數(shù)學(xué)建模多元統(tǒng)計分析引論

數(shù)學(xué)建模多元統(tǒng)計分析引論第一頁，共五十六頁，2022年，8月28日統(tǒng)計軟件的重要作用“計算機(jī)軟件給統(tǒng)計學(xué)帶來革命性變化”發(fā)表論文或進(jìn)行科研課題時,注明統(tǒng)計軟件和采用的統(tǒng)計分析方法.統(tǒng)計分析工具的選擇:CHISSSAS,SPSS,STATA第二頁，共五十六頁，2022年，8月28日

實(shí)例

攜帶火柴和發(fā)生肺癌間的關(guān)系的研究。人們觀察發(fā)現(xiàn)那些攜帶火柴的人更有可能發(fā)生肺癌。難道這表明攜帶火柴可能引起肺癌？

混雜因素

這中間存在混雜因素---吸煙

客觀事實(shí)，攜帶火柴不可能引起肺癌。第三頁，共五十六頁，2022年，8月28日

混雜因素的影響

圖1.1危險因素、混雜因素和結(jié)果的關(guān)系

攜帶火柴肺癌

吸煙第四頁，共五十六頁，2022年，8月28日

[實(shí)例解析4]

喝咖啡與心肌梗塞MI關(guān)系的研究。

有人觀察發(fā)現(xiàn)喝咖啡的人，很多人患MI，這種現(xiàn)象是表象還是內(nèi)在因果關(guān)系的？

數(shù)據(jù)來自2000年，小兒科邀請一位美國醫(yī)學(xué)及生物統(tǒng)計學(xué)教授來院講學(xué)的例子。第五頁，共五十六頁，2022年，8月28日

研究者調(diào)查MI及非MI病人各150例，得到如下數(shù)據(jù)。表1.1MINoMI%Coffee906060Nocoffee609040

優(yōu)勢比：OR=90*90/(60*60)=2.25Pearsonchi2(1)=12.0，P=0.001。

說明喝咖啡人MI發(fā)生的危險性是不喝的2.25倍。兩組MI發(fā)生率差異有顯著意義。結(jié)論：喝咖啡與心肌梗塞MI有關(guān)！對否？第六頁，共五十六頁，2022年，8月28日

研究者懷慮結(jié)論，考慮到其中可能混雜其它因素，如吸煙對喝咖啡與心肌梗塞MI間關(guān)系的影響，進(jìn)一步分層分析得到。表控制吸煙因素的干擾后結(jié)果

SmokerNosmokerMINoMI%MINoMI%Coffee804067102033Noffee201067408033

優(yōu)勢比OR=1，OR=1P=1.00，P=1.00第七頁，共五十六頁，2022年，8月28日

表明，在吸煙組和不吸煙組中。喝咖啡與不喝咖啡的MI發(fā)生的相對危險度相同的。

喝咖啡與心肌梗塞MI關(guān)系說明當(dāng)存在混雜因素時,單因素分析結(jié)論并不科學(xué)。第八頁，共五十六頁，2022年，8月28日案例:研究生招生與性別的關(guān)系研究第九頁，共五十六頁，2022年，8月28日＜案例討論＞研究生招生與性別的關(guān)系研究

美國加州貝克萊分校1973年研究生的錄取情況如上表.結(jié)果顯示，男生報考人數(shù)據(jù)2691人，錄取1197人，錄取比例44.5%，女生報考人數(shù)據(jù)1835人，錄取556人，錄取比例30.3%。有人認(rèn)為該校在研究生錄取中存在性別歧視。試對此進(jìn)行討論與分析。

第十頁，共五十六頁，2022年，8月28日混雜因素的定義

當(dāng)某一危險因素和結(jié)果的相關(guān)性受第三個變量和危險因素及結(jié)果之間關(guān)系的影響，這第三個變量稱為混雜因素。上兩例中，混雜因素是吸煙第十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日排除混雜因素的兩種方法

