研究生統(tǒng)計(jì)學(xué)講義第2講第3章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述課件

第3章定量資料的統(tǒng)計(jì)描述一、正態(tài)分布

(P36)生物學(xué)中所關(guān)心的很多連續(xù)變量來(lái)自鐘形曲線，或者能夠轉(zhuǎn)換為這類曲線．見(jiàn)圖曲線族的特性是由AbrahamdeMoivre(1667-1754)，PierreSimon,MarquisdeLaplace(1749-1827)和KarlFriedrichGauss(1777-1855)發(fā)展起來(lái)的．事實(shí)上，這個(gè)分布有時(shí)稱為高斯分布（Gaussiandistribution），盡管形容詞“正常的”（normal）首先由SirFrancisGalton在1877年創(chuàng)造，更多的是形式上使用．

1.正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的形式為

這個(gè)密度函數(shù)肯定不簡(jiǎn)單！是個(gè)壞消息．為求累積概率分布，需要對(duì)f(x)積分．但是不存在f(x)的不定積分．那就意味著人們不能利用微積分基本公式去計(jì)算所需要的積分．于是用一些精確值近似代替曲線下的實(shí)際面積，造出正態(tài)分布表．于是用一些精確值近似代替曲線下的實(shí)際面積，造出正態(tài)分布表．

下圖給出具有平均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ正態(tài)密度函數(shù)圖，注意它有幾個(gè)特點(diǎn)．這個(gè)正態(tài)密度函數(shù)f(x)關(guān)于平均值x=μ對(duì)稱（點(diǎn)劃垂線）．μ稱為位置參數(shù)，在曲線下μ－σ和μ+σ之間面積近似總面積的2/3（68%），簡(jiǎn)而言之，它在平均值μ的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)．這是在圖中點(diǎn)劃垂線之間的面積．在曲線下μ的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，即μ－2σ和μ+2σ之間面積近似為總的95%（這是在圖中實(shí)垂線之間的面積），在曲線下μ的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)，即μ－3σ和μ+3σ之間面積近似為總的99%．

幸運(yùn)的是，這個(gè)曲線族能夠轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線（standardnormalcurve），其平均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1．曲線下的面積已經(jīng)被制成表格，通常稱為u表（utables），u表能用來(lái)確定任何正態(tài)分布的CDF值．(累積分布函數(shù)值即P224附表3)2．標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)

(–∞<x<∞)(3.3)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量u與一般均數(shù)為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)變量x的關(guān)系是：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量u=(x－μ)/σ的值稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)(離)差。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的分布函數(shù)記為Ф(u)：因?yàn)槿魏握龖B(tài)隨機(jī)變量都能被標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)的累積分布函數(shù)能用來(lái)求概率（正態(tài)曲線下的面積），參見(jiàn)附表3．補(bǔ)例1設(shè)智商測(cè)驗(yàn)得分是具有均數(shù)100，標(biāo)準(zhǔn)差為10的正態(tài)分布．（一些新穎的智商測(cè)驗(yàn)聲稱具有這些參數(shù)）．問(wèn)：1．隨機(jī)抽取一個(gè)在90以下得分的概率是多少？解：我們必須求P(X<90)=F(90)，得分用下圖左邊陰影部分表示，沒(méi)有復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)就無(wú)法計(jì)算F(90)．左邊μ=100，σ=10，X<90右邊μ=0，σ=1，u<－1.0，注意刻度不同2．得分在90到115分之間的概率是多少？

解：我們希望找出下圖左圖陰影部分的面積

=0.9332-0.1587=0.77453．得分為125分或更高的概率是多少？

解：要求P(X≥125)，見(jiàn)下圖．

=1-0.9938=0.0062只有0.62%的得分將是125或更高．

圖3.16左邊μ=100，σ=10，X≥125右邊μ=0，σ=1，u≥2.5，注意刻度不同補(bǔ)例2假設(shè)女高血壓患者舒張壓大約集中在100mmHg，標(biāo)準(zhǔn)差是16mmHg，血壓是正態(tài)分布．求：

