研究生入學(xué)考試數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

“p的大小如何？”“p大概落在什么范圍內(nèi)？”“能否認(rèn)為p滿(mǎn)足設(shè)定要求（如p≤5%）？”

從上例中不難看出,在概率論中研究的隨機(jī)變量,它們的概率分布往往是已知的,但這在實(shí)際問(wèn)題中,我們考察的隨機(jī)現(xiàn)象雖然可以用某個(gè)隨機(jī)變量X去描述它們,但X的概率分布往往是未知的,這就需要我們用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)解決此類(lèi)實(shí)際問(wèn)題,由此可見(jiàn),數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)在理論和應(yīng)用上的重要性.第1頁(yè)/共42頁(yè)第一頁(yè)，共43頁(yè)?！?總體與樣本§2.1總體與個(gè)體

在一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中,我們把研究對(duì)象的全體稱(chēng)為總體,構(gòu)成總體的每個(gè)成員稱(chēng)為個(gè)體.對(duì)多數(shù)實(shí)際問(wèn)題.總體中的個(gè)體是一些實(shí)在的人或物.比如,我們要研究某大學(xué)的學(xué)生身高情況,則該大學(xué)的全體學(xué)生構(gòu)成問(wèn)題的總體,而每一個(gè)學(xué)生即是一個(gè)個(gè)體.事實(shí)上,每個(gè)學(xué)生有許多特征：性別、年齡、身高、體重、民族、籍貫等.而在該問(wèn)題中,我們關(guān)心的只是該校學(xué)生的身高如何,對(duì)其他的特征暫不予以考慮.這樣,每個(gè)學(xué)生（個(gè)體）所具有的數(shù)量指標(biāo)值——身高就是個(gè)體,而將所有身高全體看成總體.這樣一來(lái),若拋開(kāi)實(shí)際背景,總體就是一堆數(shù),這堆數(shù)中有大有小,有的出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多,有的出現(xiàn)的機(jī)會(huì)少,因此用一個(gè)概率分布去描述和歸納總體是恰當(dāng)?shù)?從這個(gè)意義上看,總體就是一個(gè)分布,而其數(shù)量指標(biāo)就是服從這個(gè)分布的隨機(jī)變量.以后說(shuō)“從總體中抽樣”與“從某分布中抽樣”是同一個(gè)意思.第2頁(yè)/共42頁(yè)第二頁(yè)，共43頁(yè)?！纠?-1】考察某廠的產(chǎn)品質(zhì)量,將其產(chǎn)品只分為合格品與不合格品,并以0記合格品,以1記不合格品,則

總體={該廠生產(chǎn)的全部合格品與不合格品}={由0或1組成的一堆數(shù)}.

若以p表示這堆數(shù)中1的比例（不合格品率）,則該總體可由一個(gè)二點(diǎn)分布表示：

不同的p反映了總體間的差異.例如,兩個(gè)生產(chǎn)同類(lèi)產(chǎn)品的工廠的產(chǎn)品總體分布為：

我們可以看到,第一個(gè)工廠的產(chǎn)品質(zhì)量?jī)?yōu)于第二個(gè)工廠.實(shí)際中,分布中的不合格品率是未知的,如何對(duì)之進(jìn)行估計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)要研究的問(wèn)題.

第3頁(yè)/共42頁(yè)第三頁(yè)，共43頁(yè)?！?.2樣本

為了了解總體的分布,我們從總體中隨機(jī)地抽取n個(gè)個(gè)體,記其指標(biāo)值為x1,x2,…,xn,則x1,x2,…,xn稱(chēng)為總體的一個(gè)樣本,n稱(chēng)為樣本容量,或簡(jiǎn)稱(chēng)樣本量,樣本中的個(gè)體稱(chēng)為樣品.

