2018版高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1曲線與方程2.1.2求曲線的方程學(xué)案2-1

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE19學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.1.2求曲線的方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解用坐標(biāo)法研究幾何問題的有關(guān)知識和觀點，感受曲線的實際背景,明確其刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題的作用.2。了解解析幾何的基本思想、明確它所研究的基本問題。3.初步掌握根據(jù)已知條件求曲線方程的方法，同時進(jìn)一步加深理解“曲線的方程、方程的曲線”的概念。知識點一坐標(biāo)法的思想思考1怎樣理解建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ)?答案只有建立了平面直角坐標(biāo)系，才有點的坐標(biāo)，才能將曲線代數(shù)化，進(jìn)一步用代數(shù)法研究幾何問題.思考2依據(jù)一個給定的平面圖形,選取的坐標(biāo)系惟一嗎？答案不惟一，常以得到的曲線方程最簡單為標(biāo)準(zhǔn)。梳理（1)坐標(biāo)法：借助于坐標(biāo)系,通過研究方程的性質(zhì)間接地來研究曲線性質(zhì)的方法.（2）解析幾何研究的主要問題：①通過曲線研究方程：根據(jù)已知條件，求出表示曲線的方程。②通過方程研究曲線：通過曲線的方程，研究曲線的性質(zhì).知識點二求曲線的方程的步驟類型一直接法求曲線的方程例1一個動點P到直線x＝8的距離是它到點A(2，0)的距離的2倍。求動點P的軌跡方程。解設(shè)P（x,y)，則｜8－x|＝2|PA|.則｜8－x|＝2eq\r（x－22＋y－02)，化簡，得3x2＋4y2＝48，故動點P的軌跡方程為3x2＋4y2＝48。引申探究若本例中的直線改為“y＝8"，求動點P的軌跡方程。解據(jù)題設(shè)P（x，y），則P到直線y＝8的距離d＝｜y－8｜，又|PA|＝eq\r（x－22＋y－02），故｜y－8｜＝2eq\r(x－22＋y－02)，化簡，得4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.故動點P的軌跡方程為4x2＋3y2－16x＋16y－48＝0.反思與感悟直接法求動點軌跡的關(guān)鍵及方法（1）關(guān)鍵:①建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系;②找出所求動點滿足的幾何條件。（2）方法：求曲線的方程遵循求曲線方程的五個步驟，在實際求解時可簡化為三大步驟:建系、設(shè)點；根據(jù)動點滿足的幾何條件列方程；對所求的方程化簡、說明.特別提醒：直接法求動點軌跡方程的突破點是將幾何條件代數(shù)化。跟蹤訓(xùn)練1已知兩點M（－1，0）,N（1，0)，且點P使eq\o（MP，\s\up6（→))·eq\o（MN，\s\up6（→))，eq\o（PM，\s\up6(→))·eq\o（PN,\s\up6(→）)，eq\o(NM,\s\up6(→）)·eq\o（NP,\s\up6(→）)成公差小于零的等差數(shù)列。求點P的軌跡方程.解設(shè)點P(x，y)，由M(－1,0），N(1，0）,得eq\o(PM，\s\up6(→）)＝－eq\o（MP，\s\up6（→)）＝(－1－x,－y)，eq\o(PN，\s\up6(→))＝－eq\o(NP,\s\up6（→)）＝(1－x，－y），eq\o(MN,\s\up6(→)）＝－eq\o(NM,\s\up6(→))＝(2，0)。∴eq\o(MP，\s\up6（→））·eq\o（MN,\s\up6(→）)＝2（x＋1），eq\o(PM,\s\up6（→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝x2＋y2－1，eq\o（NM，\s\up6(→）)·eq\o(NP，\s\up6（→)）＝2(1－x）。于是，eq\o（MP,\s\up6(→））·eq\o(MN,\s\up6(→）)，eq\o(PM,\s\up6(→)）·eq\o（PN,\s\up6（→）),eq\o（NM,\s\up6（→））·eq\o（NP，\s\up6(→））成公差小于零的等差數(shù)列等價于eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－1＝\f（1,2)［2x＋1＋21－x］，，21－x－2x＋1<0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝3，，x>0。))