1、分層分析

2、多元統(tǒng)計分析第十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日

分層分析是在其它影響因素保持恒定情況下，評價某一危險因素對結(jié)果的影響。例如，上面我們可以分別在吸煙者和非吸煙者之中，比較喝啡咖與和不喝啡咖的人。這可使我們在不依賴于吸煙的情況下，分析喝啡咖對MI的影響。

1分層分析方法-----控制混雜因素對結(jié)果的影響第十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日分層分析的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：直觀簡潔。缺點(diǎn)：當(dāng)考慮因素較多時分組數(shù)量倍增，需要例數(shù)較多，有時無法實(shí)現(xiàn)。第十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日

‘生命在于運(yùn)動?！?/p>

‘運(yùn)動有利于長壽’

流水不腐。。。這是人類長期經(jīng)驗的總結(jié)，但事實(shí)果真如此嗎？是科學(xué)的結(jié)論，還是事物的假象呢？[實(shí)例解析]運(yùn)動與壽命關(guān)系的研究第十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日

許多研究表明長期運(yùn)動人的壽命比久坐型生活方式人的壽命長。但是，如果運(yùn)動者壽命長的真正原因是他不吸煙，沒有家族病史，好的生活環(huán)境等，那么運(yùn)動將不能改變一個人的壽命。

運(yùn)動與人的壽命的關(guān)系第十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日

美國Aerobics中心的追蹤研究

在1970－1989年間，它們追蹤觀察25,341男性和7084女性,研究運(yùn)動和死亡率的關(guān)系。男性參加者被追蹤觀察平均8.4年，女性平均7.5年。所有參加者接受了基線檢查，這些檢查包括體檢、實(shí)驗室檢測及踏車試驗評價身體適宜運(yùn)動量。結(jié)果如表1.1。

Blair,S.N.,Kampert,J.B.,Kohl,H.W.,etal.”Influencesofcardiorespiratoryfitnessandotherprecursorsoncardiovasculardiseaseandall-causemortalityinmenandwomen.”JAMA1996;276:205-10第十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日表1.3Aerobics中心追蹤研究過程中生存與死亡者基線特征（男性組）指標(biāo)生存死亡

(n=24,740)(n=601)年齡（SD）42.7(9.7)52.1(11.4)*體重指數(shù)

26.0(3.6)26.3(3.5)收縮壓121.1(13.5)130.4(19.1)*總膽固醇213.1(40.6)228.9(45.4)空腹血糖100.4(16.3)108.1(32.0)第十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日

運(yùn)動量（%）低20.141.6

中42.039.1

高37.919.3*

冠心病家族史25.433.8*

吸煙26.336.9*

異常心電圖6.926.3*

慢性病18.440.3*第十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日

分析發(fā)現(xiàn)，存活者和死亡者之間是有明顯區(qū)別的。特點(diǎn)是存活者較年輕，血壓較低，低膽固醇，很少吸煙并且高運(yùn)動量（基于他們踏車試驗時間長短及程度）。但表1.1并沒有回答我們的基本問題：運(yùn)動是否獨(dú)立地延長壽命？它并沒有回答這個問題是由于雖然高運(yùn)動量組很少在研究期間死亡，但他們或者較很少吸煙，或年輕，或有較低的血壓。我們應(yīng)排除排除混雜因素的影響。第二十頁，共五十六頁，2022年，8月28日

[分層分析法]表1.4Aerobics中心追蹤研究中全因死亡患者吸煙和體質(zhì)的分層分析每萬人年分層相對危險度死亡數(shù)（９５％CI）吸煙低運(yùn)動量48.01.63(1.26-2.13)*

中/高運(yùn)動量29.41.0(參照組)

不吸煙

低運(yùn)動量44.02.19(1.77-2.70)*

中/高運(yùn)動量20.11.0(參照組)可見低運(yùn)動量組死亡率高于中/高運(yùn)動量組的死亡率，這一分層分析表明運(yùn)動的作用不依賴于吸煙狀態(tài)。第二十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日

但是，有可能影響運(yùn)動和長壽之間關(guān)系的其它變量是怎樣的？你可以層層分析每一原因，來證明運(yùn)動對長壽的影響不但不依賴于吸煙狀態(tài)，也不依賴于年齡、性別、高血脂、高血壓等等。如果分層分析3個變量[吸煙狀態(tài)、年齡、體重（正常/異常）]，你將需要在8個組中分析運(yùn)動和死亡率的關(guān)系。