我們首先指出,樣本具有所謂的二重性：一方面,由于樣本是從總體中隨機(jī)抽取的,抽取前無(wú)法預(yù)知它們的數(shù)值,因此,樣本是隨機(jī)變量,用大寫(xiě)字母X1,X2,…,Xn表示；另一方面,樣本在抽取以后經(jīng)觀測(cè)就有確定的觀測(cè)值,因此,樣本又是一組數(shù)值.此時(shí)用小寫(xiě)字母x1,x2,…,xn表示是恰當(dāng)?shù)?簡(jiǎn)單起見(jiàn),無(wú)論是樣本還是其觀測(cè)值,本書(shū)中樣本一般均用x1,x2,…,xn表示,讀者應(yīng)能從上下文中加以區(qū)別.第4頁(yè)/共42頁(yè)第四頁(yè)，共43頁(yè)。[例6-2]啤酒廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒規(guī)定凈含量為640g,由于隨機(jī)性,事實(shí)上不可能使得所有的啤酒凈含量均為640g,現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的啤酒中隨機(jī)抽取10瓶測(cè)定其凈含量,得到如下結(jié)果：

641

635

640

637

642

638

645

643

639

640

這是一個(gè)容量為10的樣本的觀測(cè)值.對(duì)應(yīng)的總體為該廠生產(chǎn)的瓶裝啤酒的凈含量.

從總體中抽取樣本時(shí),為使樣本具有代表性,抽樣必須是隨機(jī)抽樣.通常可以用隨機(jī)數(shù)表來(lái)實(shí)現(xiàn)隨機(jī)抽樣.還要求抽樣必須是獨(dú)立的,即每次的結(jié)果互不影響.在概率論中,在有限總體（只有有限個(gè)個(gè)體的總體）中進(jìn)行有放回抽樣,是獨(dú)立的隨機(jī)抽樣；然而,若為不放回抽樣,則是不獨(dú)立的抽樣.第5頁(yè)/共42頁(yè)第五頁(yè)，共43頁(yè)。但當(dāng)總體容量N很大但樣本容量n較小時(shí),不放回抽樣可以近似地看做放回抽樣,即可近似看做獨(dú)立隨機(jī)抽樣.

下面,我們假定抽樣方式總滿(mǎn)足獨(dú)立隨機(jī)抽樣的條件.

從總體中抽取樣本可以有不同的抽法,為了能由樣本對(duì)總體做出較可靠的推斷,就希望樣本能很好地代表總體.這就需要對(duì)抽樣方法提出一些要求,最常用的“簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣”有如下兩個(gè)要求：

（1）樣本具有隨機(jī)性,即要求總體中每一個(gè)個(gè)體都有同等機(jī)會(huì)被選入樣本,這便意味著每一樣品xi與總體X有相同的分布.第6頁(yè)/共42頁(yè)第六頁(yè)，共43頁(yè)。（2）樣本要有獨(dú)立性,即要求樣本中每一樣品的取值不影響其他樣品的取值,這意味著x1,x2,…,xn相互獨(dú)立.

用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法得到的樣本稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,也簡(jiǎn)稱(chēng)樣本.除非特別指明,本書(shū)中的樣本皆為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.

于是,樣本x1,x2,…,xn可以看成是相互獨(dú)立的具有同一分布的隨機(jī)變量,其共同分布即為總體分布.

第7頁(yè)/共42頁(yè)第七頁(yè)，共43頁(yè)。

設(shè)總體X具有分布函數(shù)F（x）,x1,x2,…,xn為取自該總體的容量為n的樣本,則樣本聯(lián)合分布函數(shù)為：

若總體具有密度函數(shù)f(x),則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為

若總體X為離散型隨機(jī)變量,則樣本的（聯(lián)合）概率函數(shù)為

顯然,通常說(shuō)的樣本分布是指多維隨機(jī)變量（x1,x2,…,xn）的聯(lián)合分布.第8頁(yè)/共42頁(yè)第八頁(yè)，共43頁(yè)?？傮w、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體樣本樣本觀察值？理論分布統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料——樣本觀察值,去推斷總體的情況——總體分布.樣本是聯(lián)系兩者的橋梁.總體分布決定了樣本取值的概率規(guī)律,也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)律,因而可以用樣本觀察值去推斷總體第9頁(yè)/共42頁(yè)第九頁(yè)，共43頁(yè)。[例6-3]為估計(jì)一物件的重量μ，用一架天平重復(fù)測(cè)量n次，得樣本x1，x2，…，xn，由于是獨(dú)立重復(fù)測(cè)量，x1，x2，…，xn是簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本?？傮w的分布即x1的分布（x1，x2，…，xn分布相同）。由于稱(chēng)量誤差是均值（期望）為零的正態(tài)變量，所以x1可認(rèn)為服從正態(tài)分布N（μ，σ2）（X1等于物件重量μ）加上稱(chēng)量誤差，即x1的概率密度為

