豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)集錦

豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)1、如圖1所示，是繩子牽引下的小球在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，是在軌道約束下在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的小球，它們的共同特點(diǎn)是，在運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)均沒(méi)有物體支承小球，下面討論小球在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)最高點(diǎn)的情況：（1）臨界條件；繩子和軌道對(duì)小球沒(méi)有力的作用mg=m%界根據(jù)牛頓第二定律得 成即3=戲這個(gè)速度可理解為恰好轉(zhuǎn)過(guò)或恰好轉(zhuǎn)不過(guò)的速度.（2）能過(guò)最高點(diǎn)的條件:"E（當(dāng)vf時(shí)繩、軌道對(duì)球分別產(chǎn)生拉力、壓力）（3）不能過(guò)最高點(diǎn)的條件："<%界（實(shí)際上球還沒(méi)有到最高點(diǎn)就脫離了軌道）2、如圖3所示，是桿子約束下的小球在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，如圖4所示，是在軌道約束下在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的小球，它們的共同特點(diǎn)是，在運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)均有物體支承小球，下面討論小球在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)通過(guò)最高點(diǎn)的情況：（1）臨界條件：v=°（支承物對(duì)物體的支持力等于mg）（2）當(dāng)"=底，即”飛*，如圖5所示支承物對(duì)物體既沒(méi)有拉力也沒(méi)有支持力.此5當(dāng)，即衣'，如圖3所示支承物對(duì)物體產(chǎn)生拉力、且拉力隨v增大而增大.如圖4所示，小球?qū)⒚撾x軌道作平拋運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檐壍啦荒軐?duì)它產(chǎn)生拉力.圖4當(dāng)氏底，即*飛E，如圖5所示支承物對(duì)物體產(chǎn)生支持力，且支持力隨v減少而增大，范圍是0~mg?；疖?chē)轉(zhuǎn)彎如圖1所示，如果火車(chē)轉(zhuǎn)彎處內(nèi)外軌無(wú)高度差，火車(chē)行駛到此處時(shí)，由于火車(chē)慣性的緣故，會(huì)造成外軌內(nèi)側(cè)與火車(chē)外輪的輪緣相互擠壓現(xiàn)象，使火車(chē)受到外軌內(nèi)側(cè)的側(cè)壓力作用.迫使火車(chē)轉(zhuǎn)彎做圓周運(yùn)動(dòng).但是這個(gè)側(cè)壓力的反作用力，作用在外軌上會(huì)對(duì)外軌產(chǎn)生極大的破壞作用，甚至?xí)鹜廛壸冃?，造成翻?chē)事故.其實(shí)火車(chē)轉(zhuǎn)彎的向心力并不是側(cè)壓力提供的，那么是什么力作為向心力的呢？如圖2所示，在轉(zhuǎn)彎處使外軌略高于內(nèi)軌，火車(chē)駛過(guò)轉(zhuǎn)彎處時(shí)，鐵軌對(duì)火車(chē)的支持力％的方向不再是豎直的，而是斜向彎道內(nèi)側(cè)，它與重力G的合力指向圓心，成為使火車(chē)轉(zhuǎn)彎的向心力.設(shè)內(nèi)外軌間的距離為L(zhǎng)，內(nèi)外軌的高度差為h，火車(chē)轉(zhuǎn)彎的半徑為R，火車(chē)轉(zhuǎn)彎的規(guī)定速度為％.由圖2所示力的三角形得向心力為:F=^gtanc^^gsm=由牛頓第二定律得:mg—=m—所以：LRv=陛即火車(chē)轉(zhuǎn)彎的規(guī)定速度：為Y匚廠討論（1）當(dāng)火車(chē)行駛速率V等于規(guī)定速度為時(shí)，F(xiàn)f，內(nèi)、外軌道對(duì)輪緣都沒(méi)有側(cè)壓力.