∴點P的軌跡方程為x2＋y2＝3（x〉0).類型二代入法求解曲線的方程例2動點M在曲線x2＋y2＝1上移動，M和定點B(3,0)連線的中點為P，求P點的軌跡方程。解設(shè)P(x,y)，M(x0，y0),因為P為MB的中點,所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3，2)，，y＝\f（y0,2）,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，，y0＝2y，))又因為M在曲線x2＋y2＝1上，所以（2x－3)2＋4y2＝1.所以P點的軌跡方程為（2x－3)2＋4y2＝1.反思與感悟代入法求解軌跡方程的步驟（1)設(shè)動點P(x，y），相關(guān)動點M(x0，y0)。(2）利用條件求出兩動點坐標(biāo)之間的關(guān)系eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x0＝fx，y，,y0＝gx，y.)）(3）代入相關(guān)動點的軌跡方程。（4)化簡、整理，得所求軌跡方程.跟蹤訓(xùn)練2△ABC的頂點A固定，點A的對邊BC的長是2a，邊BC上的高的長是b，邊BC沿一條定直線移動，求△ABC解如圖所示，以BC所在的定直線為x軸，以過A點與x軸垂直的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A點的坐標(biāo)為（0，b）。設(shè)△ABC的外心為M(x，y)，作MN⊥BC于N,則MN是BC的垂直平分線.∵|BC|＝2a，∴|BN|＝a，｜MN｜＝｜y又M是△ABC的外心，∴M∈{M|｜MA|＝｜MB|}.而|MA|＝eq\r（x2＋y－b2),|MB|＝eq\r(｜MN｜2＋｜BN|2）＝eq\r（a2＋y2），∴eq\r（x2＋y－b2）＝eq\r(a2＋y2),化簡，得所求軌跡方程為x2－2by＋b2－a2＝0.類型三根據(jù)曲線的方程求兩曲線的交點例3過點M(1，2)的直線與曲線y＝eq\f(a,x）(a≠0)有兩個不同的交點，且這兩個交點的縱坐標(biāo)之和為a，求a的取值范圍。解當(dāng)過M點的直線斜率為零或斜率不存在時,不可能與曲線有兩個公共點.設(shè)直線方程為y－2＝k(x－1）（k≠0)，聯(lián)立曲線方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－2＝kx－1，，y＝\f(a,x），））消去x,得y2－（2－k)y－ka＝0。 ①當(dāng)此方程有兩個不同的根，即方程組有兩個不同的解時，直線與曲線有兩個不同的交點?！唳ぃ?2－k）2＋4ka>0。設(shè)方程①的兩根分別為y1，y2,由根與系數(shù)的關(guān)系,得y1＋y2＝2－k。又∵y1＋y2＝a，∴k＝2－a,代入Δ〉0中,得a2＋4a（2－a解得0〈a〈eq\f(8，3）。又∵k≠0，∴2－a≠0,即a≠2.∴a的取值范圍是（0，2）∪(2，eq\f(8，3））。反思與感悟結(jié)合曲線方程的定義，兩曲線的交點的坐標(biāo)即為兩曲線的方程構(gòu)成的方程組的解，所以可以把求兩曲線交點坐標(biāo)的問題轉(zhuǎn)化為解方程組的問題，討論交點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為討論方程組解的個數(shù)問題。即兩曲線C1和C2的方程分別為F（x，y)＝0和G(x，y）＝0,則它們的交點坐標(biāo)由方程組eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(Fx，y＝0,，Gx，y＝0）)的解來確定.跟蹤訓(xùn)練3直線l：y＝k(x－5）（k≠0）與圓O：x2＋y2＝16相交于A,B兩點，O為圓心，當(dāng)k變化時,求弦AB的中點M的軌跡方程。解設(shè)M(x，y），易知直線恒過定點P（5,0)，再由OM⊥MP，得|OP｜2＝｜OM｜2＋｜MP|2，∴x2＋y2＋（x－5)2＋y2＝25,整理得(x－eq\f(5,2)）2＋y2＝eq\f（25，4)。∵點M應(yīng)在圓內(nèi)，∴所求的軌跡為圓內(nèi)的部分.解方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x－\f（5,2)2＋y2＝\f(25,4),,x2＋y2＝16））得兩曲線交點的橫坐標(biāo)為x＝eq\f（16，5)，故所求軌跡方程為(x－eq\f（5，2））2＋y2＝eq\f(25,4）（0≤x〈eq\f(16,5））。1。曲線y＝eq\f（1，x)與xy＝2的交點是(）A.（1，1)B.(2，2）C.