【教學(xué)設(shè)計(jì)】圓周角和圓心角弧的關(guān)系

圓周角和圓心角，弧的關(guān)系教課目標(biāo)(一)知識(shí)與技術(shù)1、理解圓周角的看法,掌握?qǐng)A周角的兩個(gè)特色、定理的內(nèi)容及簡(jiǎn)單應(yīng)用；2、正確地運(yùn)用圓周角定理及其推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明計(jì)算。(二)過程與方法1、經(jīng)過觀察、比較、解析圓周角與圓心角的關(guān)系發(fā)展學(xué)生合情推理和演繹推理的能力。2、經(jīng)過觀察圖形，提升學(xué)生的識(shí)圖的能力3、經(jīng)過指引學(xué)生增添合理的輔助線，培育學(xué)生研究問題的興趣。(三)感情與價(jià)值觀1、經(jīng)過研究圓周角定理的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思慮能力。2、經(jīng)過踴躍指引，幫助學(xué)生有意識(shí)主動(dòng)研究，并能在研究中獲取成功的體驗(yàn)。教課重點(diǎn)圓周角定理、圓周角定理的推導(dǎo)及運(yùn)用它們解題．教課難點(diǎn)1．認(rèn)識(shí)圓周角定理需要分三種狀況逐個(gè)證明的必需性。2．推論的靈巧應(yīng)用以及輔助線的增添教課打破讓學(xué)生學(xué)會(huì)分類談?wù)?、變換化歸是教課打破的重點(diǎn)教課準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：制作課件，優(yōu)選習(xí)題學(xué)生準(zhǔn)備：復(fù)習(xí)有關(guān)知識(shí)，預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容，制作圓形紙片教課過程活動(dòng)1：創(chuàng)建情形，引入看法師：課件（出示圓柱形海洋館圖片）右圖是圓柱形海洋館的俯視圖．海洋館的前側(cè)延伸到海洋里，并用玻璃分開，人們站在海洋館內(nèi)部，透過此中的圓弧形玻璃窗可以觀看到窗丙(D)外的海洋動(dòng)物．A如圖是圓柱形的海洋館橫截面的表示圖，⌒AB表示圓弧形玻璃窗．同學(xué)甲站在圓心O的地點(diǎn)，同學(xué)乙站乙(C)甲(O)玻璃B丁(E)在正對(duì)著玻璃窗的靠墻的地點(diǎn)C，丙、丁分別站在其余靠墻的地點(diǎn)D和E，師：同學(xué)甲的視角∠AOB的極點(diǎn)在圓心處，我們稱這樣的角為圓心角．同學(xué)乙的視角∠ACB、同學(xué)丙的視角∠ADB和同學(xué)丁的視角∠AEB不一樣于圓心角，是與圓有關(guān)的另一類角，我們稱這種角為圓周角．師：提出問題問題1：觀察∠ACB、∠ADB和∠AEB的邊和極點(diǎn)與圓的地點(diǎn)有什么共同特色？問題2：∠ACB、∠ADB和∠AEB與∠AOB有什么差別？問題3：∠ACB、∠ADB和∠AEB有哪些共同點(diǎn)？（教師指引學(xué)生進(jìn)行研究，并關(guān)注以下問題）1、問題的出示能否惹起學(xué)生的興趣2、學(xué)生能否理解表示圖3、學(xué)生能否理解圓周角的定義4、學(xué)生能否清楚了要研究的數(shù)學(xué)識(shí)題生：這三個(gè)角的共同點(diǎn)有兩個(gè)：①極點(diǎn)都在圓周上；②兩邊都與圓訂交．師：談?wù)摬⒐奈鑼W(xué)生的總結(jié)給出必定，我們把極點(diǎn)在圓上，而且兩邊都與圓訂交的角叫做圓周角．（教師板書圓周角定義，并重申定義的兩個(gè)重點(diǎn)，學(xué)生在教案上寫出圓周角的定義．）設(shè)計(jì)企圖：從生活中的實(shí)例下手，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、解析，抽象出圖形的共同屬性，得出圓周角定義，理解圓周角看法的實(shí)質(zhì)．追蹤練習(xí)：請(qǐng)同學(xué)們依據(jù)定義回答下邊問題：在以下與圓有關(guān)的角中，哪些是圓周角？哪些不是，為何？（學(xué)生思慮片晌以后，教師就每個(gè)圖形分別請(qǐng)一位學(xué)生作答．）設(shè)計(jì)企圖：為了使學(xué)生更加簡(jiǎn)單地掌握看法，此處教師并排地體現(xiàn)正例和反例，可以有益于學(xué)生對(duì)實(shí)質(zhì)屬性與非實(shí)質(zhì)進(jìn)行比較．活動(dòng)2：?jiǎn)栴}研究研究同弧所對(duì)圓周角及圓周角與圓心角的關(guān)系丙(D)師：下邊我們連續(xù)研究海洋館的問題，假想你是一A名旅客，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的地點(diǎn)供你選擇，你以為在哪個(gè)地點(diǎn)看到的海洋情形范圍更廣一些？乙(C)甲(O)玻璃預(yù)設(shè)生：（會(huì)很必定的說）自然是同學(xué)甲的地點(diǎn)可B以看到更廣的海洋范圍了．丁(E)師提出：你是如何知道的？