控制 系統(tǒng)的穩(wěn)定性

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性第一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日由上例可知：(1)線性系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生與否,取決于系統(tǒng)內(nèi)部條件，而與輸入無(wú)關(guān)。(2)系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象必有適當(dāng)?shù)姆答佔(zhàn)饔谩?3)控制理論中所討論的穩(wěn)定性其實(shí)都是指自由振蕩下的穩(wěn)定性,也就是說,是討論輸入為零,系統(tǒng)僅存在有初始狀態(tài)不為零時(shí)的穩(wěn)定性。第二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日(二)穩(wěn)定的定義和條件1.穩(wěn)定的定義:

設(shè)一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài)，若它在瞬間受到某一擾動(dòng)而偏離了原有的平衡狀態(tài)。當(dāng)此擾動(dòng)撤消后，系統(tǒng)借助于自身的調(diào)節(jié)作用，如能使偏差不斷的減小，最后仍能回到原來(lái)的平衡狀態(tài)，則稱此系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之，則稱為不穩(wěn)定。如圖所示。圖5.1.2穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的響應(yīng)曲線穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，它與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)只取決其本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。第三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日2、穩(wěn)定的充要條件:

系統(tǒng)的全部特征根都具有負(fù)實(shí)部。即系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均位于[s]平面的左半平面，系統(tǒng)則穩(wěn)定。

若特征根中只要有一個(gè)或一個(gè)以上具有正實(shí)部,則系統(tǒng)必不穩(wěn)定。第四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日第二節(jié)Routh(勞斯)穩(wěn)定判據(jù)(一)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設(shè)系統(tǒng)特征方程為:系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:

ai>0且ai≠0(i=0,1,…,n)第五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例1：(1)

(2)

(3)一項(xiàng)為負(fù)，不穩(wěn)定。滿足必要條件，可能穩(wěn)定。ai>0且ai≠0(i=0,1,…,n)缺項(xiàng)，不穩(wěn)定。第六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日(二)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1.Routh表第七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日2、Routh穩(wěn)定判據(jù)

（1）若勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值,則系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）如果表中第一列的系數(shù)有正、負(fù)符號(hào)變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S右半平面上的個(gè)數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。第八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例2、系統(tǒng)的特征方程為:D(s)=s4+s3–19s2+11s+30=0s41–1930s31110

s2[1×(-19)–1×11]/1=–30300s1[(–30)×11–1×30]/(–30)=1200s03000由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次，所以該方程中有二個(gè)根在S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例3：Routh表S4282S3230S20

S100S02

00

注意:在展開的Routh表中，可用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一整個(gè)行而不改變穩(wěn)定性結(jié)論。第十頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例4S41820S35160S2200S100

S02000第一列符號(hào)改變兩次，說明有兩個(gè)根在右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。第十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例5已知系統(tǒng)的特征方程為求系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍欲使系統(tǒng)穩(wěn)定則應(yīng)滿足解不等式組得：第十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日二階、三階系統(tǒng)的Routh穩(wěn)定判據(jù):(1)二階系統(tǒng)(n=2)穩(wěn)定的充要條件為:ai>0且ai≠0(3)三階系統(tǒng)(n=3)穩(wěn)定的充要條件為:

ai>0,a1a2>a0a3且ai≠0

s2a2a0s3a3a10s1a10s2a2a00s0a00s1A1=[a1a2-a0a3]/a200s0a000

D(s)=a3s3+a2s2

+a1s+a0=0D(s)=a2s2

+a1s+a0=0第十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日(三)Routh判據(jù)的特殊情況

排勞斯表時(shí)，有兩種可能出現(xiàn)的特殊情況：1）勞斯表中某一行的第一項(xiàng)等于零，而該行的其余各項(xiàng)不全為零。解決的辦法是以一個(gè)很小的正數(shù)ε來(lái)代替為零的這項(xiàng)。然后完成勞斯表的排列。如果第一列ε上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號(hào)相同，則表示方程中有一對(duì)共軛虛根存在；如果第一列系數(shù)中有符號(hào)變化，其變化的次數(shù)等于該方程在S平面右半面上根的數(shù)目。結(jié)論：第十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日特殊情況（1）

Routh表第一列出現(xiàn)零元素例6S5121S4241S301/20S210S11/200S0100系統(tǒng)不穩(wěn)定，第一列元素兩次變號(hào)，有兩個(gè)正根在右半平面。第十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例7已知系統(tǒng)的特征方程為試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：列勞斯表方程中有對(duì)虛根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。，第十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日2）、如果當(dāng)Routh表的任意一行中的所有元均為零時(shí)，可利用該行的上一行的元構(gòu)成一個(gè)輔助多項(xiàng)式，并用這個(gè)多項(xiàng)式方程導(dǎo)數(shù)的系數(shù)組成Routh表的下一行。這種情況，則表示相應(yīng)方程中含有一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根。這些根可以通過求解這個(gè)輔助方程式得到。第十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日特殊情況

