高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊分層練習(xí)8.4空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系C（含答案）

試卷第=page55頁，共=sectionpages66頁試卷第=page66頁，共=sectionpages66頁一、單選題1．邊長為2的等邊和有一內(nèi)角為的直角所在半平面構(gòu)成的二面角，則下列不可能是線段的取值的是（

）A． B． C． D．2．在邊長為1的正方體中，，，分別是棱，，的中點，是底面內(nèi)一動點，若直線與平面沒有公共點，則三角形面積的最小值為（

）A．1 B． C． D．3．在體積為的直三棱柱中，為銳角，且，，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．4．在長方體中，、，、分別為棱、的中點，點在對角線上，且，過點、、作一個截面，該截面的形狀為（

）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形5．已知四面體的所有棱長都相等，其外接球的體積等于，則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（

）①四面體的棱長均為2②四面體的體積等于③異面直線與所成角為A．0 B．1 C．2 D．36．如圖，已知等邊三角形中，，為的中點，動點在線段上（不含端點），記，現(xiàn)將沿折起至，記異面直線與所成的角為，則下列一定成立的是A． B． C． D．二、多選題7．如圖，正方體的棱長為4，則下列命題正確的是（）A．兩條異面直線和所成的角為45°B．若分別是的中點，過三點的平面與正方體的下底面相交于直線，且，則C．若平面，則平面截此正方體所得截面面積最大值為D．若用一張正方形的紙把此正方體禮品盒完全包住，不將紙撕開，則所需紙的最小面積是1288．已知正方體的棱長為1，O是底面的中心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．O到平面的距離為B．直線OB與平面所成角的正切值為C．異面直線與BO所成角的大小為D．若點M是平面內(nèi)的一點且，則的最小值為三、填空題9．空間給定不共面的A，B，C，D四個點，其中任意兩點間的距離都不相同，考慮具有如下性質(zhì)的平面：A，B，C，D中有三個點到的距離相同，另一個點到的距離是前三個點到的距離的2倍，這樣的平面的個數(shù)是___________個10．如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，過點，E，F(xiàn)的平面記為，則下列說法中正確的序號是___________.①平面截直四棱柱所得截面的形狀為四邊形②平面截直四棱柱所得截面的面積為③二面角的正切值為④點B到平面的距離與點D到平面的距離之比為1∶311．如圖，在直三棱柱中，，D，E分別為，分如中點，則過點A，D，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線的長為__________．12．在棱長為的正方體中，分別為的中點，為正方體棱上一動點.下列說法中所有正確的序號是___________①在上運動時，存在某個位置，使得與所成角為；②在上運動時，與所成角的最大正弦值為；③在上運動且時，過三點的平面截正方體所得多邊形的周長為；④在上運動時（不與重合），若點在同一球面上，則該球表面積最大值為.四、解答題13．在四面體ABCD中，H、G分別是AD、CD的中點，E、F分別是AB、BC邊上的點，且.(1)求證：E、F、G、H四點共面；(2)若平面EFGH截四面體ABCD所得的五面體的體積占四面體ABCD的，求k的值.14．如圖，在正方體中，是的中點，畫出過點，的平面與平面的交線，并說明理由.15．如圖，在四棱錐中，底面為邊長為的正方形，.（1）求證：；（2）若，分別為，的中點，平面，求三棱錐的體積．16．用斜二測畫法得到的多邊形的直觀圖為多邊形，試探索多邊形與多邊形的面積之間有無確定的數(shù)量關(guān)系.答案第=page2525頁，共=sectionpages2626頁答案第=page2626頁，共=sectionpages2626頁參考答案：1．D【解析】根據(jù)題意,變換直角三角形的空間位置關(guān)系.在不同位置情況下,結(jié)合兩個平面形成的二面角度數(shù)及各邊長度關(guān)系,即可求得線段的取值.【詳解】(1)當(dāng)時,空間位置關(guān)系如下圖所示:過C作,且則即為二面角的平面角所以由題意可知,在中,由余弦定理可知代入可得而所以(2)當(dāng)時,空間位置關(guān)系如下圖所示:過C作,且則即為二面角的平面角所以由題意可知,在中,由余弦定理可知代入可得而所以(3)當(dāng)時,空間位置關(guān)系如下圖所示:過作交于.