二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)（教師版）

-2二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)人教九上一、學(xué)習(xí)目標(biāo)會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)y=ax2

的圖象；根據(jù)對(duì)特殊函數(shù)圖象的觀察，歸納得出二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)；進(jìn)一步理解二次函數(shù)和拋物線的有關(guān)知識(shí)，并能解決一些簡單的應(yīng)用問題；領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)觀察能力、分析能力和歸納能力．二、知識(shí)回顧1．畫函數(shù)圖象的一般步驟：（1）列表；（2）描點(diǎn)；（3）連線．2．什么是一次函數(shù)？怎么畫一次函數(shù)y=-x+2的圖象？形如y=kx+b（k≠0）的函數(shù)叫做一次函數(shù).（1）列表：（2）描點(diǎn)；（3）連線．3．什么叫二次函數(shù)？一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，其中，x是自變量，a，b，c分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．想一想：怎么畫二次函數(shù)的圖象？二次函數(shù)有哪些性質(zhì)？三、新知講解二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線．其圖象與性質(zhì)如下圖所示：a的符號(hào)a>0a<0圖象開口方向開口向上開口向下a的絕對(duì)值越大，開口越小頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,0）頂點(diǎn)是最低點(diǎn)頂點(diǎn)是最高點(diǎn)對(duì)稱軸y軸增減性x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨x的增大而減小x>0時(shí)，y隨x的增大而減小；x<0時(shí)，y隨x的增大而增大最值x=0時(shí)，y有最小值0x=0時(shí)，y有最大值0四、典例探究掃一掃，有驚喜哦！1．考查拋物線y=ax2開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)【例1】不畫圖象，說出拋物線y=﹣x2的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向及最高（低）點(diǎn)坐標(biāo)．總結(jié)：無論a取何值，y=ax2的對(duì)稱軸都是y軸，頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)．拋物線的頂點(diǎn)位置決定了拋物線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn).a>0，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)；a<0，頂點(diǎn)是最高點(diǎn).二次函數(shù)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決定了拋物線的開口方向.a>0，拋物線開口向上；a<0，拋物線開口向下.練1．（2013秋?甘州區(qū)校級(jí)月考）在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)y=3x2，y=﹣3x2，y=x2的圖象，它們的共同特點(diǎn)是（）A．都是關(guān)于x軸對(duì)稱，拋物線開口向上B．都是關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線的頂點(diǎn)都是原點(diǎn)C．都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，拋物線的頂點(diǎn)都是原點(diǎn)D．都是關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線開口向下2．考查拋物線y=ax2開口大小【例2】（2012?平陰縣校級(jí)模擬）對(duì)于y=ax2（a≠0）的圖象下列敘述正確的是（）A．a(chǎn)的值越大，開口越大B．a(chǎn)的值越小，開口越小C．a(chǎn)的絕對(duì)值越小，開口越大D．a(chǎn)的絕對(duì)值越小，開口越小總結(jié)：幾個(gè)不同的二次函數(shù)，比較其圖象開口大小，只需比較各自二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值即可.即：a的絕對(duì)值越小，開口越大；a的絕對(duì)值越大，開口越?。?．（2014秋?民勤縣校級(jí)期中）拋物線y=x2，y=﹣3x2，y=x2的圖象開口最大的是（）A．y=x2B．y=﹣3x2C．y=x2D．無法確定3．考查二次函數(shù)y=ax2的增減性【例3】已知函數(shù)y=ax2（a≠0）與直線y=2x-3交于A（1，b），求：（1）a和b的值；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，二次函數(shù)y=ax2中的y隨x的增大而增大．總結(jié)：拋物線的增減性與a的符號(hào)及對(duì)稱軸有關(guān).（1）當(dāng)a>0時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)y的值最??；（2）當(dāng)a<0時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)y的值最大．練3．已知函數(shù)y=ax2的圖象過點(diǎn)（1，﹣）．（1）簡述函數(shù)的性質(zhì)；（2）在圖象上有兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），且x1＞x2＞0，比較y1，y2的大?。