直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點D.不存在答案D解析聯(lián)立方程組無解.2.方程x2＋y2＝1（xy<0)表示的曲線是（)答案D解析∵xy〈0,當(dāng)x>0時，y<0，曲線應(yīng)在第四象限；當(dāng)x〈0時，y〉0，曲線應(yīng)在第二象限，且與坐標(biāo)軸均無交點。3.直線eq\f（x,a）＋eq\f（y，2－a）＝1與x,y軸交點的中點的軌跡方程是________________。答案x＋y－1＝0(x≠0，x≠1)解析設(shè)直線eq\f(x,a）＋eq\f(y,2－a)＝1與x，y軸交點為A（a，0)，B(0，2－a）,A，B中點為M（x，y），則x＝eq\f（a,2），y＝1－eq\f（a,2），消去a，得x＋y＝1.∵a≠0，a≠2，∴x≠0，x≠1。4.已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由動點P向⊙O和⊙O′所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是________。答案x＝eq\f(3，2）解析設(shè)動點P(x,y），則eq\r（x2＋y2－2）＝eq\r(x－42＋y2－6)，化簡整理得x＝eq\f（3,2）.5.M為直線l：2x－y＋3＝0上的一動點,A（4，2）為一定點，又點P在直線AM上運(yùn)動,且AP∶PM＝3,求動點P的軌跡方程.解設(shè)點M，P的坐標(biāo)分別為M(x0，y0)，P（x,y)，由題設(shè)及向量共線條件可得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（4x＝4＋3x0，，4y＝3y0＋2，）)所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x0＝\f（4x－4，3)，,y0＝\f（4y－2,3)，)）因為點M（x0，y0)在直線2x－y＋3＝0上,所以2×eq\f（4x－4，3）－eq\f（4y－2,3)＋3＝0，即8x－4y＋3＝0，從而點P的軌跡方程為8x－4y＋3＝0。求解軌跡方程常用方法(1）直接法：直接根據(jù)題目中給定的條件進(jìn)行確定方程.（2）定義法:依據(jù)有關(guān)曲線的性質(zhì)建立等量關(guān)系,從而確定其軌跡方程。(3)代入法:有些問題中,其動點滿足的條件不便用等式列出，但動點是隨著另一動點（稱之為相關(guān)點）而運(yùn)動的。如果相關(guān)點所滿足的條件是明顯的，或是可分析的,這時我們可以用動點坐標(biāo)表示相關(guān)點坐標(biāo),根據(jù)相關(guān)點所滿足的方程即可求得動點的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關(guān)點法或代入法。(4）參數(shù)法:將x，y用一個或幾個參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法。（5）待定系數(shù)法：根據(jù)條件能知道曲線的類型，可先根據(jù)曲線方程的一般形式設(shè)出方程，再根據(jù)條件確定待定的系數(shù)。40分鐘課時作業(yè)一、選擇題1.下列各組方程中表示相同曲線的是（)A。y＝x，eq\f（y，x)＝1 B。y＝x,y＝eq\r(x2）C.|y｜＝|x|，eq\r（y)＝eq\r(x） D.｜y|＝|x｜，y2＝x2答案D解析A中y＝x表示一條直線，而eq\f（y,x)＝1表示直線y＝x，除去點（0，0）；B中y＝x表示一條直線，而y＝eq\r（x2）表示一條折線；C中｜y|＝|x｜表示兩條直線，而eq\r（y)＝eq\r（x)表示一條射線；D中|y|＝|x｜和y2＝x2均表示兩條相交直線。故選D.2.如圖所示的圖象對應(yīng)的方程是()A.|x|－y＝0 B。eq\f（x,|y｜)－1＝0C.x－|y｜＝0 D。eq\f（｜x｜,y）－1＝0答案C解析據(jù)圖，當(dāng)x〉0，y>0時，y＝x；當(dāng)x>0，y〈0時,y＝－x,只有選項C符合要求，故選C.3。已知0≤α〈2π，點P(cosα，sinα）在曲線(x－2)2＋y2＝3上，則α的值為()A.eq\f(π，3) B.eq\f(5,3）πC.eq\f（π，3）或eq\f（5，3)π D。eq\f(π,3）或eq\f(π,6）答案C解析由（cosα－2)2＋sin2α＝3，得cosα＝eq\f（1,2）.又因為0≤α〈2π，所以α＝eq\f（π，3）或α＝eq\f(5,3）π。4。已知點A(－1，0)，B（1,0），且eq\o（MA,\s\up6（→）)·eq\o(MB，\s\up6(→))＝0，則動點M的軌跡方程是（)A.x2＋y2＝1 B。x2＋y2＝2C。x2＋y2＝1（x≠±1) D。