預(yù)設(shè)生1：由于我發(fā)現(xiàn)∠AOB比∠ACB、∠ADB和∠AEB都大．預(yù)設(shè)生2：由于發(fā)此刻圓內(nèi)當(dāng)角的極點(diǎn)距離弧越近角就越大師提出：假如在乙、丙、丁三位同學(xué)的地點(diǎn)中選擇，哪個(gè)地點(diǎn)看到的海洋范圍更廣一些？預(yù)設(shè)生：（看了圖形想了想）三個(gè)地點(diǎn)看到海洋范圍的大小應(yīng)當(dāng)是相同的．師提出問題：1、弧AB所對(duì)的圓周角的個(gè)數(shù)有多少個(gè)？2、弧AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)能否發(fā)生變化？預(yù)設(shè)生：有無數(shù)個(gè)，度數(shù)相等師：你是怎么知道的？預(yù)設(shè)生：觀察猜到的。師：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要有觀察、猜想但更重要的還要考據(jù)。請(qǐng)同學(xué)們考據(jù)你們的說法，并與伙伴交流．師提出問題：弧AB所對(duì)的圓周角與其所對(duì)的圓心角有什么關(guān)系？（學(xué)生分組開始著手操作考據(jù)：有的借助量角器，用胸懷的方法進(jìn)行考據(jù)；有的采納折疊重合的方法進(jìn)行考據(jù)）預(yù)設(shè)生：(愉悅地驚叫著)老師，我發(fā)現(xiàn)了：同學(xué)乙、丙、丁的視角∠ACB、∠ADB和∠AEB相等，同學(xué)甲的視角∠AOB比其余同學(xué)的視角都大，是它們的倍!（其余同學(xué)也都愉悅得不得了，教室里即刻一片歡騰）設(shè)計(jì)企圖：指引學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、操作、解析、考據(jù)、交流等基本數(shù)學(xué)活動(dòng)，研究圓周角的性質(zhì)，感知基本幾何事實(shí)，初步領(lǐng)會(huì)兩種數(shù)目關(guān)系：①同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系；②同弧所對(duì)的圓周角的關(guān)系．師：下邊，老師用計(jì)算機(jī)進(jìn)一步考據(jù)我們剛剛所獲取的結(jié)論：（教師開始在計(jì)算機(jī)長(zhǎng)進(jìn)行考據(jù)．）第一采納《幾何畫板》的胸懷功能，量出∠AOB、∠ACB、∠ADB和∠AEB，發(fā)現(xiàn)：∠AOB最大，∠ACB=∠ADB=∠AEB，接著，采納計(jì)算功能，計(jì)算∠ACB和∠AOB的比值，發(fā)現(xiàn)：∠ACB：∠AOB=1：2．而后教師分別從以下幾個(gè)方面演示，讓學(xué)生觀察圓周角的度數(shù)能否發(fā)生改變，同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系有無變化：①拖動(dòng)圓周角的極點(diǎn)使其在圓周上運(yùn)動(dòng)；②改變圓心角的度數(shù)；③改變圓的半徑大?。O(shè)計(jì)企圖：經(jīng)過《幾何畫板》做進(jìn)一步演示與考據(jù)，用幾何動(dòng)向的語言來研究圓周角與圓心角的關(guān)系，在某些量變化的過程中讓學(xué)生觀察不變的數(shù)目關(guān)系，幫助學(xué)生更好地理解圓周角與圓心角的關(guān)系．師：既然這樣，我們請(qǐng)一位同學(xué)把所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論用文字語言表述一下．預(yù)設(shè)生1：同弧所對(duì)的圓周角相等，而且都等于圓心角的一半．預(yù)設(shè)生2：他的說法不正確，應(yīng)當(dāng)是：在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等，而且都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．拋棄了“在同圓或等圓中”和“這條弧所對(duì)的”這兩點(diǎn)．師：前一位同學(xué)總結(jié)得很好，但后一位同學(xué)總結(jié)得改正確，我們要學(xué)習(xí)他們這種慎重治學(xué)的態(tài)度和精神．設(shè)計(jì)企圖：把直觀操作與邏輯推理有機(jī)聯(lián)合，使將要進(jìn)行的推理論證成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、研究得出結(jié)論的自然連續(xù)．活動(dòng)3：用分類談?wù)摰姆椒ㄗC明定理師:為了更好地說明結(jié)論的正確性,下邊我們研究其論證方法．先請(qǐng)同學(xué)們?cè)谟覉D的⊙中盡可能多地畫⌒所對(duì)的圓周OAB角,并思慮圓心與圓周角有哪幾種地點(diǎn)關(guān)系?（學(xué)生分組畫圖,每個(gè)小組總結(jié)所畫的圖形的狀況，教師巡