過作,且則即為二面角的平面角所以由題意可知,,在中,由余弦定理可知代入可得所以綜上可知,線段的取值為,和,在四個選項中,不能取的值為故選:D【點睛】本題考查了平面與平面的位置關(guān)系,根據(jù)二面角大小結(jié)合余弦定理求線段長度,空間的位置關(guān)系的分類討論,對空間想象能力要求較高,屬于難題.2．D【分析】根據(jù)直線與平面沒有公共點可知平面.將截面補全后,可確定點的位置,進而求得三角形面積的最小值.【詳解】由題意,,分別是棱,,的中點,補全截面為,如下圖所示:因為直線與平面沒有公共點所以平面,即平面,平面平面此時位于底面對角線上,且當(dāng)與底面中心重合時,取得最小值此時三角形的面積最小故選:D【點睛】本題考查了直線與平面平行、平面與平面平行的性質(zhì)與應(yīng)用,過定點截面的作法,屬于難題.3．A【分析】借助直三棱柱側(cè)棱垂直底面，即為三棱柱的高，利用面積公式和棱柱體積公式求出，再根據(jù)為銳角，確定角度，從而準(zhǔn)確確定余弦值，利用余弦定理求出長，從而使用正弦定理求出，最后利用等角定理求出異面直線夾角的正弦值即可.【詳解】，解得，又為銳角，所以，所以，由余弦定理得，，所以，由正弦定理得，所以，解得，，又因為與平行，所以異面直線與所成角的正弦值即為與所成角的正弦值，即為.故選：A.4．C【分析】找到截面與長方體的平面的交線，判斷為五邊形.【詳解】如圖所示，延長、，使，連接、，∵、、，∴、，∵、分別為棱、的中點，∴，∴，∵，又、、三點共線，∴、、三點共線，∴在截面上，延長、，使，連接，使，∴在截面上，連接、，∵，且∴，∴且=，又為中點，、、三點共線，∴、、三點共線，∴截面為五邊形，故選：C．5．C【分析】由題意可知，四面體為正四面體，作圖，根據(jù)勾股定理，寫出棱長與外接圓半徑之間的等量關(guān)系，解得棱長，根據(jù)體積公式，可得體積，建系，利用空間向量的夾角公式，求得夾角余弦值，可得答案.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：則點為正四面體的外接球的球心，則，則外接球的體積，解得，對于①，設(shè)四面體的棱長為，在等邊中，，，在中，，則，在中，，則，即，解得：，即，解得，故正確；對于②，四面體的體積，故正確；對于③，以點為原點，分別以所在直線為軸，以平行于過的直線為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系：則，，，，可得，設(shè)異面直線與所成角為，則，即，故錯誤；故選：C.6．A【詳解】設(shè)正三角形的邊長為，如圖，在等邊三角形中，過作的垂線，垂足為，過作，垂足為，因為，則，且，故，所以，，故，又.將沿折起至，則.因，，，故平面，因，故平面，平面，所以，又為異面直線、所成的角，而，因，故，故選A.【點睛】折疊過程中空間中角的大小比較，關(guān)鍵是如何把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，同時弄清楚在折疊過程各變量之間的關(guān)系（可利用解三角形的方法來溝通），此類問題為難題，有一定的綜合度.7．BCD【分析】A選項，找到異面直線所成的角，并求出角度；B選項，畫出圖形，找到直線和P點，求出PB的長；C選項，畫出平面截此正方體所得面積最大的截面，求出面積；D選項，畫出圖形，找到所需紙的面積最小的圖形，求出面積【詳解】對于選項A：連接，，，∵∥，∴∠或其補角為異面直線和所成的角，又∵＝＝＝，∴∠＝，故A不正確；對于選項B：連接并延長交于點，連接即為直線即由△和△全等得:∴為的中點又∵∥∴∴故B正確；對于選項C：如圖取的中點，并依次連接，得到正六邊形，此時可證明出平面，且平面截此正方體所得正六邊形截面面積最大，，故C正確；對于選項D：如圖①為棱長為4的正方體禮品盒，先把正方體的表面按圖所示方式展成平面圖形，再把平面圖形盡可能拼成面積較小的正方形，如圖②(圖中數(shù)字“1”表示正方體的4個側(cè)面)所示，由圖知正方形的邊長為8，其面積為128，故D正確．故選：BCD8．ABC【分析】過O作的平行線，交于點E，即可得到O到平面的距離即E到平面的距離，過E作于點F，求出，即可判斷A；在平面內(nèi)作于點H，連接HB，即直線OB與平面所成的角，利用銳角三角函數(shù)計算即可判斷B，即與BO所成角，連接，求出，即可判斷C；連接交平面于點，連接，即可得到動點的軌跡，從而判斷D；【詳解】解：對于A，如圖1，過O作的平行線，交于點E，則O到平面的距離即E到平面的距離.連接，過E作于點F，易知平面，所以，又，，所以平面，又，所以平面，易得，故選A正確.對于B，在平面內(nèi)作于點H，連接HB，如圖2，則平面，又平面平面，故即直線OB與平面所成的角.在中可求得，故選項B正確.對于C，易知，所以異面直線與BO所成的角即直線與BO所成的角，所以即與BO所成角，連接，易知，，，所以，所以，即異面直線與BO所成角的大小為，故選項C正確.