這樣，樣本分布密度為

第10頁(yè)/共42頁(yè)第十頁(yè)，共43頁(yè)。[例6-4]設(shè)某種電燈泡的壽命X服從指數(shù)分布E（λ）,其概率密度為：

則來(lái)自這一總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本x1，x2，…，xn的樣本分布密度為

第11頁(yè)/共42頁(yè)第十一頁(yè)，共43頁(yè)。[例6-5]考慮電話(huà)交換臺(tái)一小時(shí)內(nèi)的呼喚次數(shù)X。求來(lái)自這一總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本x1，x2，…，xn的樣本分布。

解由概率論知識(shí)，X服從泊松分布P（λ），其概率函數(shù)（其中x是非負(fù)整數(shù)｛0，1，2，…，k，…｝中的一個(gè)）。從而，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本x1，x2，…，xn的樣本分布為：

第12頁(yè)/共42頁(yè)第十二頁(yè)，共43頁(yè)。§3統(tǒng)計(jì)量及其分布§3.1統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布

樣本來(lái)自總體，樣本的觀測(cè)值中含有總體各方面的信息，但這些信息較為分散，有時(shí)顯得雜亂無(wú)章。為將這些分散在樣本中有關(guān)總體的信息集中起來(lái)以反映總體的各種特征，需要對(duì)樣本進(jìn)行加工。最常用的加工方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。

第13頁(yè)/共42頁(yè)第十三頁(yè)，共43頁(yè)。定義1

設(shè)x1，x2，…，xn為取自某總體的樣本，若樣本函數(shù)T＝T（x1，x2，…，xn）中不含有任何未知參數(shù)，則稱(chēng)T為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布。按照這一定義，若x1，x2，…，xn為樣本，則

都是統(tǒng)計(jì)量，而當(dāng)μ，σ2未知時(shí)，，

等均不是統(tǒng)計(jì)量.

第14頁(yè)/共42頁(yè)第十四頁(yè)，共43頁(yè)?！?.2經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)設(shè)x1,x2,...,xn

是取自總體分布函數(shù)為F(x)的樣本,若將樣本觀測(cè)值由小到大進(jìn)行排列,為x(1),x(2),...,x(n)

,則x(1),x(2),...,x(n)

稱(chēng)為有序樣本，用有序樣本定義如下函數(shù)則是一減右連續(xù)函數(shù),且滿(mǎn)足由此可見(jiàn),是一個(gè)分布函數(shù),并稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).第15頁(yè)/共42頁(yè)第十五頁(yè)，共43頁(yè)。例總體X，樣本觀察值1，2，2，2，3，3，3，4，則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為

經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)如右圖所示：第16頁(yè)/共42頁(yè)第十六頁(yè)，共43頁(yè)?！?.3樣本均值及其抽樣分布定義2

設(shè)x1，x2，…，xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱(chēng)為樣本均值，一般用表示，即[例6-6]某單位收集到20名青年人某月的娛樂(lè)支出費(fèi)用數(shù)據(jù)：

79

84

84

88

92

93

94

97

98

99

100

101

101102

102108

110

113

118

125

則該月這20名青年的平均娛樂(lè)支出為第17頁(yè)/共42頁(yè)第十七頁(yè)，共43頁(yè)。對(duì)于樣本均值的抽樣分布,我們有下面的定理

定理1設(shè)x1，x2，…，xn是來(lái)自某個(gè)總體X的樣本,

為樣本均值.

（1）若總體分布為N（μσ2）,則的精確分布為

N（μσ2/n）;（2）若總體X分布未知（或不是正態(tài)分布）,且

E(X)=μ,D(X)=σ2,則當(dāng)樣本容量n較大時(shí),

的漸近分布為N（μσ2/n）,這里的漸近分布是指n較大時(shí)的近似分布

證明（1）由于為獨(dú)立正態(tài)變量線(xiàn)性組合，故仍服從正態(tài)分布.另外，

故第18頁(yè)/共42頁(yè)第十八頁(yè)，共43頁(yè)。（2）易知為獨(dú)立、同分布的隨機(jī)變量之和，且由中心極限定理，

其中Φ（x）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.這表明n較大時(shí)的漸近分布為N（μσ2/n）.