AOB視,在同學(xué)們所畫的圖形中發(fā)現(xiàn)圓心與圓周角的三種地點(diǎn)關(guān)系的例子,并在展現(xiàn)臺(tái)演出示．）預(yù)設(shè)生1:圓心在圓周角的一邊上預(yù)設(shè)生2,圓心在圓周角的內(nèi)部,預(yù)設(shè)生3在圓周角的外面．師:圓心與圓周角存在三種地點(diǎn)關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外面．（以以下圖）DAAAOODOCCBBBC第一種狀況第二種狀況第三種狀況師:在上述三種狀況中我們先選擇此中的一種狀況進(jìn)行證明,選哪一種狀況,如何證明?（學(xué)生先獨(dú)立思慮,而后在伙伴間靜靜交流自己的思路．）預(yù)設(shè)生：選擇第一種狀況進(jìn)行證明，由于圓心在圓周角的一邊上，是最簡(jiǎn)單的一種狀況．由于圓心在圓周角的一邊上，所以AC是圓的直徑,由同圓半徑相等可知，OC=OB，所以∠C=∠B，依據(jù)定理“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”可得，∠AOB=∠C+∠B=2∠C，即同弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．師：證明得特別好，掌聲恩賜鼓舞！師：當(dāng)圓心在圓周角的一邊上的時(shí)候，圓周角∠ACB的邊AC部分就是⊙O的直徑，所以給證明思路的找尋帶來了許多方便，當(dāng)圓心不在圓周角的邊上時(shí)，比方在角的內(nèi)部，沿CO對(duì)折⊙O，睜開后你有什么發(fā)現(xiàn)？對(duì)該狀況下命題的證明有哪些啟示？（學(xué)生開始對(duì)折圓形紙片，觀察，解析，交流）預(yù)設(shè)生：由對(duì)折發(fā)現(xiàn)，可以轉(zhuǎn)變成第一種狀況的證明，即，假如做過點(diǎn)C的直徑CD，那么，由(1)中的結(jié)論可知：∠ACD=

