《高等數(shù)學》同濟六版教學★第9章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用課件

第六節(jié)復(fù)習目錄上頁下頁返回結(jié)束一、空間曲線的切線與法平面二、曲面的切平面與法線

多元函數(shù)微分學的幾何應(yīng)用第九章復(fù)習:平面曲線的切線與法線已知平面光滑曲線切線方程法線方程若平面光滑曲線方程為故在點切線方程法線方程在點有有因機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、空間曲線的切線與法平面過點M與切線垂直的平面稱為曲線在該點的法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束位置.空間光滑曲線在點M處的切線為此點處割線的極限平面.點擊圖中任意點動畫開始或暫停此處要求也是法平面的法向量,切線的方向向量:稱為曲線的切向量.如個別為0,則理解為分子為0.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束不全為0,因此得法平面方程說明:若引進向量函數(shù),則為r(t)的矢端曲線,處的導向量就是該點的切向量.例1.求圓柱螺旋線對應(yīng)點處的切線方程和法平面方程.切線方程法平面方程即即解:

由于對應(yīng)的切向量為在機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,故2.曲線為一般式的情況光滑曲線當曲線上一點,且有時,可表示為處的切向量為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束也可表為法平面方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

求曲線在點M(1,–2,1)處的切線方程與法平面方程.切線方程解法1令則即切向量機動目錄上頁下頁返回結(jié)束法平面方程即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解法2.方程組兩邊對x求導,得曲線在點M(1,–2,1)處有:切向量解得二、曲面的切平面與法線

設(shè)有光滑曲面通過其上定點對應(yīng)點M,切線方程為不全為0.則在且點M的切向量為任意引一條光滑曲線下面證明:此平面稱為在該點的切平面.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束上過點M的任何曲線在該點的切線都在同一平面上.證:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束在上,得令由于曲線的任意性,表明這些切線都在以為法向量的平面上,從而切平面存在.曲面

在點M的法向量法線方程切平面方程復(fù)習目錄上頁下頁返回結(jié)束法向量用將法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分別記為則向上,復(fù)習目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

求球面在點(1,2,3)處的切平面及法線方程.解:所以球面在點(1,2,3)處有:切平面方程即法線方程法向量令機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.確定正數(shù)

使曲面在點解:二曲面在M點的法向量分別為二曲面在點M相切,故又點M在球面上,于是有相切.與球面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束,因此有切線方程法平面方程空間光滑曲線切向量2)一般式情況.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束空間光滑曲面曲面

在點法線方程1)隱式情況.的法向量切平面方程2.曲面的切平面與法線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束空間光滑曲面切平面方程法線方程2)顯式情況.法線的方向余弦法向量機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證明曲面上任一點處的切平面都通過原點.提示:在曲面上任意取一點則通過此2.設(shè)f(u)可微,第七節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明原點坐標滿足上述方程.點的切平面為1.

證明曲面與定直線平行,證:曲面上任一點的法向量取定直線的方向向量為則(定向量)故結(jié)論成立.的所有切平面恒備用題機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一、方向?qū)?shù)定義:若函數(shù)則稱為函數(shù)在點P處沿方向l

的方向?qū)?shù).在點處沿方向l

(方向角為)存在下列極限:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束記作定理:則函數(shù)在該點沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,證明:由函數(shù)且有在點P可微,得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對于二元函數(shù)為,)的方向?qū)?shù)為特別:?當l與x軸同向?當l與x軸反向向角例1.求函數(shù)

在點P(1,1,1)沿向量3)的方向?qū)?shù).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:向量l的方向余弦為例2.

