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2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若x,y滿(mǎn)足約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,2.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3.如圖,在底面邊長(zhǎng)為1,高為2的正四棱柱中,點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn),則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為()A.2 B.3 C.4 D.54.已知雙曲線(xiàn)的左,右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)的直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)的右支于點(diǎn)P,以雙曲線(xiàn)的實(shí)軸為直徑的圓與直線(xiàn)l相切,切點(diǎn)為H,若,則雙曲線(xiàn)C的離心率為()A. B. C. D.5.已知為兩條不重合直線(xiàn),為兩個(gè)不重合平面,下列條件中,的充分條件是()A.∥ B.∥C.∥∥ D.6.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是()A. B. C. D.7.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),是以為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn),是線(xiàn)段上的點(diǎn),且,則直線(xiàn)的斜率的最大值為()A.1 B. C. D.8.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C. D.9.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.10.已知函數(shù)f(x)=eb﹣x﹣ex﹣b+c(b,c均為常數(shù))的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng),則f(5)+f(﹣1)=()A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.411.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,則|a+bi|=().A. B. C. D.512.給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項(xiàng)工作,每項(xiàng)工作至少一人,每人做且僅做一項(xiàng)工作,甲不能安排木工工作,則不同的安排方法共有()A.12種 B.18種 C.24種 D.64種二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列,,則的最小值為_(kāi)_______.14.函數(shù)的圖像如圖所示,則該函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_______.15.已知四棱錐,底面四邊形為正方形,,四棱錐的體積為,在該四棱錐內(nèi)放置一球,則球體積的最大值為_(kāi)________.16.在邊長(zhǎng)為的菱形中,點(diǎn)在菱形所在的平面內(nèi).若,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在三棱柱中,,,,且.(1)求證:平面平面;(2)設(shè)二面角的大小為,求的值.18.(12分)已知數(shù)列滿(mǎn)足,,其前n項(xiàng)和為.(1)通過(guò)計(jì)算,,,猜想并證明數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足,,,若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列,求常數(shù)t的取值范圍.19.(12分)設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線(xiàn)為,為過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的拋物線(xiàn)的弦,已知以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的值及該圓的方程;(2)設(shè)為上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的切線(xiàn),切點(diǎn)為,證明:.20.(12分)已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù),它們的前項(xiàng)和分別為,且,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求;(3)是否存在正整數(shù),使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿(mǎn)足條件的的值;若不存在,說(shuō)明理由.21.(12分)如圖,在直角中,,通過(guò)以直線(xiàn)為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到().點(diǎn)為斜邊上一點(diǎn).點(diǎn)為線(xiàn)段上一點(diǎn),且.(1)證明:平面;(2)當(dāng)直線(xiàn)與平面所成的角取最大值時(shí),求二面角的正弦值.22.(10分)已知A是拋物線(xiàn)E:y2=2px(p>0)上的一點(diǎn),以點(diǎn)A和點(diǎn)B(2,0)為直徑兩端點(diǎn)的圓C交直線(xiàn)x=1于M,N兩點(diǎn).(1)若|MN|=2,求拋物線(xiàn)E的方程;(2)若0<p<1,拋物線(xiàn)E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點(diǎn)為P,Q,點(diǎn)G為PQ的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線(xiàn)OG斜率的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】解:x、y滿(mǎn)足約束條件,表示的可行域如圖:目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí),函數(shù)取得最小值,由解得C(2,1),目標(biāo)函數(shù)的最小值為:4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4,+∞).故選D.2.B【解析】
利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價(jià)關(guān)系,即可得出?!驹斀狻吭O(shè)對(duì)應(yīng)的集合是,由解得且對(duì)應(yīng)的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B?!军c(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè),如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。3.A【解析】
根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀,結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知,三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長(zhǎng)為高為的三角形,其面積都是,正視圖與側(cè)視圖的面積之和為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和,解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀,考查空間想象能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】
在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【詳解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)離心率的計(jì)算問(wèn)題,處理雙曲線(xiàn)離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系,本題是一道中檔題.5.D【解析】
根據(jù)面面垂直的判定定理,對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】對(duì)于A,當(dāng),,時(shí),則平面與平面可能相交,,,故不能作為的充分條件,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng),,時(shí),則,故不能作為的充分條件,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng),,時(shí),則平面與平面相交,,,故不能作為的充分條件,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng),,,則一定能得到,故D正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判斷問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
結(jié)合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性,結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】A:為非奇非偶函數(shù),不符合題意;B:在上不單調(diào),不符合題意;C:為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,符合題意;D:為非奇非偶函數(shù),不符合題意.故選:C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
設(shè),因?yàn)?,得到,利用直線(xiàn)的斜率公式,得到,結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】由題意,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,設(shè),因?yàn)?,即線(xiàn)段的中點(diǎn),所以,所以直線(xiàn)的斜率,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號(hào)成立,所以直線(xiàn)的斜率的最大值為1.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線(xiàn)的方程及其應(yīng)用,直線(xiàn)的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于中檔試題.8.D【解析】