濉⒄n后小測一、選擇題1．（2014秋?番禺區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)y=﹣2x2圖象是（）A．直線B．雙曲線C．拋物線D．不能確定2．（2014?黃浦區(qū)一模）拋物線y=ax2（a＜0）的圖象一定經(jīng)過（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D(zhuǎn)．第二、四象限3．（2013秋?趙縣期末）在同一坐標(biāo)系中，拋物線y=4x2，y=x2，y=﹣x2的共同特點(diǎn)是（）A．關(guān)于y軸對(duì)稱，開口向上B．關(guān)于y軸對(duì)稱，y隨x的增大而增大C．關(guān)于y軸對(duì)稱，y隨x的增大而減小D．關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)是原點(diǎn)4．（2003?甘肅）已知h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為h=gt2，（g為正常數(shù)，t為時(shí)間），則函數(shù)圖象為（）A．B．C．D．5．（2015?黃陂區(qū)校級(jí)模擬）二次函數(shù)y=x2的圖象的開口方向是（）A．向上B．向下C．向左D．向右6．（2015?山西模擬）拋物線y=﹣x2不具有的性質(zhì)是（）A．開口向上B．對(duì)稱軸是y軸C．在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大D．最高點(diǎn)是原點(diǎn)7．（2014?畢節(jié)市）拋物線y=2x2，y=﹣2x2，共有的性質(zhì)是（）A．開口向下B．對(duì)稱軸是y軸C．都有最高點(diǎn)D．y隨x的增大而增大8．（2014秋?汕頭校級(jí)月考）對(duì)于拋物線y=ax2，下列說法中正確的是（）A．a(chǎn)越大，拋物線開口越大B．a(chǎn)越小，拋物線開口越大C．|a|越大，拋物線開口越大D．|a|越小，拋物線開口越大9．（2013秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）二次函數(shù)y=2x2圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（1，0）D．（0，1）10．（2012秋?滕州市校級(jí)期末）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．二次函數(shù)y=3x2中，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大B．二次函數(shù)y=﹣6x2中，當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值0C．拋物線y=ax2（a≠0）中，a越大圖象開口越小，a越小圖象開口越大D．不論a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，拋物線y=ax2（a≠0）的頂點(diǎn)一定是坐標(biāo)原點(diǎn)二、填空題11．如圖所示，四個(gè)函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式分別是：①y=ax2，②y=bx2，③y=cx2，④y=dx2，則a，b，c，d的大小關(guān)系是．12．（2015?閘北區(qū)一模）如果拋物線y=（m﹣1）x2的開口向上，那么m的取值范圍是．13．（2014?日照一模）拋物線開口向下，則a=．14．（2014秋?北京校級(jí)月考）拋物線的形狀大小、開口方向都與y=﹣12x2相同且頂點(diǎn)為（1，﹣2），則該拋物線的解析式為．三、解答題15．（2014春?臺(tái)山市校級(jí)期末）通過列表描點(diǎn)連線的方法畫函數(shù)y=﹣x2的圖象．16．函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象與直線y=2x﹣3交于點(diǎn)（1，b）．（1）求a和b的值．（2）求拋物線y=ax2的解析式，并求出頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸．（3）x取何值時(shí)，二次函數(shù)y=ax2中的y隨x的增大而增大？（4）求拋物線與直線y=﹣2的兩個(gè)交點(diǎn)及頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積．17．已知二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（，﹣）、B（3，m）．（1）求a與m的值；（2）寫出該圖象上點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而減??；（4）當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值（或最小值）．

典例探究答案：【例1】不畫圖象，說出拋物線y=﹣x2的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開口方向及最高（低）點(diǎn)坐標(biāo)．分析：形如y=ax2的拋物線的對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，開口方向由a的符號(hào)決定．解答：解：拋物線y=﹣x2的對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），開口方向下，最高點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）；點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，牢記形如y=ax2的拋物線的對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，開口方向由a的符號(hào)決定是解題的關(guān)鍵．