（2）Routh表中某一行全為零例8S61694S51540S41540S3S22.5400S13.6000S040000000

41000輔助方程某一行全為零，說明在虛軸有共軛虛根。令F(s)=s4+5s2+4=0，求得兩對(duì)大小相等、符號(hào)相反的根：±j2、±j1；顯然這個(gè)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。第十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例9S6182016S5212160S4212160S3S23800S11/3000S080000000

41200輔助方程某一行全為零，說明在虛軸有共軛虛根。令F(s)=s4+6s2+8=0，求得兩對(duì)大小相等、符號(hào)相反的根：，顯然這個(gè)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。第十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例10特征方程G(s)+－Xi(s)Xo(s)S312S23kS10S0k0為穩(wěn)定條件確定K的穩(wěn)定范圍。解：第二十頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日第三節(jié)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)(一)幅角原理設(shè)有一復(fù)變函數(shù)若在[s]平面上任意選定一封閉曲線Ls，只要此曲線不經(jīng)過F(s)的奇點(diǎn)，則在[F(s)]平面上必有一對(duì)應(yīng)的映射曲線LF也是一封閉曲線。當(dāng)s按順時(shí)針方向沿Ls變化一周時(shí)，F(xiàn)(s)將以原點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)N周。若令Z為包圍于Ls內(nèi)的F(s)的零點(diǎn)數(shù)，P為包圍于Ls內(nèi)的F(s)的極點(diǎn)數(shù)，則

N=Z-P第二十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日(二)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)1、F(s)與GK(s),GB(s)零點(diǎn)和極點(diǎn)的關(guān)系

設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程為：令第二十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日GB(s)F(s)GK(s)

零點(diǎn)極點(diǎn)

零點(diǎn)極點(diǎn)零點(diǎn)極點(diǎn)

相同

相同

原來(lái)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是GB(s)的全部極點(diǎn)均須具有負(fù)實(shí)部,現(xiàn)在卻變?yōu)镕(s)的全部零點(diǎn)須具有負(fù)實(shí)部，即F(s)在[s]右半平面無(wú)零點(diǎn)。第二十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日函數(shù)F(s)具有下列特點(diǎn):(1)它的零點(diǎn)即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)的極點(diǎn),它的極點(diǎn)即系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的極點(diǎn);(2)[GH]平面上的(-1,j0)點(diǎn)就是[F]平面上的原點(diǎn)。

所以在[GH]平面上包圍點(diǎn)(-1,j0)的圈數(shù)N，就等于在[F]平面上LF包圍原點(diǎn)的圈數(shù)N。第二十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日1、幅角原理:F(s)將以原點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)N周。N=Z-P2、系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:F(s)在[s]右半平面無(wú)零點(diǎn)。即Z=0

選擇一條包圍整個(gè)[s]右半平面的封閉曲線Ls。3、[GH]平面上的(-1,j0)點(diǎn)，就是[F]平面上的原點(diǎn)。

N=Z－P=－P即在[GH]平面上的開環(huán)頻率特性逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。第二十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日2、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)ω由-∞到+∞時(shí)，若[GH]平面上的開環(huán)頻率特性逆時(shí)針方向包圍（-1，j0）點(diǎn)P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。P為G(s)H(s)在[s]平面的右半平面的極點(diǎn)數(shù)。對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，有P=0，此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性不包含（-1，j0）點(diǎn)。第二十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟:1、確定P為多少？2、作出開環(huán)Nyquist曲線，以回答N等于多少？3、確定Z是否為零？Z=N+P

若Z=0，表示閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；若Z≠0，表示閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。其中,P----開環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。

N----當(dāng)ω由-∞到+∞時(shí)，開環(huán)Nyquist曲線順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)。

Z----包圍于Ls內(nèi)的F(s)的零點(diǎn)數(shù)，即閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。第二十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例1(a)P=0、N=0、Z=N+P=0系統(tǒng)穩(wěn)定(b)P=0、N=2、Z=N+P=2系統(tǒng)不穩(wěn)定

第二十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例2P=1(由GK(s)表達(dá)式)開環(huán)頻率特性逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)1圈,閉環(huán)穩(wěn)定。P=1、N=－1、Z=N+P=0系統(tǒng)穩(wěn)定。第二十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日習(xí)題第三十頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日(三)開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)的Nyquist軌跡開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，Z=N+P=0不變，只須將Nyquist曲線順時(shí)針補(bǔ)充半徑為∞，角度為的大圓弧。第三十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日P=1、N=-1Z=N+P=0、系統(tǒng)穩(wěn)定例3第三十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日P=0、N=2Z=N+P=2、不穩(wěn)定例4第三十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日(五)Nyquist判據(jù)應(yīng)用舉例