x2＋y2＝2(x≠±eq\r（2））答案A解析設(shè)動點M（x，y)，則eq\o(MA,\s\up6（→)）＝(－1－x，－y）,eq\o(MB，\s\up6（→）)＝（1－x，－y）。由eq\o（MA,\s\up6(→)）·eq\o(MB,\s\up6(→)）＝0，得（－1－x)(1－x)＋(－y）·（－y)＝0,即x2＋y2＝1。5。過三點A（1，3)，B（4，2），C（1,－7)的圓交y軸于M、N兩點，則|MN｜等于（)A。2eq\r(6）B.8C。4eq\r(6)D.10答案C解析由已知，得eq\o(AB，\s\up6（→))＝（3，－1)，eq\o(BC,\s\up6（→）)＝(－3，－9)，則eq\o（AB，\s\up6(→)）·eq\o(BC,\s\up6(→)）＝3×（－3）＋(－1）×（－9)＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→））⊥eq\o(BC,\s\up6（→）)，即AB⊥BC，故過三點A、B、C的圓以AC為直徑，得其方程為（x－1）2＋(y＋2）2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2eq\r（6），y2＝－2＋2eq\r(6），所以｜MN|＝｜y1－y2｜＝4eq\r（6),選C.6。已知兩點A（eq\r(2），0）,B（－eq\r(2），0）,點P為平面內(nèi)一動點,過點P作y軸的垂線，垂足為Q，且eq\o（PA,\s\up6（→))·eq\o（PB,\s\up6（→）)＝2eq\o(PQ,\s\up6（→)）2，則動點P的軌跡方程為()A。x2＋y2＝2 B。y2－x2＝2C。x2－2y2＝1 D。2x2－y2＝1答案B解析設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x，y），則點Q的坐標(biāo)為(0,y)，eq\o（PQ,\s\up6(→））＝（－x，0），eq\o（PA,\s\up6（→))＝（eq\r（2)－x，－y），eq\o(PB,\s\up6（→））＝（－eq\r(2）－x，－y)，eq\o（PA,\s\up6(→)）·eq\o（PB,\s\up6(→)）＝x2－2＋y2.由eq\o（PA,\s\up6（→））·eq\o（PB,\s\up6(→)）＝2eq\o（PQ，\s\up6（→））2，得x2－2＋y2＝2x2，所以所求動點P的軌跡方程為y2－x2＝2。二、填空題7.已知定點A(0，1)，直線l1:y＝－1，記過點A且與直線l1相切的圓的圓心為點C。則動點C的軌跡E的方程為________.答案x2＝4y解析設(shè)動點C(x，y)，根據(jù)題意可知，點C到點A的距離與到直線l1：y＝－1的距離相等，所以eq\r（x2＋y－12）＝｜y＋1|，兩邊平方整理得x2＝4y。8.點A(1,－2)在曲線x2－2xy＋ay＋5＝0上，則a＝________.答案5解析由題意可知點（1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一組解，即1＋4－2a解得a＝5。9。過點P（0，1）的直線與曲線｜x|－1＝eq\r(1－1－y2)相交于A,B兩點，則線段AB長度的取值范圍是____________。答案[2eq\r(2)，4]解析曲線|x|－1＝eq\r（1－1－y2)可化為x≥1,(x－1)2＋(y－1）2＝1，或x<－1,(x＋1）2＋（y－1)2＝1，圖象如圖所示，線段AB長度的取值范圍是[2eq\r（2），4]。10.已知點F(1，0），直線l:x＝－1,P為平面上的一動點，過點P作l的垂線，垂足為Q，且eq\o(QP，\s\up6(→））·eq\o(QF，\s\up6(→）)＝eq\o（FP,\s\up6（→))·eq\o（FQ，\s\up6(→)）.則動點P的軌跡C的方程是________.答案y2＝4x（x≥0)解析設(shè)點P（x，y），則Q（－1,y)。由eq\o(QP，\s\up6(→))·eq\o（QF，\s\up6(→））＝eq\o(FP，\s\up6（→))·eq\o(FQ,\s\up6(→）)，得（x＋1,0)·（2，－y)＝(x－1，y)·（－2，y)，所以2(x＋1）＝－2（x－1）＋y2,化簡得y2＝4x(x≥0)。三、解答題11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點F（0,2），一條曲線在x軸的上方,它上面的每一點到F的距離減去到x軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程。解設(shè)點M（x，y）是所求曲線上任意一點，因為曲線在x軸的上方，所以y〉0.過點M作MB⊥x軸，垂足是點B，則｜MF|－｜MB｜＝2，即eq\r(x2＋y－22）－y＝2，整理得x2＋(y－2)2＝（y＋2)2，化簡得y＝eq\f(1，8