1．P(X<90)2．P(X>124)3．P(96<X<104)4．求x，使P(X≤x)=0.95解1：使用

特別當(dāng)X=90時(shí)，于是查表3有P(X<90)=P(u<－0.625)=F(0.625)≈0.2660解2：當(dāng)X=124時(shí)，

P(X>124)=P(Z>1.5)=1－F(1.5)=1－0.9332=0.0668這意味著這些女高血壓患者舒張壓低于126.32mmHg大約有95%．

例3.1查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布u界值表，得雙側(cè)u0.05/2=1.96，它表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的取值小于-1.96的概率等于u值大于1.96的概率等于0.025，反之，u值大于-1.96而小于1.96的概率，即u的絕對(duì)值小于1.96的概率，等于1－2×0.025=0.95，記為：P(u<-1.96)=P(u>1.96)=0.025，P(-1.96<u<1.96)=0.95

以Ф(u)=α=0.05查附表3的橫標(biāo)目和縱標(biāo)目得出的數(shù)值取絕對(duì)值，得雙側(cè)0.10界值u0.10/2＝單側(cè)0.05界值u0.05＝1.65，它表示：P(u<-1.65)=P(u>1.65)=0.05，P(u>-1.65)=P(u<1.65)=0.95由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下對(duì)稱于0的區(qū)間面積相等：Ф(uα)=1－Ф(－uα)，Ф(uα/2)=1－Ф(－uα/2)，例3.2若已知健康女大學(xué)生血清總蛋白含量服從正態(tài)分布，均數(shù)μ=73.8g/L，標(biāo)準(zhǔn)差σ=3.9g/L，試估計(jì)168名健康女大學(xué)生血清總蛋白含量在72.0～78.6g/L范圍內(nèi)的人數(shù)。

x1=72.0g/L時(shí)，u1=(72.0－73.8)/3.9=－0.46

x2=78.6g/L時(shí)，u2=(78.6－73.8)/3.9=1.232.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下面積表（附表3）：u=－0.46時(shí)，在表的左側(cè)找到-0.4，在表的上方找到0.06，二者相交處為0.3228，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下，橫軸上u值小于－0.46的面積為Ф(－0.46)=P(U<－0.46)=32.28％，即標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量u值小于－0.46的概率為32.28％；同樣查得u=1.23時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線下，橫軸上u值小于1.23的面積為Ф(1.23)=P(U<1.23)=0.8907，即u值小于1.23的概率為89.07％。4.統(tǒng)計(jì)推斷和計(jì)算公式的推導(dǎo)中經(jīng)常應(yīng)用到的正態(tài)變量性質(zhì)

（1）相互獨(dú)立的正態(tài)變量的代數(shù)和仍為正態(tài)變量；常數(shù)與正態(tài)變量的乘積仍為正態(tài)變量；正態(tài)變量的線性函數(shù)仍為正態(tài)變量。（2）正態(tài)變量的和(差)的均數(shù)等于正態(tài)變量均數(shù)的和(差)；常數(shù)與正態(tài)變量乘積的均數(shù)等于常數(shù)與變量均數(shù)的乘積。（3）常數(shù)與正態(tài)變量乘積的方差等于常數(shù)的平方與正態(tài)變量方差的乘積；相互獨(dú)立的正態(tài)變量的和或差的方差都等于正態(tài)變量方差的和。5.對(duì)數(shù)正態(tài)分布若隨機(jī)變量X不服從正態(tài)分布，但X的對(duì)數(shù)(如lnX、lgX等)服從正態(tài)分布，則稱X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

二、頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖（P29）將觀察值分組，統(tǒng)計(jì)各組段的頻數(shù)，按一定的順序排列成表，稱為頻數(shù)分布表(frequencydistributiontable)。將頻數(shù)分布表繪制成圖，稱為頻數(shù)分布圖(frequencygraph)。編制頻數(shù)分布表，繪制頻數(shù)分布圖，都是整理資料的基本方法，可以提示資料的分布特征和分布類型，表達(dá)原始數(shù)據(jù)中所包含各種數(shù)量的分布規(guī)律，且便于發(fā)現(xiàn)特異值。有簡(jiǎn)捷方法計(jì)算平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。例3.1測(cè)得148名正常人糖（mmol/L）結(jié)果如下，試求頻數(shù)分布圖。493488483490454435412437334495……………………417500517503534546416520用途：1.揭示資料的分布特征和分布類型。2.便于進(jìn)一步計(jì)算統(tǒng)計(jì)指標(biāo)和分析處理。3.便于發(fā)現(xiàn)某些特大或特小的特異值。圖像：對(duì)稱、左偏、右偏。特征：集中、離散三、集中趨勢(shì)的描述（P30)