對于D，連接交平面于點，則易知平面，且，連接，則，所以點M的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.取的中點N，連接MN，則有.易得為正三角形，且圓內(nèi)切于，故，所以，故選項D不正確.故選：ABC9．32【分析】按照四個點的位置不同分類討論，即可求解【詳解】首先取3個點相等，不相等的那個點由4種取法；然后分3分個點到平面的距離相等，有以下兩種可能性：（1）全同側(cè)，這樣的平面有2個；（2）不同側(cè)，必然2個點在一側(cè)，另一個點在一側(cè)，1個點的取法有3種，并且平面過三角形兩個點邊上的中位線，考慮不相等的點與單側(cè)點是否同側(cè)有兩種可能，每種情況下都唯一確定一個平面，故共有6個，所有這兩種情況共有8個，綜上滿足條件的這樣的平面共有個，故答案為：3210．②③④【分析】作出截面即可判斷①；計算出截面各邊長度，即可求出面積判斷②；圖中易作出EF的垂面得到二面角的正切值，即可判斷③；連DB與EF交于G，易得D、B到G的距離比，即可判斷④.【詳解】如下圖，延長DA、DC交直線EF于點P、Q，連接D1P、D1Q，交棱A1A、C1C與點M、N，連接D1M、ME、D1N、NF，可得五邊形，故①錯誤；計算可得截面五邊形各邊長度分別為D1M=D1N=，ME=EF=FN=，因此五邊形D1MEFN可分成等邊三角形D1MN和等腰梯形MEFN，可求得面積分別為和，則五邊形D1MEFN的面積為，故②對；連DB與EF交于G，可得二面角的平面角為，可求出，而，所以，故③對；易得BG：DG=1∶3，所以點B、D到平面的距離之比為1∶3，故④對.故答案為：②③④.【點睛】(1)作幾何體的截面時，關(guān)鍵是要找到兩個公共點，連接即可得交線；(2)多邊形的面積沒法直接求時，可分割成常見圖形求；(3)由二面角的定義可知，和公共棱垂直的平面與兩面的交線所成的角就是二面角的平面角；(4)線段與平面相交時，線段兩端點到平面的距離比等于它們到交點的距離比.11．【分析】首先根據(jù)平行線將平面進行擴展得到過點A，D，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線為，確定點為線段的三等分點靠近的點，最后在直角三角形中求得線段的長度即可.【詳解】由題意將直三棱柱補成一個直四棱柱,取中點，連接,顯然，取中點，連接，則，所以A，D，F(xiàn)，E四點共平面，連接與的交點為，連接所以過點A，D，F(xiàn)，E的截面與三棱柱的側(cè)面的交線為，因為，且,所以點為線段的三等分點靠近的點，因為，所以，又D為中點，所以，因為面,所以，則.故答案為：.【點睛】本題主要考查截面問題，如需要將平面進行擴展，一般有兩種方法，一是通過做平行線進行擴展，一種是找相交直線確定交線上的點進行擴展，在備考中注意多總結(jié).12．②④【分析】通過證明平面可知，得①錯誤；取中點，根據(jù)可知當(dāng)最大時，最小，則最大，可確定當(dāng)與或重合時最大，由此計算知②正確；作出平面截正方體所得的截面圖形，依次計算各邊長可知③錯誤；根據(jù)四點共球面可知該球即為三棱錐的外接球，由可知當(dāng)與重合時，球的半徑最大，由此可求得④正確.【詳解】對于①，連接，平面，平面，；四邊形為正方形，；又，平面，平面，又平面，，即與所成角恒為，①錯誤；對于②，取中點，連接，，分別為中點，，又平面，平面，與所成角即為，，當(dāng)最大時，最小，又，當(dāng)最大時，最小，當(dāng)與或重合時，取得最大值，的最小值為，②正確；對于③，延長交于點，連接交于；延長交于點，連接交于；則過三點的平面截正方體所得多邊形即為五邊形；取中點，連接，，，，即，同理可得：，；，，，五邊形的周長為，③錯誤；對于④，若點在同一球面上，則該球即為三棱錐的外接球，的外接圓半徑，三棱錐外接球半徑，又的最大值為，，該球表面積最大值為，④正確.故答案為：②④.【點睛】思路點睛：本題考查立體幾何中的動點問題的求解，涉及到線線角的求解、正方體截面問題、三棱錐的外接球表面積的求解問題；求解此類問題的基本思路是根據(jù)所求量確定最值點，再結(jié)合線線角、球的表面積的求解方法確定最值.13．(1)見解析(2)【分析】（1）利用平行的傳遞性證明即可；（2）延長，則必交于點，利用相似比求解即可【詳解】（1）連接，因為H、G分別是AD、CD的中點，所以，又，所以，所以，所以E、F、G、H四點共面；（2）延長，則必交于點，證明如下：設(shè)，因為平面，所以平面，同理平面，又平面平面，所以，所以，則必交于點，取的中點，連接，因為，所以，又，所以，所以，又，所以，所以，所以，即，所以，，所以，，所以，即，所以，即，所以，解得或，又因為，所以【點睛】四點共面問題是立體幾何中?？嫉膯栴}之一，解決的方法是結(jié)合圖象證明這四點成的兩條線平行，通過兩直線平行，從而說明四點共面14．見解析【解析】取的中點，連接，所以過點的平面與平面的交線為.【詳解】如圖，取的中點，連接.又因為是的中點，所以.