第19頁(yè)/共42頁(yè)第十九頁(yè)，共43頁(yè)。§3.4樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差定義3設(shè)x1，x2，…，xn為取自某總體的樣本，則它關(guān)于樣本均值的平均偏差平方和稱(chēng)為樣本方差，其算術(shù)根 稱(chēng)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.相對(duì)樣本方差而言,樣本標(biāo)準(zhǔn)差通常更有實(shí)際意義,因?yàn)樗c樣本均值具有相同的度量單位.在上面定義中,n為樣本容量,

稱(chēng)為偏差平方和,第20頁(yè)/共42頁(yè)第二十頁(yè)，共43頁(yè)。它有3個(gè)不同的表達(dá)式：偏差平方和的這3個(gè)表達(dá)式都可用來(lái)計(jì)算樣本方差.第21頁(yè)/共42頁(yè)第二十一頁(yè)，共43頁(yè)。[例6-7]在例6-6中，我們已經(jīng)算得

其樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差為方法二∴s=11.5731通常用第二種方法計(jì)算s2方便許多.第22頁(yè)/共42頁(yè)第二十二頁(yè)，共43頁(yè)。

下面的定理給出樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差以及樣本方差的數(shù)學(xué)期望,它不依賴(lài)于總體的分布形式.這些結(jié)果在后面的討論中是有用的.定理2設(shè)總體X具有二階矩,即E(x)=μ,D(X)=σ2<+∞

x1,x2,…,xn為從該總體得到的樣本,和s2分別是樣本均值和樣本方差,則

(6.3.3)(6.3.4)

此定理表明,樣本均值的均值與總體均值相同,而樣本均值的方差是總體方差的1/n.

第23頁(yè)/共42頁(yè)第二十三頁(yè)，共43頁(yè)。證明由于故（6.3.3）式成立。下證（6.3.4），注意到

（1）

（2）

，而于是

兩邊各除以n-1,即得（6.3.4）式

值得讀者注意的是:本定理的結(jié)論與總體服從什么分布無(wú)關(guān).

第24頁(yè)/共42頁(yè)第二十四頁(yè)，共43頁(yè)?！?.5樣本矩及其函數(shù)樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩,這是一類(lèi)常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)量.

定義4設(shè)x1,x2,…,xn是樣本,則統(tǒng)計(jì)量（6.3.5）

稱(chēng)為樣本k階原點(diǎn)矩,特別地,樣本一階原點(diǎn)矩就是樣本均值.統(tǒng)計(jì)量

（6.3.6）

稱(chēng)為樣本k階中心矩.常見(jiàn)的是k=2的場(chǎng)合,此時(shí)稱(chēng)為二階樣本中心矩.本書(shū)中我們將其記為sn2,以區(qū)別樣本方差S2.

第25頁(yè)/共42頁(yè)第二十五頁(yè)，共43頁(yè)?！?.6極大順序統(tǒng)計(jì)量和極小順序統(tǒng)計(jì)量定義5設(shè)總體X具有分布函數(shù)F(x),分布密度f(wàn)（x）,x1,x2,…,xn為其樣本,我們分別稱(chēng)X（1）=min{x1,x2,…xn},x（n）=max{x1,x2,…xn}為極小順序統(tǒng)計(jì)量和極大順序統(tǒng)計(jì)量

定理3若x(1),x(n)分別為極小、極大順序統(tǒng)計(jì)量,則

（1）x(1)的分布函數(shù)F1(x)=1-(1-F(x))n,x(1)的分布密度f(wàn)1(x)=n-(1-F(x))n-1f(x)

（2）x（n）的分布函數(shù)Fn(x)=[F(x)]n,x(n)的分布密度f(wàn)n(x)=n[F(x)]n-1f(x)第26頁(yè)/共42頁(yè)第二十六頁(yè)，共43頁(yè)。證明

先求出x(1)及x(n)的分布函數(shù)F1(x)及Fn(x)：

分別對(duì)F1（x）,Fn（x）求導(dǎo)即得第27頁(yè)/共42頁(yè)第二十七頁(yè)，共43頁(yè)?！?.7正態(tài)總體的抽樣分布

有很多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)總體的假設(shè)的,以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量（其抽樣分布分別為x2分布,t分布和F分布）在實(shí)踐中有著廣泛的應(yīng)用.這是因?yàn)檫@三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不僅有明確背景,而且其抽樣分布的密度函數(shù)有“明確的表達(dá)式”,它們被稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)中的“三大抽樣分布”.定義6設(shè)X1,X2,…,Xn獨(dú)立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0,1）,則χ2