首先求得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意知復(fù)數(shù),則,所以A選項(xiàng)不正確;復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,所以B選項(xiàng)不正確;,所以C選項(xiàng)不正確;,所以D選項(xiàng)正確.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想.9.D【解析】
結(jié)合三視圖可知,該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.【詳解】由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱,則上半部分的半個(gè)圓錐的體積,下半部分的正三棱柱的體積,故該幾何體的體積.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查空間幾何體的體積,考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.10.C【解析】
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性即可求出答案.【詳解】解:∵點(diǎn)(5,f(5))與點(diǎn)(﹣1,f(﹣1))滿(mǎn)足(5﹣1)÷2=2,故它們關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱(chēng),所以f(5)+f(﹣1)=2,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用,屬于中檔題.11.C【解析】試題分析:由已知,-2a+i=1-bi,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,選C考點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,復(fù)數(shù)相等的充要條件,復(fù)數(shù)的模12.C【解析】
根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:①,將4人分成3組,②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,將剩下的2組全排列,安排其他的2項(xiàng)工作,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:①,將4人分成3組,有種分法;②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,有2種情況,將剩下的2組全排列,安排其他的2項(xiàng)工作,有種情況,此時(shí)有種情況,則有種不同的安排方法;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.27【解析】
利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合其下標(biāo)和性質(zhì)和均值不等式即可容易求得.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,則,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì),涉及均值不等式求和的最小值,屬綜合基礎(chǔ)題.14.【解析】
根據(jù)圖象利用,先求出的值,結(jié)合求出,然后利用周期公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解:由,得,,,則,,,即,則函數(shù)的最小正周期,故答案為:8【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)周期的求解,結(jié)合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵.15.【解析】
由題知,該四棱錐為正四棱錐,作出該正四棱錐的高和斜高,連接,則球心O必在的邊上,設(shè),由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知,設(shè),用和表示四棱錐的體積,解得和的關(guān)系,進(jìn)而表示出內(nèi)切球的半徑,并求出半徑的最大值,進(jìn)而求出球的體積的最大值.【詳解】設(shè),,由球O內(nèi)切于四棱錐可知,,,則,球O的半徑,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,此時(shí).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了棱錐的體積問(wèn)題,內(nèi)切球問(wèn)題,考查空間想象能力,屬于較難的填空壓軸題.16.【解析】
以菱形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,再設(shè),根據(jù)求出的坐標(biāo),進(jìn)而求得即可.【詳解】解:連接設(shè)交于點(diǎn)以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以直線(xiàn)為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則:設(shè)得,解得,,或,顯然得出的是定值,取則,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解向量數(shù)量積的有關(guān)問(wèn)題,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)要證明平面平面,只需證明平面即可;(2)取的中點(diǎn)D,連接BD,以B為原點(diǎn),以,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,分別計(jì)算平面的法向量為與平面的法向量為,利用夾角公式計(jì)算即可.【詳解】(1)在中,,所以,即.因?yàn)椋?,,所?所以,即.又,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)由題意知,四邊形為菱形,且,則為正三角形,取的中點(diǎn)D,連接BD,則.以B為原點(diǎn),以,,的方向分別為x,y,z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量為,且,.由得取.由四邊形為菱形,得;又平面,所以;又,所以平面,所以平面的法向量為.所以.故.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角正弦值的問(wèn)題,在利用向量法時(shí),關(guān)鍵是點(diǎn)的坐標(biāo)要寫(xiě)準(zhǔn)確,本題是一道中檔題.18.(1),證明見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)首先利用賦值法求出的值,進(jìn)一步利用定義求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)首先利用疊乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)一步利用數(shù)列的單調(diào)性和基本不等式的應(yīng)用求出參數(shù)的范圍.【詳解】(1)數(shù)列滿(mǎn)足,,其前項(xiàng)和為.所以,,則,,,所以猜想得:.證明:由于,所以,則:(常數(shù)),所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列.所以,整理得.(2)數(shù)列滿(mǎn)足,,所以,則,所以.則,所以,所以,整理得,由于,所以,即.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,疊乘法的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用,基本不等式的應(yīng)用,主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于中檔題型.19.(1),圓的方程為:.(2)答案見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)題意,可知點(diǎn)的坐標(biāo)為,即可求出的值,即可求出該圓的方程;(2)由題易知,直線(xiàn)的斜率存在且不為0,設(shè)的方程為,與拋物線(xiàn)聯(lián)立方程組,根據(jù),求得,化簡(jiǎn)解得,進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)為,分別求出,,利用向量的數(shù)量積為0,即可證出.【詳解】解:(1)易知點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,解得.又圓的圓心為,所以圓的方程為.(2)證明易知,直線(xiàn)的斜率存在且不為0,設(shè)的方程為,代入的方程,得.令,得,所以,解得.將代入的方程,得,即點(diǎn)的坐標(biāo)為.所以,,.故.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的方程,考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系,利用聯(lián)立方程組、求交點(diǎn)坐標(biāo)以及向量的數(shù)量積,考查解題能力和計(jì)算能力.20.(1);(2);(3)存在,1.【解析】
(1)利用基本量法直接計(jì)算即可;(2)利用錯(cuò)位相減法計(jì)算;(3),令可得,,討論即可.【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公比為,因?yàn)椋?,即,解得,或(舍去?所以.(2),,所以,所以.(3)由(1)可得,,所以.因?yàn)槭菙?shù)列或中的一項(xiàng),所以,所以,因?yàn)?,所以,又,則或.當(dāng)時(shí),有,即,令.則.當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,即.由,知無(wú)整數(shù)解.當(dāng)時(shí),有,即存在使得是數(shù)列中的第2項(xiàng),故存在正整數(shù),使得是數(shù)列中的項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用,涉及到等差、等比數(shù)列的通項(xiàng),錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,數(shù)列中的存在性問(wèn)題,是一道較為綜合的題.21.(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)先算出的長(zhǎng)度,利用勾股定理證明,再由已知可得,利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明;(2)由(1)可得為直線(xiàn)與平面所成的角,要使其最大,則應(yīng)最小,可得為中點(diǎn),然后建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值,進(jìn)一步得到正弦值.【詳解】(1)在中,,由余弦定理得,∴,∴,由題意可知:∴,,,∴平面,平面,∴,又,∴平面.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,的方向?yàn)椋?,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.∵平面,∴在平面上的射影是,∴
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