練1．（2013秋?甘州區(qū)校級(jí)月考）在同一坐標(biāo)系中，作函數(shù)y=3x2，y=﹣3x2，y=x2的圖象，它們的共同特點(diǎn)是（）A．都是關(guān)于x軸對(duì)稱，拋物線開口向上B．都是關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線的頂點(diǎn)都是原點(diǎn)C．都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，拋物線的頂點(diǎn)都是原點(diǎn)D．都是關(guān)于y軸對(duì)稱，拋物線開口向下分析：本題的三個(gè)拋物線解析式都符合y=ax2形式，可以從頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸找相同點(diǎn)．解答：解：因?yàn)閥=ax2形式的二次函數(shù)對(duì)稱軸都是y軸，且頂點(diǎn)都在原點(diǎn)，所以它們的共同特點(diǎn)是：關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線，有公共的頂點(diǎn)．故選：B．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)圖象，要掌握y=ax2形式的二次函數(shù)對(duì)稱軸都是y軸，且頂點(diǎn)都在原點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【例2】（2012?平陰縣校級(jí)模擬）對(duì)于y=ax2（a≠0）的圖象下列敘述正確的是（）A．a(chǎn)的值越大，開口越大B．a(chǎn)的值越小，開口越小C．a(chǎn)的絕對(duì)值越小，開口越大D．a(chǎn)的絕對(duì)值越小，開口越小分析：拋物線的開口方向由a的符號(hào)確定，開口大小由|a|確定．解答：解：因?yàn)閨a|越大，拋物線的開口越小；|a|越小，拋物線的開口越大．故選C．點(diǎn)評(píng)：拋物線的開口大小由|a|確定：|a|越大，拋物線的開口越??；|a|越小，拋物線的開口越大．練2．（2014秋?民勤縣校級(jí)期中）拋物線y=x2，y=﹣3x2，y=x2的圖象開口最大的是（）A．y=x2B．y=﹣3x2C．y=x2D．無法確定分析：拋物線的開口大小由|a|確定，先求每一個(gè)二次函數(shù)的|a|，再比較大?。獯穑航猓骸遼﹣3|＞|1|＞||，∴拋物線y=x2，的圖象開口最大．故選A．點(diǎn)評(píng)：應(yīng)識(shí)記：拋物線的開口大小由|a|確定：|a|越大，拋物線的開口越??；|a|越小，拋物線的開口越大．【例3】已知函數(shù)y=ax2（a≠0）與直線y=2x-3交于A（1，b），求：（1）a和b的值；（2）當(dāng)x取何值時(shí)，二次函數(shù)y=ax2中的y隨x的增大而增大．分析：（1）利用待定系數(shù)法把點(diǎn)A（1，b）代入y=2x-3得到b的值，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=ax2得a的值；（2）利用a的值得出它的圖象開口向下，對(duì)稱軸為y軸，當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大．解答：解：（1）把點(diǎn)A（1，b）代入y=2x-3得：b=2×1-3=-1，把點(diǎn)A（1，-1）代入y=ax2得，a=-1；（2）∵a=-1，∴二次函數(shù)y=ax2為y=-x2，它的圖象開口向下，對(duì)稱軸為y軸，∴當(dāng)x＜0時(shí)，y隨x的增大而增大.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的增減性以及點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)和方程組的解法，根據(jù)題意得出a的值是解決問題的關(guān)鍵．練3．已知函數(shù)y=ax2的圖象過點(diǎn)（1，﹣）．（1）簡述函數(shù)的性質(zhì)；（2）在圖象上有兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），且x1＞x2＞0，比較y1，y2的大?。治觯海?）把點(diǎn)（1，﹣）代入函數(shù)y=ax2的解析式求得a的值，即可判定函數(shù)的性質(zhì)．（2）二次函數(shù)y=ax2對(duì)稱軸為y軸；當(dāng)x1＞x2＞0，時(shí)，在對(duì)稱軸的同側(cè)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，故y1＜y2．解答：解：（1）∵函數(shù)y=ax2的圖象過點(diǎn)（1，﹣）．∴a=﹣，∴開口向下，對(duì)稱軸為y軸，在y軸的右側(cè)y隨x的增大而減小，在y軸的左側(cè)y隨x的增大而增大．（2）∵該拋物線上兩點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2）的且x1＞x2＞0，∵x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，∵x1＞x2＞0，∴y1＜y2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，本題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)．課后小測答案：一、選擇題1．（2014秋?番禺區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)y=﹣2x2圖象是（）A．直線B．雙曲線C．拋物線D．不能確定解：函數(shù)y=﹣2x2圖象是拋物線．故選C．2．（2014?黃浦區(qū)一模）拋物線y=ax2（a＜0）的圖象一定經(jīng)過（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D(zhuǎn)．第二、四象限解：∵a＜0，∴拋物線y=ax2的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且開口方向向下，∴一定經(jīng)過第三、四象限．