1、均數(shù)公式1.2作為樣本平均數(shù)的代數(shù)縮寫式就是：從（1.1）所示總體1，6，4，5，6，3，8，7，可以抽出56種容量為3的樣本，但是只有四個(gè)樣本均數(shù)與總體均數(shù)相同，即：

樣本和X3，X6，X74+3+85X2，X3，X46+4+55X5，X3，X46+4+55X8，X6，X47+3+55要使每一個(gè)樣本均數(shù)是μ的無(wú)偏估計(jì)．取決于樣本所含的值以及樣本容量的實(shí)際大?。覀兤谕靠赡芷骄档钠骄蹬c總體參數(shù)μ相等．事實(shí)上，這個(gè)定義就是總體均數(shù)的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)．如果把56種容量為3的樣本均數(shù)求出來(lái)，再求平均數(shù)的平均數(shù)，就得到平均值5，也即是總體均數(shù)μ，記得嗎？總體數(shù)量太大以至難以完全進(jìn)行調(diào)查，于是依靠單一樣本去估計(jì)或逼近總體特征2.中位數(shù)M(Median)中位數(shù)M是排序觀察值的中間值．當(dāng)一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列起來(lái)時(shí)，值的深度d=(n+1)/2，是它相對(duì)于極端值（末端）所在的位置．它不是由全部觀察值綜合計(jì)算出來(lái)的，而是由居中位置的觀察值所決定，因此它不受個(gè)別特小或特大的觀察值的影響，應(yīng)用范圍較廣。例3.410例由傷寒桿菌引起傷寒的患者潛伏期為6，8，11，12，14，15，16，21，29，34天，求中位數(shù)。因n=10，為偶數(shù)，居中的兩個(gè)位次為10/2=5，1+10/2=6，這兩個(gè)位次上的觀察值為14和15，(14+15)/2=14.5(天)，即為所求的中位數(shù)。

例3.5治愈9名脾虛泄瀉患兒所用天數(shù)分別為2，3，3，3，4，5，6，9，16，求中位數(shù)。因n=9，是奇數(shù)，居中的第(9+1)/2=5位次上的觀察值為4，即中位數(shù)為4天。3.百分位數(shù)Px(percentile)一種位置指標(biāo)。將n個(gè)觀察值從小到大依次排列，再把它分成100等份，對(duì)應(yīng)于第x%位次上的數(shù)值即第x百分位數(shù)，記為Px。用途：1.可用百分位數(shù)求醫(yī)學(xué)參考值范圍(referenceranges)或個(gè)體容許區(qū)間等統(tǒng)計(jì)量的界限考慮例3.6，平均數(shù)為=16.6，而中位數(shù)=14.5cm．假如說(shuō)X7被錯(cuò)誤地記為160而不是16的話，平均數(shù)會(huì)變成30cm，而中位數(shù)仍然保持=14.5cm．四、離散趨勢(shì)的描述(P33)

例下表給出兩個(gè)金槍魚樣本的重量(kg)度量，怎樣表現(xiàn)樣本之間的差異呢？樣本18.99.611.29.49.910.910.411.09.7兩樣本還具有相同的眾數(shù):9.9樣本之間的差異是以觀測(cè)值的分散或離散來(lái)表示，第一個(gè)樣本比第二個(gè)樣本包含有更多的信息，較之第二個(gè)樣本，第一個(gè)樣本的觀測(cè)值更集中于平均值，因此我們需要描述分散或離差的度量來(lái)反映其差別．樣本23.117.09.95.118.03.810.02.921.2極差（range）一組資料中最大值與最小值之差就稱為極差：極差=Xn－X1總體極差=XN－X1這里Xn和X1稱為樣本極差限度(samplerangelimits)．兩樣本的極差都反映出一些分散差別，但是極差是一個(gè)相當(dāng)粗略的估計(jì)，因?yàn)樗皇褂昧藘蓚€(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，某些時(shí)候還取決于樣本容量．隨樣本容量的增大，我們會(huì)預(yù)料到最大的和最小的觀測(cè)值會(huì)變得更加極端，即便總體極差不變，但是樣本極差也會(huì)變大．樣本最大值最小值與總體最大最小值不同．所以樣本極差低估了總體極差，屬于有偏估計(jì)．公式利用樣本平方和的計(jì)算公式計(jì)算樣本方差的公式是返回例中的樣本2，∑Xi=92，∑Xi2=1318.92，n=9，