如果分層分析6個變量[吸煙狀態(tài)、年齡、性別、體重、膽固醇水平、高血壓狀態(tài)（是／不是）]，你將需要在64個組中分析運(yùn)動和死亡率的關(guān)系。第二十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日

[多因素分析法]為判斷運(yùn)動是否獨(dú)立地與死亡有關(guān)，研究者們運(yùn)用了COX比例風(fēng)險分析(proportionalhazardsanalysis)的多元分析方法，結(jié)果如表1.2。準(zhǔn)許引自：Blair,S.N.,etal.”Influencesofcardiorespiratoryfitnessandotherprecursorsoncardiovasculardiseaseandall-causemortalityinwomen.”JAMA1996;276:205-10.Copyright1996,AmericanMedicalAssociation.Additionaldataprovidedbyauthors.

第二十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日

表1.5Aerobics中心追蹤研究全死亡率危險因素的多元分析自變量死亡率調(diào)整相對危險度RR

（百萬分?jǐn)?shù)）（95%CI）運(yùn)動量低38.11.52(1.28-1.82)*

中/高25.01.0(參照組)吸煙狀況

吸煙39.41.65(1.39-1.97)*

不吸煙23.91.0(參照組)第二十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日

收縮壓

≥140mmHg35.61.30(1.08-1.58)*<140

mmHg26.11.0(參照組)膽固醇≥240mg/dl35.11.34(1.13-1.59)*<240mg/dl26.11.0(參照組)冠心病家族史

有29.91.07(0.90-1.29)無27.81.0(參照組)體重指數(shù)

≥27Kg/m228.81.02(0.86-1.22)<27Kg/m228.21.0(參照組)第二十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日

空腹血糖

≥120mg/dl34.41.24(0.98-1.56)<120mg/dl27.91.0(參照組)異常心電圖

有44.41.64(1.34-2.01)*無27.11.0(參照組)

慢性疾病

有41.21.63(1.37-1.95)*無25.31.0(參照組)第二十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日

表明，如果你比較男性中每千人年死亡數(shù)，你可以看出在低運(yùn)動組（38.1）比中/高運(yùn)動量組（25.0）有較高的死亡數(shù)。其相對危險度為38.1/25.0=1.52。說明低運(yùn)動量的人死亡的危險性是高運(yùn)動人的1.52倍。這顯示運(yùn)動與生存率有關(guān)，它并不依賴于吸煙、高血壓、高膽固醇及家族史。

運(yùn)動與人的壽命的關(guān)系第二十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日

[實(shí)例解析]吸煙和冠狀血管疾病再通術(shù)后的預(yù)后間的關(guān)系

Aerobics中心的追蹤研究，他們追蹤了5437例冠狀血管疾病并接受再通手術(shù)（用線和球打開阻塞的冠狀血管）的病人，將病人分為不吸煙、以前吸煙（至少在手術(shù)前6個月戒掉）、剛戒煙(因手術(shù)后剛戒掉)、及持續(xù)吸煙4個組。結(jié)果見表1.4.5Hasdai,D.,Garratt,K.N.,Grill,D.E.,Lerman,A.,Homes,D.R.“Effectofsamokingstatusonthelong-termoutcomeaftersuccessfulpercutaneouscoronaryrevascularization.”N.Engl,J.Med.1997;336:755-61.第二十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日

表1.6吸煙狀況和死亡危險性的兩變量關(guān)系組別死亡相對危險度RR

（95%CI）不吸煙1.0(參照組)

以前吸煙1.08(0.92-1.26)

剛戒煙0.56(0.40-0.77)*

持續(xù)吸煙0.74(0.59-0.94)*引自：D.,etal.“Effectofsmokingstatusonthelong-termoutcomeaftersuccessfulpercutaneouscoronaryrevascularization.”N.Engl.J.Med.1997;336:755-61.第二十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日