故選B．3．（2013秋?趙縣期末）在同一坐標(biāo)系中，拋物線y=4x2，y=x2，y=﹣x2的共同特點(diǎn)是（）A．關(guān)于y軸對(duì)稱，開口向上B．關(guān)于y軸對(duì)稱，y隨x的增大而增大C．關(guān)于y軸對(duì)稱，y隨x的增大而減小D．關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)是原點(diǎn)解：因?yàn)閽佄锞€y=4x2，y=x2，y=﹣x2都符合拋物線的最簡形式y(tǒng)=ax2，其對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)．故選D．4．（2003?甘肅）已知h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為h=gt2，（g為正常數(shù)，t為時(shí)間），則函數(shù)圖象為（）A．B．C．D．解：函數(shù)關(guān)系式h=gt2，（g為正常數(shù)，t為時(shí)間）是一個(gè)二次函數(shù)，圖象應(yīng)是拋物線；又因?yàn)閠的值只能為正，圖象只是拋物線在第一象限的部分．故選A．5．（2015?黃陂區(qū)校級(jí)模擬）二次函數(shù)y=x2的圖象的開口方向是（）A．向上B．向下C．向左D．向右解：∵二次函數(shù)y=x2的二次項(xiàng)系數(shù)a=1＞0，∴拋物線開口向上．故選A．6．（2015?山西模擬）拋物線y=﹣x2不具有的性質(zhì)是（）A．開口向上B．對(duì)稱軸是y軸C．在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大D．最高點(diǎn)是原點(diǎn)解：因?yàn)閍＜0，所以開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)（0，0），對(duì)稱軸是y軸，有最高點(diǎn)是原點(diǎn)．故選：A7．（2014?畢節(jié)市）拋物線y=2x2，y=﹣2x2，共有的性質(zhì)是（）A．開口向下B．對(duì)稱軸是y軸C．都有最高點(diǎn)D．y隨x的增大而增大解：（1）y=2x2開口向上，對(duì)稱軸為y軸，有最低點(diǎn)，頂點(diǎn)為原點(diǎn)；（2）y=﹣2x2開口向下，對(duì)稱軸為y軸，有最高點(diǎn)，頂點(diǎn)為原點(diǎn)；（3）y=x2開口向上，對(duì)稱軸為y軸，有最低點(diǎn)，頂點(diǎn)為原點(diǎn)．故選：B．8．（2014秋?汕頭校級(jí)月考）對(duì)于拋物線y=ax2，下列說法中正確的是（）A．a(chǎn)越大，拋物線開口越大B．a(chǎn)越小，拋物線開口越大C．|a|越大，拋物線開口越大D．|a|越小，拋物線開口越大解：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)|a|越大，開口越小，故選D．9．（2013秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）二次函數(shù)y=2x2圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（1，0）D．（0，1）解：∵次函數(shù)y=2x2中，b=0，c=0，∴此函數(shù)的頂點(diǎn)是原點(diǎn)．故選A．10．（2012秋?滕州市校級(jí)期末）下列說法錯(cuò)誤的是（）A．二次函數(shù)y=3x2中，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大B．二次函數(shù)y=﹣6x2中，當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值0C．拋物線y=ax2（a≠0）中，a越大圖象開口越小，a越小圖象開口越大D．不論a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，拋物線y=ax2（a≠0）的頂點(diǎn)一定是坐標(biāo)原點(diǎn)解：A、二次函數(shù)y=3x2中，當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大，說法正確，不符合題意；B、二次函數(shù)y=﹣6x2中，當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值0，說法正確，不符合題意；C、拋物線y=ax2（a≠0）中，|a|越大圖象開口越小，|a|越小圖象開口越大，說法錯(cuò)誤，符合題意；D、不論a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，拋物線y=ax2（a≠0）的頂點(diǎn)一定是坐標(biāo)原點(diǎn)，說法正確，不符合題意．故選C．二、填空題11．如圖所示，四個(gè)函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式分別是：①y=ax2，②y=bx2，③y=cx2，④y=dx2，則a，b，c，d的大小關(guān)系是．解：因?yàn)橹本€x=1與四條拋物線的交點(diǎn)從上到下依次為（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），所以，a＞b＞c＞d．故答案為：a＞b＞c＞d．12．（2015?閘北區(qū)一模）如果拋物線y=（m﹣1）x2的開口向上，那么m的取值范圍是．解：因?yàn)閽佄锞€y=（m﹣1）x2的開口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范圍是m＞1．13．（2014?日照一模）拋物線開口向下，則a=．解：依題意，得a2﹣a=2，解得：a=﹣1或2，∵拋物線開口向下，∴二次項(xiàng)系數(shù)a＜0，即a=﹣1．故本題答案為：﹣1．14．（2014秋?北京校級(jí)月考）拋物線的形狀大小、開口方向都與y=﹣12x2相同且頂點(diǎn)為（1，﹣2），則該拋物線的解析式為．解：設(shè)拋物線