所以標(biāo)準(zhǔn)差SD（StandardDeviation）公式更自然的公式是標(biāo)準(zhǔn)差，它是方差的正平方根：再考慮金槍魚的例，樣本1：s1=0.80kg，樣本2：s2=7.06kg，清楚反映了第2個(gè)樣本比第1個(gè)樣本變異較大五、容許區(qū)間與參考值范圍

1.容許區(qū)間(tolerancelimitofpopulation)指的是總體中絕大多數(shù)個(gè)體觀察值可能出現(xiàn)的范圍。嚴(yán)格說(shuō)，總體中100(1－α)%個(gè)體某種指標(biāo)的所在范圍，稱為該指標(biāo)的100(1－α)%容許區(qū)間；(1－α)稱為個(gè)體某指標(biāo)值落入該范圍的可信度。1)．雙側(cè)(1－α)容許區(qū)間按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量值的分布規(guī)律P(－uα/2<u<uα/2)=1－α有從而P(μ－uα/2σ<x<μ+uα/2σ)=1－α，(3.27)

(μ－uα/2σ，μ+uα/2σ)，縮寫為μ±uα/2σ(uα/2表示雙側(cè)u界值)2)．單側(cè)(1－α)容許區(qū)間按標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量值的分布規(guī)律：P(u>－uα)=1－α，P(u<uα)=1－α

P(x>μ－uασ)=1－α,P(x<μ+uασ)=1－α(3.29)x>(μ－uασ)，或x<(μ+uασ)(3.30)2.醫(yī)學(xué)參考值范圍

常用大樣本資料的和s分別作為μ和σ的估計(jì)值，所計(jì)算的容許區(qū)間常稱為參考值范圍。醫(yī)學(xué)參考值范圍通常是從對(duì)健康人的觀察中取得，故亦稱醫(yī)學(xué)正常值范圍，簡(jiǎn)稱正常值范圍。如95％正常值范圍的含義是指樣本中有95％的個(gè)體其測(cè)定值在所求的范圍之內(nèi)。雙側(cè)95%的界限值為：±1.96s。(3.32)單側(cè)95%的上限值為：+1.645s。(3.33)單側(cè)95%的下限值為：-1.645s。(3.34)例3.13若已知健康女大學(xué)生血清總蛋白含量服從正態(tài)分布，例3.3資料n=100，已算出=73.708g/L，s=3.8759g/L，求健康女大學(xué)生血清總蛋白含量的95%參考值范圍。因血清總蛋白含量不宜過(guò)高或過(guò)低，本例宜用雙側(cè)公式：