壓力.（2）當(dāng)火車(chē)行駛速度v大于規(guī)定速度為時(shí)，壓力.（2）當(dāng)火車(chē)行駛速度v大于規(guī)定速度為時(shí)，『〈技!，外軌道對(duì)輪緣有側(cè)(3)壓力.當(dāng)火車(chē)行駛速度v小于規(guī)定速度％時(shí)，、頊，內(nèi)軌道對(duì)輪緣有側(cè)重力場(chǎng)中豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最小速度只在重力場(chǎng)中豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)于物體通過(guò)最高點(diǎn)的臨界速度，即最小速度問(wèn)題，是高一學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，下面我們將它分為兩種情況進(jìn)行分析。一、沒(méi)有支撐物的物體在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)最高點(diǎn)的情況。一、1.輕質(zhì)繩：當(dāng)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體受繩牽拉時(shí)，繩對(duì)物體的作用力可以有，可以無(wú)，如果有作用力只能是拉力。在豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩有無(wú)拉力要依據(jù)速度判定。如圖，在最高點(diǎn)：小球重力和繩子拉力的合力提供向心力。v2F+mgv2F+mg=mRV2F=m—-mg當(dāng)v減小時(shí)，F(xiàn)t隨v的減小而減當(dāng)Ft=0時(shí)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力只由重力m由上式可知供，此時(shí)向心力最小，則速度具有最小值vmin。?。籫提由mg=Tnl^可得：vminJR。當(dāng)v>^^gR時(shí)，小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。2.外軌道：當(dāng)物體是沿只有外側(cè)軌道做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)（如過(guò)山車(chē)），如果軌道提供作用力，只能是垂直支撐面向內(nèi)的壓力，也可以不提供作用力。例題：過(guò)山車(chē)是常見(jiàn)的刺激娛樂(lè)項(xiàng)目，可以簡(jiǎn) 八化為下面問(wèn)題。豎直平面內(nèi)的圓形軌道半徑為R。廠岸宣\技過(guò)山車(chē)從傾斜軌道滑下進(jìn)入圓形軌道，在豎直軌道（"撰日7^上做圓周運(yùn)動(dòng)，求在圓形軌道最高點(diǎn)車(chē)的最小速 yK度。 =解析：過(guò)山車(chē)在豎直圓形軌道做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，小車(chē)所受的支持力與重力的合力充當(dāng)向心力，而車(chē)經(jīng)最高點(diǎn)恰好不掉下來(lái)，就是車(chē)沒(méi)有離開(kāi)圓軌道，又對(duì)軌道無(wú)壓力，則*5飛…庇即過(guò)山車(chē)的最小速度至少為底。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)車(chē)速小于信，重力大于向心力，車(chē)就要在到達(dá)最高點(diǎn)之前脫離軌道而作斜拋運(yùn)動(dòng)。當(dāng)車(chē)速大于底則軌道的支持力與重力的合力充當(dāng)向心力，軌道給車(chē)有向下的壓力，車(chē)可以做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。上述球繩模型與外軌道模型的受力情況相同，分析方法也是一樣的。二、有支撐物的物體在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)最高點(diǎn)的情況。1.輕質(zhì)桿：當(dāng)物體與桿的一端固定連接，繞桿的另一端為軸在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，桿對(duì)物體的作用力可以有拉力，可以有壓（推）力，也可以沒(méi)有，要視物體在該點(diǎn)的速度大小而定。即mg±F=匯NR丫-^'*2.管道軌道：當(dāng)物體沿光滑管道做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，管道TOC\o"1-5"\h\z提供的作用力可以是只由內(nèi)側(cè)提供（指向上），也可\ ° :以是只由外側(cè)提供（指向下），也可以內(nèi)外側(cè)均不提供作用力。 （（ 0 \\球桿模型與豎直面內(nèi)光滑管道中的小球的運(yùn)動(dòng)U7/也具有相同的受力特點(diǎn)，由于桿（或管壁）對(duì)球可以產(chǎn) 生向上的支持力作用，當(dāng)mg-Fn=0時(shí)，此時(shí)向心力最 小，因此小球能到達(dá)最高點(diǎn)的臨界速度umin=0。所以球要作完整圓周運(yùn)動(dòng)，最高點(diǎn)速度v〉0。思考：請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍治銮蛞圆煌俣冗^(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿（管道）對(duì)球產(chǎn)生的彈力情況？小結(jié)：只在重力場(chǎng)中做豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的物體，分析它的最小速度時(shí)，關(guān)鍵是要根據(jù)題意，對(duì)物體在最高點(diǎn)進(jìn)行受力分析，確定向心力，建立向心力方程， 并討論最小向心力，根據(jù)最小向心力，推導(dǎo)出最小速度。豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)及實(shí)例分析豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)一般是變速圓周運(yùn)動(dòng)（帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)除外），運(yùn)動(dòng)的速度大小和方向在不斷發(fā)生變化，運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，合外力不僅要改變運(yùn)動(dòng)方向，還要改變速度大小，所以一般不研究任意位置的情況，只研究特殊的臨界位置——最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。