持續(xù)吸煙組的死亡相對危險度怎么比不吸煙組低呢？（煙草公司希望）在你假定在此研究中可能有差錯之前，一些其它研究發(fā)現(xiàn)在冠狀動脈疾病血栓溶解治療中，吸煙和預(yù)后具有同樣的關(guān)系，這一作用被稱為“吸煙者悖論”是什么原因?qū)е逻@一“悖論”呢？

Barbash,G.L.,Reiner,J.,White,H.D.,Etal.“Evaluationofparadoxicalbeneficialeffectsofsmokinginpatientsreceivingthrombolytictherapyforacutemyocardialinfarction:Mechanismsofthe‘smoker’sparadox’fromtheGUSTO-Itrial,withangiographicinsights.”J.Am.Coll.Cardiol.1995;26:1222-9.第三十頁，共五十六頁，2022年，8月28日

表1.5人口學(xué)及臨床因素與吸煙狀況的關(guān)系不吸煙以前吸煙剛戒煙持續(xù)吸煙年齡±SD

（年）67±1165±1056±1055±11心絞痛病程（月）41±6651±7221±4629±55糖尿病，%2118810高血壓，%54483839冠狀動脈疾病,%一枝血管50515755二枝血管36363436三枝血管1413109第三十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日

表1.5可以看到，相比于吸煙者和以前吸煙者，剛戒煙者和持續(xù)吸煙者更年輕，心絞痛時間更短，較少有糖尿病和高血壓，較少有嚴(yán)重的冠心病?？吹竭@些，你對剛戒煙者和持續(xù)吸煙者的死亡率低于不吸煙者和以前吸煙者就不會奇怪了。因為他們比不吸煙者和以前吸煙者年輕，而且很少有醫(yī)學(xué)隱患。第三十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日

表1.6比較一元統(tǒng)計與多元統(tǒng)計吸煙狀況與死亡危險性的關(guān)系不吸煙以前吸煙剛戒煙持續(xù)吸煙一元統(tǒng)計的危險相對度1.01.080.560.7495%CI(參照組)(0.92-1.26)(0.40-0.77)(0.59-0.94)多元統(tǒng)計的相對危險度1.01.341.211.7695%CI(參照組)(1.14-1.57)(0.87-1.70)(1.37-2.26)第三十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日

表1.6將一元分析死亡危險性（未校正）和多元統(tǒng)計分析死亡危險性相比.在多元統(tǒng)計分析中，研究者校正了4組中存在的如年齡、心絞痛時間等差別。通過對這4組基線差別的統(tǒng)計學(xué)校正，剛戒煙者和持續(xù)吸煙者的死亡危險顯著高于不吸煙者――更加靈敏的結(jié)果。一元統(tǒng)計和多元分析的差別表明混雜因素是存在的。第三十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日

多因素分析與分層分析的比較當(dāng)你用分層分析每增加一個變量，你將倍增分組的數(shù)量。一方面產(chǎn)生大量的打印結(jié)果、需要整本書報告你的結(jié)果。另一方面即使在開始時有很大的樣本量，可能在某些分組中樣本量還是不足。有時無法分層的。第三十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日

多因素分析克服了這方面的限制，它將使你同時評價各種不同因素對結(jié)果的不同作用。但多因素分析需要前提條件，模型對數(shù)據(jù)的性質(zhì)要作一些假定，這些假定有時候是很難證實(shí)的。多因素分析與分層分析的比較第三十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日*混雜因素與干預(yù)因素關(guān)系

當(dāng)危險因素和結(jié)果的相關(guān)性受第三個因素和危險因素及結(jié)果之間關(guān)系的影響，這第三個變量稱為混雜因素。一個干預(yù)因素是出現(xiàn)結(jié)果的原因。第三十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日