=x12+…xn2的分布稱(chēng)為自由度為n的χ2分布，記為χ2

～χ2

（n）

（一）χ2分布（卡方分布）第28頁(yè)/共42頁(yè)第二十八頁(yè)，共43頁(yè)。χ2（n）分布的密度函數(shù)見(jiàn)圖6-4圖6-4第29頁(yè)/共42頁(yè)第二十九頁(yè)，共43頁(yè)。當(dāng)隨機(jī)變量χ2

～

χ2

（n）時(shí),對(duì)給定的α（0<α<1）,稱(chēng)滿(mǎn)足p{χ2

>χα2（n）}=

α的χα2（n）}是自由度為n的開(kāi)方分布的α分位數(shù).分位數(shù)χ2（n）}可以從附表4中查到.例如n=10,α=0.05,那么從附表4中查得χα2(10)=18.307.

p(x)2>χ2

0.05(10)=p{x2>18.307=0.05

注:請(qǐng)讀者注意χ2

～χ2

（n）時(shí),n是自由度,不是容量.aca2(n)第30頁(yè)/共42頁(yè)第三十頁(yè)，共43頁(yè)。（二）F分布定義7

設(shè)x1～x2(m)，x2～x2(n)X1與X2獨(dú)立，則稱(chēng)

的分布是自由度為m與n的F分布，記為F～F(m,n),其中m稱(chēng)為分子自由度,n稱(chēng)為分母自由度

自由度為m與n的F分布的密度函數(shù)的圖像是一個(gè)只取非負(fù)值的偏態(tài)分布（見(jiàn)圖6-5）

第31頁(yè)/共42頁(yè)第三十一頁(yè)，共43頁(yè)。當(dāng)隨機(jī)變量F～F（m,n）時(shí),對(duì)給定的α（0<α<1）,稱(chēng)滿(mǎn)足P{F>Fα}（m,n）=α的數(shù)Fα（m,n）是自由度為m與n的F分布的α分位數(shù).

當(dāng)F～F（m，n）時(shí),有下面性質(zhì)（不證）這說(shuō)明

（6.3.8）

對(duì)小的α,分位為Fα（m,n）可以從附表5中查到,而分位數(shù)F1-α（m,n）則可通過(guò)（6.3.8）式得到.

第32頁(yè)/共42頁(yè)第三十二頁(yè)，共43頁(yè)?！纠?-8】若取m=10,則n=5,α=0.05，那么從附表5上（m=n1,n=n2）查得

F0.05（10,5）=4.74

利用（6.3.8）式可得到（三）t分布定義8

設(shè)隨機(jī)變量與X1與X2獨(dú)立且X1～N(0,1),X2～X2（n）,則稱(chēng)的分布為自由度為n的t的分布,記為t～t（n）

第33頁(yè)/共42頁(yè)第三十三頁(yè)，共43頁(yè)。t分布密度函數(shù)的圖像是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)的分布（圖6-6）,與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形態(tài)類(lèi)似,只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些,尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些.圖6-6t分布與N（0,1）的密度函數(shù)

第34頁(yè)/共42頁(yè)第三十四頁(yè)，共43頁(yè)。當(dāng)隨機(jī)變量t～t（n）時(shí)，稱(chēng)滿(mǎn)足P{t>tα（n）}=α的tα（n）是自由度為n的t分布的α分位數(shù)，分位數(shù)tα（n）可以從附表3中查到，例如當(dāng)n=10,α=0.05時(shí)，從附表3上查得

t0.05（10）=1.8125

由于t分布的密度函數(shù)關(guān)于0對(duì)稱(chēng)，故其分位數(shù)有如下關(guān)系：

t1-α（n）=-tα（n）

例如，

t0.95（10）=-t0.05（10）=-1.8125

當(dāng)n很大時(shí)，（n≥30）,t分布可以用N（0，1）近似

第35頁(yè)/共42頁(yè)第三十五頁(yè)，共43頁(yè)。P（t>-tα）=1-α,p（t>t1-α）=1-α，∴t1-α=-tα

第36頁(yè)/共42頁(yè)第三十六頁(yè)，共43頁(yè)。4.一些重要結(jié)論

來(lái)自一般正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差S2的抽樣分布是應(yīng)用最廣的