一、兩類模型——輕繩類和輕桿類輕繩類。運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在一輕繩的作用下繞中心點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動(dòng)。由于繩子只能提供拉力而不能提供支持力，質(zhì)點(diǎn)在最高點(diǎn)所受的合力不能為零，合力的最小值是物體的重力。所以：（1）質(zhì)點(diǎn)過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件：質(zhì)點(diǎn)達(dá)最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力剛好為零，質(zhì)點(diǎn)在最高mg=點(diǎn)的向心力全部由質(zhì)點(diǎn)的重力來(lái)提供，這時(shí)有 廣，式中的"施是小球通過(guò)最高點(diǎn)的最小速度，叫臨界速度；（2）質(zhì)點(diǎn)能通過(guò)最高點(diǎn)的條件是”'置點(diǎn)=修；（3）當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度小于這一值時(shí)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)不到最高點(diǎn)高作拋體運(yùn)動(dòng)了；（4）在只有重力做功的情況下，質(zhì)點(diǎn)在最低點(diǎn)的速度不得小于際，質(zhì)點(diǎn)才能運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)；（5）過(guò)最高點(diǎn)的最小向心加速度稅=&輕桿類。運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在一輕桿的作用下，繞中心點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動(dòng)，由于輕桿能對(duì)質(zhì)點(diǎn)提供支持力和拉力，所以質(zhì)點(diǎn)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)受的合力可以為零，質(zhì)點(diǎn)在最高點(diǎn)可以處于平衡狀態(tài)。所以質(zhì)點(diǎn)過(guò)最高點(diǎn)的最小速度為零，（1）當(dāng)胃=°時(shí)，輕桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)有豎直向上的支持力，其大小等于質(zhì)點(diǎn)的重力，即"=*；（2）當(dāng)"臨時(shí)，必°；（3）當(dāng)心修，質(zhì)點(diǎn)的重力不足以提供向心力，桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)有指向圓心的拉力；且拉力隨速度的增大而增大;（4）當(dāng)°*^拇時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的重力大于其所需的向心力，輕桿對(duì)質(zhì)點(diǎn)的豎直向上的支持力，支持力隨"的增大而減小，幽目；（5）質(zhì)點(diǎn)在只有重力做功的情況下，最低點(diǎn)的速度*募而，才能運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)。過(guò)最高點(diǎn)的最小向心加速度=°。過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，輕桿和輕繩都只能提供拉力，向心力的表達(dá)式相同，即扁=歐自+麻，八昌+&■向心加速度的表達(dá)式也相同，即 狀。質(zhì)點(diǎn)能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（輕繩或輕2 07^=^―, =m—桿）最高點(diǎn)的向心力廣最低點(diǎn)的向心力廣，由機(jī)械能守恒幽+；幽胃；=：地誠(chéng) _2 2 ，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)和最高點(diǎn)的向心力之差勺以"歐昌，向心加速度大小之差也等于*g。二、可化為這兩類模型的圓周運(yùn)動(dòng)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)一般可以劃分為這兩類，豎直（光滑）圓弧內(nèi)側(cè)的圓周運(yùn)動(dòng)，水流星的運(yùn)動(dòng)，過(guò)山車(chē)運(yùn)動(dòng)等，可化為豎直平面內(nèi)輕繩類圓周運(yùn)動(dòng);汽車(chē)過(guò)凸形拱橋，小球在豎直平面內(nèi)的（光滑）圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，小球套在豎直圓環(huán)上的運(yùn)動(dòng)等，可化為輕豎直平面內(nèi)輕桿類圓周運(yùn)動(dòng)。四、例子講解例1（07年全國(guó)2）如圖所示，位于豎直平面內(nèi)的光滑有軌道，由一段斜的直軌道與之相切的圓形軌道連接而成，圓形軌道的半徑為R。一質(zhì)量為m的小物塊從斜軌道上某處由靜止開(kāi)始下滑，然后沿圓形軌道運(yùn)動(dòng)。要求物塊能通過(guò)圓形軌道最高點(diǎn)，且在該最高點(diǎn)與軌道間的壓力不能超過(guò)5mg（g為重力加速度）。求物塊初始位置相對(duì)于圓形軌道底部的高度h的取值范圍。解：設(shè)物塊在圓形軌道最高點(diǎn)的速度為v，由機(jī)械能守恒定律得￡TOC\o"1-5"\h\zmgh=2mgR+2mv2 ①物塊在最高點(diǎn)受的力為重力mg、軌道的壓力N。重力與壓力的合力提供向心力，有\(zhòng)o"CurrentDocument"mg+N=m* ②物塊能通過(guò)最高點(diǎn)的條件是N30 ③由②③式得vJ ④由①④式得H32.5R ⑤按題的需求，N=5mg，由②式得VV施 ⑥由①⑥式得hW5R