Camango及其同事們在研究中度酒精消費(fèi)和心臟病危險性關(guān)系時校正了年齡、吸煙、運(yùn)動、糖尿病及心臟病家族史，但是他們沒有校正血壓、體重指數(shù)、高膽固醇血癥。為什么不？這些因素符合混雜因素的定義，它們與危險因素（酒精消費(fèi)）有關(guān)并與結(jié)果（心肌梗塞）有因果關(guān)系，問題是酒精消費(fèi)可加重導(dǎo)致高血壓、體重指數(shù)增加及高膽固醇血癥。因此,如圖1.3所示。這些變量可能通過其它致病途徑導(dǎo)致心肌梗塞，應(yīng)考慮為干預(yù)變量，不應(yīng)考慮為混雜因素，如果將混雜因素作為干預(yù)變量來校正，那么你需要重新考慮你的結(jié)果。第三十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日

血壓升高體重指數(shù)增加高膽固醇血癥心肌梗塞酒精消費(fèi)第三十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日統(tǒng)計學(xué)不能區(qū)別混雜和干預(yù)變量

統(tǒng)計學(xué)并不能告訴你什么是混雜因素，什么是干預(yù)變量。從統(tǒng)計上講，混雜因素與干預(yù)變量是一回事。在你的模型中，是因為有混雜因素而引入該變量，還是因為有干預(yù)變量而排除該變量呢？這一決定必須根據(jù)以前的研究和生物學(xué)上的可解釋性作出。第四十頁，共五十六頁，2022年，8月28日《紅樓夢》眾所周知，《紅樓夢》一書共120回，自從胡適作《紅樓夢考證》以來，都認(rèn)為曹雪芹作前80回，后40回為高鶚?biāo)m(xù)，長期以來對這個問題一直有爭議?！都t樓夢》的作者是誰，當(dāng)然由紅學(xué)家來考證。但是我們是否可以用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究，做出論證或者得出一些新的結(jié)果來？第四十一頁，共五十六頁，2022年，8月28日1987年復(fù)旦大學(xué)李賢平教授帶領(lǐng)他的學(xué)生作了這項有意義的工作，他們創(chuàng)造性想法是將120回看成是120個樣本，然后確定與情節(jié)無關(guān)的虛詞作為變量(所以要拋開情節(jié)，是因為在一般情況下，同一情節(jié)大家描述的都差不多，但由于個人寫作特點(diǎn)和習(xí)慣的不同，所用的虛詞是不會一樣的)，數(shù)出每一回里變量出現(xiàn)的次數(shù)，作為數(shù)據(jù)，用多元分析中的聚類分析法進(jìn)行分類，果然將120回分成兩類即前80回為一類，后40回為一類，很形象地證實(shí)了不是出自同一人的手筆。第四十二頁，共五十六頁，2022年，8月28日之后又進(jìn)一步分析前80回是否為曹雪芹所寫?這時又找了一本曹雪芹的其它著作，做了類似計算，結(jié)果證實(shí)了用詞手法完全相同，斷定為曹雪芹一人手筆，而后40回是否為高鶚寫的呢?論證結(jié)果推翻了后40回是高鶚一個人所寫。這個論證在紅學(xué)界轟動很大，他們用多元統(tǒng)計分析方法支持了紅學(xué)界觀點(diǎn)，使紅學(xué)界大為贊嘆。

第四十三頁，共五十六頁，2022年，8月28日

統(tǒng)計分析是統(tǒng)計活動的一個重要組成部分。是統(tǒng)計工作的最后一個階段，更是統(tǒng)計過程中最有價值的一個環(huán)節(jié)，是服務(wù)于研究目的，為解決問題進(jìn)行的一種認(rèn)識活動?，F(xiàn)代統(tǒng)計分析與傳統(tǒng)統(tǒng)計分析相比，其最突出的特點(diǎn)是：先定性地提出問題，然后使用功能強(qiáng)大的統(tǒng)計分析軟件對數(shù)據(jù)進(jìn)行深入的定量分析，并且在定量分析的基礎(chǔ)上得出有價值的定性結(jié)論。即：定性--定量--定性的綜合分析過程?，F(xiàn)代統(tǒng)計分析是在傳統(tǒng)的統(tǒng)計分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是傳統(tǒng)統(tǒng)計分析方法的改造和深化，并結(jié)合現(xiàn)代電子技術(shù)，運(yùn)用統(tǒng)計分析軟件對統(tǒng)計資料、數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

第四十四頁，共五十六頁，2022年，8月28日什么是多元統(tǒng)計分析?