±1.96s=73.708±1.96×3.8759=（66.1，81.3）g/L0.012.3262.5760.051.6451.9600.101.2821.645表3-5常用uα界值表α單側(cè)uα雙側(cè)uα2．制定醫(yī)學(xué)參考值范圍的注意事項(xiàng)1)樣本含量;2)結(jié)合專業(yè);3)根據(jù)研究要求和資料的特點(diǎn);3)根據(jù)使用該參考值的目的考慮第七節(jié)離群值的取舍測(cè)量數(shù)據(jù)中有時(shí)會(huì)有個(gè)別過(guò)大或過(guò)小，遠(yuǎn)離均數(shù)的可疑數(shù)值，這種數(shù)值稱為極端值或離群值（outlier）。極端值有兩種可能：可能是測(cè)量值隨機(jī)波動(dòng)的極度表現(xiàn)，即極值，它雖然與其余數(shù)據(jù)相差較遠(yuǎn)，但仍然是處于統(tǒng)計(jì)上所允許的合理誤差范圍之內(nèi)。極端值也可能是與其余數(shù)據(jù)不屬于同一總體的離群值。如果在測(cè)量數(shù)據(jù)中混有離群值，必然會(huì)歪曲試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)若能將該值舍棄，將使結(jié)果更符合客觀實(shí)際情況。但若將本來(lái)不是離群的測(cè)量值主觀地作為離群值舍棄，雖然得到分散很小、精度很高的結(jié)果，而此結(jié)果實(shí)質(zhì)上是虛假的，并不是客觀情況的真實(shí)反映。所以怎樣正確取舍極端值，是實(shí)踐中經(jīng)常碰到的問(wèn)題。1.計(jì)量資料判斷離群值計(jì)量資料判斷極端值是否離群值，常用±3s法、格拉布斯法、Q檢驗(yàn)法、間距法。⑴.X±3s法X±3s法適用于正態(tài)分布資料，且樣本含量較大（n≥60）。以xj代表極端值，按正態(tài)分布理論，離群值與平均值差的絕對(duì)值大于2的概率為1/20，大于3的概率僅約為1/370。按小概率原理，小概率事件在一次測(cè)量中實(shí)際是不可能發(fā)生的，2與3可認(rèn)為統(tǒng)計(jì)上允許的合理誤差范圍，而超出此范圍的數(shù)據(jù)則為極端值。因此，有人將3作為界值，根據(jù)絕對(duì)值是否大于3作出判斷。也就是說(shuō)，可以根據(jù) X－3s～X＋3s范圍內(nèi)是否包括xj作出判斷：當(dāng)xj在X－3s～X＋3s范圍之外時(shí)可舍棄，在此范圍之內(nèi)時(shí)保留。

⑵.格魯布斯法格拉布斯法（Grubbs）適用于正態(tài)分布資料。xj表示極端值，計(jì)算包括極端值xj在內(nèi)的測(cè)量值與s，總體均數(shù)μ及標(biāo)準(zhǔn)差σ已知或未知時(shí)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量T的絕對(duì)值公式分別為

∣T∣＝或∣T∣＝

（3-38）

按第一類錯(cuò)誤概率α和樣本含量n，查如表3-6所示的格魯布斯Tα,n界值表，與T的絕對(duì)值比較。若∣T∣≤界值Tα,n，則不能判極端值xi為離群值。若∣T∣＞Tα,n，則可判xj為離群值，應(yīng)舍去。

⑶.Q檢驗(yàn)法Q檢驗(yàn)法不要求資料服從正態(tài)分布。數(shù)據(jù)從小到大排列為x1，x2，x3，…，xn－1，xn。極差R＝xn－x1，最小值x1或最大值xn為極端值時(shí)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量Q的公式分別為表3-6檢驗(yàn)正態(tài)分布資料極端值用格拉布斯Tα,n界值表

Q＝或Q＝

若Q＞1/3，則極端值是離群值，應(yīng)舍棄?！纠?.15】研究人工培植人參中M物質(zhì)的含量（μg），76次測(cè)得的結(jié)果為40.0，41.0，41.5，41.6，41.6，41.9，……，42.5，43.5，43.8，44.2，60.2。檢查無(wú)誤，對(duì)于最小值x1＝40.0和最大值x76＝60.2，找不出原因。在下面條件下，分別判斷是否為離群值。

①若已知M物質(zhì)的含量服從正態(tài)分布，計(jì)算得到X＝42.16μg，S＝2.150μg；解：若用X±3S法計(jì)算，則可以得到(X－3S，X＋3S)＝(35.7，48.6)最小值x1＝40.0在此范圍內(nèi)不是局外值。最大值x76＝60.2在范圍外是離群值，應(yīng)舍棄。若用格魯布斯法計(jì)算，對(duì)于最小值x1＝40.0，計(jì)算得到

∣T∣＝＝=1.01查表3-6，μ和σ未知時(shí)T0.05,50＝2.96，T0.05,60＝3.03，|T|＜T0.05,76，x1＝40.0不是離群值。對(duì)最大值x76＝60.2，類似計(jì)算得到∣T|＝8.39＞T0.05,