P

=0(由GK(s)表達(dá)式)例5開環(huán)頻率特性不包含（-1，j0）點(diǎn)

,故系統(tǒng)穩(wěn)定。第三十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例6

P

=0若包含(-1，j0)點(diǎn),

則系統(tǒng)不穩(wěn)定;若不包含(-1，j0)點(diǎn),

系統(tǒng)穩(wěn)定。第三十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例7積分環(huán)節(jié)ν=1不包含(-1，j0)點(diǎn),

系統(tǒng)穩(wěn)定。P

=0第三十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例8P

=0若包含(-1，j0)點(diǎn),

則系統(tǒng)不穩(wěn)定;若不包含(-1，j0)點(diǎn),則系統(tǒng)穩(wěn)定。第三十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例9P

=0第三十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日習(xí)題第三十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例10、設(shè)系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線如圖所示。已知P=0，

v=3，判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。N=0Z=N+P=0所以系統(tǒng)穩(wěn)定第四十頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日(六)具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

延時(shí)環(huán)節(jié)不改變?cè)到y(tǒng)的幅頻特性，僅僅使相頻發(fā)生變化。第四十一頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日例如當(dāng)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，有解出τ=1.15當(dāng)τ<1.15時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,當(dāng)τ>1.15時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第四十二頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日習(xí)題：試確定K的穩(wěn)定范圍。第四十三頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日Nyquist穩(wěn)定判據(jù)小結(jié)：1、利用系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist曲線來(lái)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2、閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是

Z=N+P=0

其中,Z----閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。

P----開環(huán)系統(tǒng)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。

N----當(dāng)ω由-∞到+∞時(shí)，開環(huán)Nyquist曲線順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)。討論：1、開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（P=0），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是N=0，即開環(huán)Nyquist曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)；

2、開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定（P≠0），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是N=－P，即開環(huán)Nyquist曲線逆時(shí)針方向包圍（-1，j0）點(diǎn)P圈；

3、開環(huán)系統(tǒng)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，Z=N+P=0不變，只須將Nyquist曲線

順時(shí)針補(bǔ)充半徑為∞，角度為的大圓弧。

第四十四頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

習(xí)題．設(shè)系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線如圖所示。已知在s平面的右半平面開環(huán)極點(diǎn)數(shù)為2，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：(a)N=0P=2Z=N+P=2系統(tǒng)不穩(wěn)定

(b)N=2P=2Z=N+P=4系統(tǒng)不穩(wěn)定

(c)N=-2P=2Z=N+P=0系統(tǒng)穩(wěn)定第四十五頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日第四節(jié)Bode穩(wěn)定判據(jù)(一)Nyquist圖和Bode圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系:

(1)Nyquist圖上的單位圓對(duì)應(yīng)于Bode圖上的0分貝線,即對(duì)數(shù)幅頻特性的橫軸，而單位圓之外對(duì)應(yīng)于0分貝線之上，單位圓之內(nèi)對(duì)應(yīng)于0分貝線之下。

(2)Nyquist圖上的負(fù)實(shí)軸相當(dāng)于Bode圖上的-180°線,即對(duì)數(shù)相頻特性的橫軸。

第四十六頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日ωc

----Nyquist軌跡與單位圓交點(diǎn)的頻率,即對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與橫軸交點(diǎn)的頻率,稱為剪切頻率(或幅值穿越頻率、幅值交界頻率)。ωg

----Nyquist軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)的頻率,即對(duì)數(shù)相頻特性曲線與橫軸交點(diǎn)的頻率,稱為相位穿越頻率(或相位交界頻率)。

第四十七頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日(二)穿越的概念在Nyquist圖上:穿越:開環(huán)Nyquist軌跡在(-1,j0)點(diǎn)以左穿過負(fù)實(shí)軸。正穿越:開環(huán)Nyquist軌跡沿ω增加方向,自上而下穿過(-1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸。負(fù)穿越:開環(huán)Nyquist軌跡沿ω增加方向,自下而上穿過(-1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸。半次正穿越:開環(huán)Nyquist軌跡沿ω增加方向,自(-1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸開始向下。半次負(fù)穿越:開環(huán)Nyquist軌跡沿ω增加方向,自(-1,j0)點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸開始向上。第四十八頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日

正穿越一次，對(duì)應(yīng)于Nyquist軌跡逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)一圈；負(fù)穿越一次，對(duì)應(yīng)于Nyquist軌跡順時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)一圈。因此，開環(huán)Nyquist軌跡逆時(shí)針包圍（-1，j0）點(diǎn)的次數(shù)就等于正穿越和負(fù)穿越次數(shù)之差。第四十九頁(yè)，共五十八頁(yè)，2022年，8月28日在Bode圖上:正穿越:在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi),對(duì)數(shù)相頻特性曲線沿ω

增加方向,自下而上穿過–180°線。負(fù)穿越:在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi),對(duì)數(shù)相頻特性曲線沿ω