基本線索是：先介紹作一個角的平分線的方法，再由折紙活動即對的對折，得到第一條折痕是的平分線，再折出一個直角三角形，折疊形成的兩條折痕是角的平分線上一點到的兩邊的距離，猜想這兩個距離相等，通過利用三角形全等證明猜想，得到角平分線的兩條性質，并運用這兩條性質進行證明。從執(zhí)教教師對教學內容的安排上，教師將本節(jié)內容用三課時的時間來完成，即第一課時學習尺規(guī)作圖，第二課時就是本節(jié)內容，第三課時學習另一條性質。這樣安排教學時間是否合理，值得考慮。從本課教學過程看，學生折紙時只折出角的平分線，然后在所折的折痕（角平分線）上取點的三個不位置，分別過點作，，再通過測量猜想出角平分線上的點到角的兩邊距離相等這一結論。這一改編將角平分線的兩條性質割裂，學生準確理解和運用角平分線的性質并沒有得到實現(xiàn)。究其原因是教師領悟教材深度不夠，沒有抓住角平分線的性質的本質特征組織教學。這一案例說明了教師只有用心鉆研教材，才能準確地理解教材的編寫意圖，把握所教授內容中的數(shù)學本質，從而創(chuàng)造性地使用教材。并在此基礎上設計有效的數(shù)學活動，將教材中的知識重新“激活”，實現(xiàn)書本知識與人類生活世界的溝通，與學生經驗、成長需要的溝通，與發(fā)現(xiàn)、發(fā)展知識的人和歷史的溝通，使知識恢復到鮮活的狀態(tài)，呈現(xiàn)出生命的活力。

2.未能組織有效的教學活動落實教學目標

組織有效教學活動，是為了有效地落實教學目標，從本節(jié)課學生學習活動的效果觀察，在多個環(huán)節(jié)的活動中學生知其然不知其所以然，教學目標未能有效地得到落實。如在活動三證明角平線的性質時，如何將文字語言轉化為數(shù)學語言，基本上是教師直接給予的，學生并沒有感受到證明的必要性，沒有達到在數(shù)學活動中進行積極思考和主動建構，使數(shù)學活動變成了無效活動。其根本原因是教師沒有抓住所教授內容的數(shù)學本質，數(shù)學活動不能圍繞揭示數(shù)學本質而展開，教師過于追求活動的“花樣翻新”，過于追求課堂的“熱熱鬧鬧”，出現(xiàn)了華而不實、偏離主題的現(xiàn)象，致使數(shù)學教學單薄而不厚重。因此，數(shù)學活動不但要注重形式，更要注重活動的實質。那么，怎樣的數(shù)學活動才是有效的呢？有效的數(shù)學活動應該是以“揭示數(shù)學本質，發(fā)展思維能力”為目標的，是能夠激發(fā)學生進行火熱的思考和主動的探究的，是在教師的引導下，學生能夠深刻地感悟和揭示數(shù)學本質、并自主地完成知識建構的。這就要求教師在設計數(shù)學活動時，需要注意以下幾點：

一是數(shù)學活動要有數(shù)學內容。新課程以人的發(fā)展為本，提倡向學生提供充分從事數(shù)學活動的機會，組織他們主動探索和揭示所學內容的數(shù)學本質，并掌握形式化的數(shù)學知識。因此，數(shù)學課堂應當緊緊圍繞教學內容，調動學生原有的經驗，給學生以空間和時間，讓他們積極有效地探索和解決新的問題，從而獲取新的認識。

二是數(shù)學活動要讓學生有數(shù)學思考、有發(fā)展變