h的取值范圍是2.5RWhW5R例2如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠(yuǎn)小于R）固定，小球a、b大小相同，質(zhì)量相同，均為m,其直徑略小于管徑，能在管中無(wú)摩擦運(yùn)動(dòng).兩球先后以相同速度v通過(guò)軌道最低點(diǎn)，且當(dāng)小球a在最低點(diǎn)時(shí)，小球b在最高點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（）速度v至少為*“A、，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)當(dāng)"，所時(shí)，小球b在軌道最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力當(dāng)小球b在最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力時(shí)，小球a比小球b所需向心力大5mg只要v3J寤*，小球a對(duì)軌道最低點(diǎn)壓力比小球b對(duì)軌道最高點(diǎn)壓力都大6mg解：內(nèi)管可以對(duì)小球提供支持力，可化為輕桿模型，在最高點(diǎn)時(shí)，小球速度可以為零，由mg2R=-mv^=2 =-mv2機(jī)械能守恒知 2得點(diǎn)—?dú)g，所以A錯(cuò)， 2 2得 =mg心力為5mg，向心力相差心力為5mg，向心力相差4倍，B對(duì)，C錯(cuò)，最高點(diǎn)IF1=m—-mg m—+^g衣，最低點(diǎn)*所以所以%f"*，。對(duì)。—幽V；+mg2R=—幽v*由機(jī)械能守恒有2 2例3（06重慶）如圖，半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi)。小球A、B質(zhì)量分別為m、乃m（乃為待定系數(shù)）。A球從工邊與圓心等高處由靜止開(kāi)始沿軌道下滑，與靜止于軌-R道最低點(diǎn)的B球相撞，碰撞后A、B球能達(dá)到的最大高度均為4，碰撞中無(wú)機(jī)械能損失。重力加速度為g。試求：

待定系數(shù)乃；第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A、B各自的速度和B球?qū)壍赖膲毫Γ恍∏駻、B在軌道最低處第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度，并討論小球A、B在軌道最低處第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)各自的速度。mgRfimgR解：由mgR=4+4得B=3解：設(shè)A、B碰撞后的速度分別為V—,則I商K=史空242 4 設(shè)向右為正、向左為負(fù)，解得V]=V ，萬(wàn)向向左 V2=V ，萬(wàn)向向右設(shè)軌道對(duì)B球的支持力為N，B球?qū)壍赖膲毫镹/，方向豎直向上為正、向下為則N—Bmg= *N/=—N=—4.5mg，方向豎直向下。設(shè)A、B球第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別為V1.V2，則-伽a弓=幽*+pm*mgR=!林吁+!阮婷

解得：N1=—N ,V2=0(另一組：Vi=-vi，V2=-v2，不合題意，舍去)由此可得：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，小球A、B在第n次碰撞剛結(jié)束時(shí)的速度分別與第二次碰撞剛結(jié)束時(shí)相同。練習(xí)三 豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)班級(jí)姓名學(xué)號(hào)長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的輕桿和輕繩一端固定在轉(zhuǎn)軸上，另一端各系一個(gè)質(zhì)量為m的小球，它們各自在豎直平面內(nèi)恰好做圓周運(yùn)動(dòng)，則小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，桿、繩所受拉力之比為〔A.5:6B.1:1C.2:3D.1:2〔如圖，豎直放置的光滑軌道由斜軌AB和圓形軌道BCD組成,0、D兩點(diǎn)在同一豎直線上，0、C兩點(diǎn)在同一水平線上,A與D等高，從A點(diǎn)自由釋放一小球，則小球到達(dá)C、D間某處后再沿軌道返回小球到達(dá)D點(diǎn)后自由落下小球到達(dá)D點(diǎn)后作平拋運(yùn)動(dòng)小球到達(dá)C、D間某處后，再作斜拋運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩一端系一質(zhì)量為m的物體，另一端被質(zhì)量為M的人用手握住.人站在水平地面上，使物體在豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，物體經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)時(shí)速度為v，則此時(shí)人對(duì)地面的壓力為A.(MA.(M+m)g—mv2LB.(M+m)g+mv2L- mv2C.Mg+—mv2D.(M—m)g—rL如圖所示，光滑的水平軌道與豎直放置的光滑半圓形軌道順接，圓半徑為R.一小球由D點(diǎn)出發(fā)向A運(yùn)動(dòng)，通過(guò)B點(diǎn)時(shí)加速度大小為2g，試求:小球剛通過(guò)A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力.小球通過(guò)B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力.小球通過(guò)B點(diǎn)后的射程.

如圖所示,AB、CD為四分之一圓弧軌道,B、C切線水平,A點(diǎn)切線豎直,BC段水平,AB弧半徑為R,CD弧半徑為2R.將一質(zhì)量為m的光滑小球由A點(diǎn)靜止釋放，試求小球向右恰好通過(guò)B、C兩點(diǎn)后的瞬間，對(duì)軌道的壓力.在豎直平面內(nèi)有一半徑為R的光滑軌道，在軌道的最高點(diǎn)釋放一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球的初速度可以忽略不計(jì)，小球沿軌道運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后離開(kāi)軌道，試求小球離開(kāi)軌道的位置.光滑