求函數(shù)在點P(2,3)沿曲線朝x增大方向的方向?qū)?shù).解:將已知曲線用參數(shù)方程表示為它在點P的切向量為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.設(shè)是曲面在點P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,解:

方向余弦為而同理得方向的方向?qū)?shù).在點P處沿求函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、梯度方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f變化率最大的方向模:

f的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.定義即同樣可定義二元函數(shù)稱為函數(shù)f(P)在點P處的梯度記作(gradient),在點處的梯度機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量2.梯度的幾何意義函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面(或等值線),機動目錄上頁下頁返回結(jié)束稱為函數(shù)f的等值線.則L*上點P處的法向量為同樣,對應(yīng)函數(shù)有等值面(等量面)當各偏導數(shù)不同時為零時,其上點P處的法向量為指向函數(shù)增大的方向.3.梯度的基本運算公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.證:試證機動目錄上頁下頁返回結(jié)束處矢徑r的模,三、物理意義函數(shù)(物理量的分布)數(shù)量場(數(shù)性函數(shù))場向量場(矢性函數(shù))可微函數(shù)梯度場(勢)如:溫度場,電位場等如:力場,速度場等(向量場)注意:任意一個向量場不一定是梯度場.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.已知位于坐標原點的點電荷q

在任意點試證證:利用例4的結(jié)果這說明場強:處所產(chǎn)生的電位為垂直于等位面,且指向電位減少的方向.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.方向?qū)?shù)?三元函數(shù)在點沿方向l(方向角的方向?qū)?shù)為?二元函數(shù)在點的方向?qū)?shù)為沿方向l(方向角為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.梯度?三元函數(shù)在點處的梯度為?二元函數(shù)在點處的梯度為3.關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導數(shù)存在??可微機動目錄上頁下頁返回結(jié)束梯度在方向l上的投影.思考與練習1.設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)在點M(1,1,1)處沿曲線在該點切線方向的方向?qū)?shù);(2)求函數(shù)在M(1,1,1)處的梯度與(1)中切線方向

的夾角

.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束曲線1.(1)在點解答提示:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)沿l的方向?qū)?shù)M(1,1,1)處切線的方向向量機動目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題1.函數(shù)在點處的梯度解:則注意x,y,z具有輪換對稱性(92考研)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束指向B(3,－2,2)方向的方向?qū)?shù)是

.在點A(1,0,1)處沿點A2.函數(shù)提示:則(96考研)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九章第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值二、最值應(yīng)用問題三、條件極值機動目錄上頁下頁返回結(jié)束多元函數(shù)的極值及其求法一、多元函數(shù)的極值

定義:若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內(nèi)有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:使偏導數(shù)都為0的點稱為駐點.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值但駐點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,則有存在故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束時,具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、最值應(yīng)用問題函數(shù)f在閉域上連續(xù)函數(shù)f在閉域上可達到最值最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,當區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.解:設(shè)水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:設(shè)折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達到,而在域D內(nèi)只有一個駐點,故此點即為所求.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化機動目錄上頁下頁返回結(jié)束方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設(shè)記例如,故故有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點必滿足則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點.例如,求函數(shù)下的極值.在條件機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.要設(shè)計一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:設(shè)x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最??？的長方體開口水箱,試問機動目錄上頁下頁返回結(jié)束得唯一駐點由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為高的2倍時，所用材料最省.因此,當高為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:1)當水箱封閉時,長、寬、高的尺寸如何?提示:利用對稱性可知,2)當開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時,欲使造價最省,應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長、寬、高尺寸如何?提示:長、寬、高尺寸相等.內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步利用充分條件判別駐點是否為極值點.2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步找目標函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問題在條件求駐點.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束已知平面上兩定點A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點C,使△ABC面積S△最大.解答提示:設(shè)C點坐標為(x,y),思考與練習則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應(yīng)面積而比較可知,點C與E重合時,三角形面積最大.點擊圖中任意點動畫開始或暫停機動目錄上頁下頁返回結(jié)束備用題

1.求半徑為R

的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解:設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為x,y,z,則它們所對應(yīng)的三個三角形面積分別為設(shè)拉氏函數(shù)解方程組,得故圓內(nèi)接正三角形面積最大,最大面積為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束為邊的面積最大的四邊形,試列出其目標函數(shù)和約束條件?提示:目標函數(shù):約束條件:答案:即四邊形內(nèi)接于圓時面積最大.2.求平面上以機動目錄上頁下頁返回結(jié)束*第九節(jié)一、二元函數(shù)泰勒公式二、極值充分條件的證明機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二元函數(shù)的泰勒公式第九章一、二元函數(shù)的泰勒公式一元函數(shù)的泰勒公式:推廣多元函數(shù)泰勒公式機動目錄上頁下頁返回結(jié)束記號(設(shè)下面涉及的偏導數(shù)連續(xù)):