1∠AOD

，∠BCD=

1

∠BOD

，兩式相加即可獲取2

2∠ACB=1∠AOB．2師：很好！請(qǐng)同學(xué)們?cè)诮贪干蠈懗鲞@種狀況下的證明過程，以后完成最后一種狀況的證明，伙伴之間交流自己的證明思路．（各小組學(xué)生思慮交流后一種狀況的證明思路，完成證明過程．一名學(xué)生黑板上展現(xiàn)證明過程，教師做思路和規(guī)范性談?wù)摚┰O(shè)計(jì)企圖：在本段的教課中，注意突出圖形性質(zhì)的研究過程，重視學(xué)生主體地位的落實(shí)，經(jīng)過觀察胸懷、實(shí)驗(yàn)操作、圖形變換、合情推理來研究圖形的性質(zhì)，從而讓學(xué)生學(xué)會(huì)解析問題和解決問題的方法．別的，教課時(shí)盡可能地從數(shù)學(xué)語言的三種形態(tài)“文字語言、圖形語言、符號(hào)語言”進(jìn)行描述，以增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與理解，增強(qiáng)數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用與表達(dá)．師：經(jīng)過上邊的證明，我們獲取：同弧所對(duì)的圓周角等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．其實(shí)，等弧的狀況下該命題也是建立的，命題“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”也是正確的，想想為何？（教師板書）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．活動(dòng)4：牢固練習(xí)，拓展性質(zhì)D1、如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)圓上，四邊形ABCDA817的對(duì)角線把4各內(nèi)角分成8個(gè)角，這些角中哪些是相等的角？23645B2、如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，則∠D=____，C∠O=____．3、如圖，等邊△ABC的極點(diǎn)都在⊙O上，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，則∠BDC=____．DADCOOABBC第2題圖第3題圖（學(xué)生獨(dú)立思慮，交流，回答以下問題，教師經(jīng)過學(xué)生練習(xí)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，評(píng)價(jià)教課成效．）設(shè)計(jì)企圖：習(xí)題的作用是將基本知識(shí)技術(shù)化，經(jīng)過技術(shù)的訓(xùn)練幫助學(xué)生理解基本知識(shí)．比方在第3題中，學(xué)生要求∠BDC，第一要依據(jù)定義判斷這個(gè)角是圓中的什么角？要求它的值應(yīng)當(dāng)建立與哪個(gè)量的關(guān)系？（弧）借助于這個(gè)量又可以與誰相聯(lián)系？（∠A）經(jīng)過這樣的轉(zhuǎn)變觀察了學(xué)生對(duì)定理的理解和應(yīng)用，并使學(xué)生在從復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形的訓(xùn)練中，培育空間識(shí)圖能力．活動(dòng)5：課堂小結(jié)，牢固反思師：?jiǎn)栴}：本節(jié)課你學(xué)到了什么知識(shí)？從中獲取了什么啟示？預(yù)設(shè)生：我這節(jié)課學(xué)會(huì)了圓周角的定義和圓周角的定理，知道圓周角有兩個(gè)重點(diǎn)，同弧對(duì)的圓周角式相等的關(guān)系，圓心角和圓周角是二倍的關(guān)系．預(yù)設(shè)生：我經(jīng)過這節(jié)課學(xué)會(huì)了從特別到一般的解決問題的方法，知道分類和轉(zhuǎn)變的數(shù)學(xué)思想．預(yù)設(shè)生：這