在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)字、氣象、環(huán)外境以及經(jīng)濟(jì)管理等諸多領(lǐng)域中，常常需要同時觀測多個指標(biāo)。例如，要衡量一個地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展，需觀測的指標(biāo)有：總產(chǎn)值、利潤、效益、勞動生產(chǎn)率、萬元生產(chǎn)值能耗、固定資產(chǎn)、流動資金周轉(zhuǎn)率、物價、信貸、稅收等等；要了解一種巖石，需觀測或化驗的指標(biāo)也很多，如：顏色、硬度、含碳量、含硫量等等；要了解一個國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展的類型也需觀測很多指標(biāo)，如：人均國民收入，人均工農(nóng)業(yè)產(chǎn)值、人均消費(fèi)水平等等。第四十五頁，共五十六頁，2022年，8月28日在醫(yī)學(xué)診斷中，要判斷某人是有病還是無病，也需要做多項指標(biāo)的體檢，如：血壓、心臟脈搏跳動的次數(shù)、白血球、體溫等等?？傊?，在科研、生產(chǎn)和日常生活中，受多種指標(biāo)共同作用和影響的現(xiàn)象是大量存在的，舉不勝舉。上述指標(biāo)，在數(shù)學(xué)上通常稱為變量，由于每次觀測的指標(biāo)值是不能預(yù)先確定的，因此每個指標(biāo)可用隨機(jī)變量來表示。第四十六頁，共五十六頁，2022年，8月28日

如何同時對多個隨機(jī)變量的觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行有效地分析和研究呢?一種做法是把多個隨機(jī)變量分開分析，一次處理一個去分析研究；另一種做法是同時進(jìn)行分析研究。顯然前者做法有時是有效的，但一般來說，由于變量多，避免不了變量之間有相關(guān)性，如果分開處理不僅會丟失很多信息，往往也不容易取得好的研究結(jié)果。而后一種做法通?？梢杂枚嘣y(tǒng)計分析方法來解決，通過對多個隨機(jī)變量觀測數(shù)據(jù)的分析，來研究變量之間的相互關(guān)系以及揭示這些變量內(nèi)在的變化規(guī)律。第四十七頁，共五十六頁，2022年，8月28日如果說一元統(tǒng)計分析是研究一個隨機(jī)變量統(tǒng)計規(guī)律的學(xué)科，那么多元統(tǒng)計分析則是研究多個隨機(jī)變量之間相互依賴關(guān)系以及內(nèi)在統(tǒng)計規(guī)律性的一門統(tǒng)計學(xué)科。同時，利用多元分析中不同的方法還可以對研究對象進(jìn)行分類(如指標(biāo)分類或樣品分類)和簡化(如把相互依賴的變量變成獨(dú)立的或降低復(fù)雜集合的維數(shù)等等)。在當(dāng)前科技和經(jīng)濟(jì)迅速發(fā)展的今天，在國民經(jīng)濟(jì)許多領(lǐng)域中特別對社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的分析，只停留在定性分析上往往是不夠的。為提高科學(xué)性、可靠性，通常需要定性與定量分析相結(jié)合。實(shí)踐證明，多元分析是實(shí)現(xiàn)做定量分析的有效工具。第四十八頁，共五十六頁，2022年，8月28日（一）研究對象以及主要內(nèi)容研究對象多元分析是以多維隨機(jī)變量的內(nèi)在聯(lián)系及統(tǒng)計規(guī)律為其研究對象。是統(tǒng)計中討論多維隨機(jī)變量的統(tǒng)計方法的總稱。主要內(nèi)容從形式上看，一類是單變量常用的統(tǒng)計方法在多維隨機(jī)變量情況下的應(yīng)用；另一類是對多維變量本身進(jìn)行研究的一些特殊方法。第四十九頁，共五十六頁，2022年，8月28日具體內(nèi)容包括

多元回歸分析主成分分析因子分析聚類分析判別分析對應(yīng)分析典型相關(guān)分析時間序列分析馬爾科夫概型分析第五十頁，共