一般地,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

表示表示定理1.的某一鄰域內(nèi)有直到n+1階連續(xù)偏導數(shù),為此鄰域內(nèi)任一點,則有其中①②①稱為f在點(x0,y0)的n階泰勒公式,②稱為其拉格朗日型余項.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:令則利用多元復(fù)合函數(shù)求導法則可得:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束一般地,由的麥克勞林公式,得將前述導數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:(1)余項估計式.因f的各n+1階偏導數(shù)連續(xù),在某閉鄰域其絕對值必有上界

M,則有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束(2)當n=0時,得二元函數(shù)的拉格朗日中值公式:(3)若函數(shù)在區(qū)域D上的兩個一階偏導數(shù)恒為零,由中值公式可知在該區(qū)域上機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求函數(shù)解:的三階泰勒公式.因此,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中機動目錄上頁下頁返回結(jié)束時,具有極值二、極值充分條件的證明的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)定理2

(充分條件)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束證:由二元函數(shù)的泰勒公式,并注意則有所以機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中,,是當h→0,k→0時的無窮小量,于是(1)當AC－B2＞0時,必有A≠0,且A與C同號,可見,從而△z＞0,因此機動目錄上頁下頁返回結(jié)束從而△z＜0,(2)當AC－B2＜0時,若A,C不全為零,無妨設(shè)A≠0,則時,有異號;同號.可見△z在(x0,y0)鄰近有正有負,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束++－若A＝C

＝0,則必有B≠0,不妨設(shè)B＞0,此時可見△z在(x0,y0)鄰近有正有負,(3)當AC－B2＝0時,若A≠0,則若A＝0,則B＝0,為零或非零機動目錄上頁下頁返回結(jié)束此時因此第十節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束不能斷定(x0,y0)是否為極值點.第九章*第十節(jié)問題的提出:已知一組實驗數(shù)據(jù)求它們的近似函數(shù)關(guān)系y＝f(x).需要解決兩個問題:1.確定近似函數(shù)的類型根據(jù)數(shù)據(jù)點的分布規(guī)律根據(jù)問題的實際背景2.確定近似函數(shù)的標準實驗數(shù)據(jù)有誤差,不能要求機動目錄上頁下頁返回結(jié)束最小二乘法偏差有正有負,值都較小且便于計算,可由偏差平方和最小為使所有偏差的絕對來確定近似函數(shù)f(x).最小二乘法原理:設(shè)有一列實驗數(shù)據(jù)分布在某條曲線上,通過偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法,找出的函數(shù)關(guān)系稱為經(jīng)驗公式.,它們大體機動目錄上頁下頁返回結(jié)束特別,當數(shù)據(jù)點分布近似一條直線時,問題為確定a,b令滿足:使得解此線性方程組即得a,b稱為法方程組機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.為了測定刀具的磨損速度,每隔1小時測一次刀具的厚度,得實驗數(shù)據(jù)如下:找出一個能使上述數(shù)據(jù)大體適合的經(jīng)驗公式.解:通過在坐標紙上描點可看出它們大致在一條直線上,列表計算:故可設(shè)經(jīng)驗公式為(P67例1)27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567機動目錄上頁下頁返回結(jié)束得法方程組解得故所求經(jīng)驗公式為0027.0074924.8137.628140208.5717.0機動目錄上頁下頁返回結(jié)束為衡量上述經(jīng)驗公式的優(yōu)劣,計算各點偏差如下:稱為均方誤差,對本題均方誤差它在一定程度上反映了經(jīng)驗函數(shù)的好壞.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200稱為均方誤差,對本題均方誤差它在一定程度上反映了經(jīng)驗函數(shù)的好壞.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束偏差平方和為27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.000－0.125－0.0180.189－0.003－0.0210.0860.093－0.200例2.

在研究某單分子化學反應(yīng)速度時,得到下列數(shù)據(jù):57.641.931.022.716.612.28.96.5369121518212412345678其中表示從實驗開始算起的時間,y表示時刻反應(yīng)物的量.試根據(jù)上述數(shù)據(jù)定出經(jīng)驗公