2021年陜西省西安某中學高考數(shù)學五模試卷（理科）

2021年陜西省西安中學高考數(shù)學五模試卷（理科）

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.（3分）Z（M）表示集合/中整數(shù)元素的個數(shù)，設集合A={x|-l<x<8},

B={x|5<2x<17},則Z（Ap|8）=（）

A.3B.4C.5D.6

2.（3分）設z=W,彳是z的共物復數(shù)，則z[J=（）

1-i

A.-1B.iC.ID.4

3.（3分）等差數(shù)列{%}的前〃項和為S〃，若4=12,S5=90,則等差數(shù)列{4}公差為（

）

3

A.2B.-C.3D.4

2

4.（3分）位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋

形可近似地看成拋物線，該橋的高度為5加，跨徑為12根，則橋形對應的拋物線的焦點到準

線的距離為（）■/\

5.（3分）如圖，若在矩陣awe中隨機撒一粒豆子,則豆子落在圖中陰影部分的概率為（

）

d冗x

A,22:）2

A.1----D.—1/?一TD*1-----

71717127V

6.（3分）設a,b,c都是正數(shù)，且（；），=（》〃=（"）\那么（）

A111111「112n112

A.—i—=—Bo.—i—=—C.—-1—=-D.-1—=一

ahcbcaahcacb

f—2|x|的大致圖象為（）

c.

8.（3分）《數(shù)術記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳（約公元2世紀）所著,

該書主要記述了：積算（即籌算）太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成

數(shù)、把頭、龜算、珠算計數(shù)14種計算器械的使用方法某研究性學習小組3人分工搜集整理

14種計算器械的相關資料，其中一人4種、另兩人每人5種計算器械，則不同的分配方法

有（)

A.

B.

C.

D.

9.（3分）在空間四邊形M6中，若"=8。=8=?1=4。=8。，且￡1,/分別是AB,

。￡＞的中點，則異面直線AC與￡F所成角為（）

A.30°B.45°C.60,D.90°

22

10.（3分）已知直線y=與雙曲線C二一當=1（。＞0/＞0）相交于不同的兩點A,B,F

ab

為雙曲線。的左焦點，且滿足|A尸|=3|8用，|。4|=雙。為坐標原點），則雙曲線C的漸近

線方程為（）

A+母B.y=±生

A.y=±——xC.y=D.y=±y[3x

2

11.（3分）函數(shù)/（x）=Asin（azr+e）（A>0⑷>0,0〈9〈^）的部分圖象如圖所示，給下列說

法：

①函數(shù)的最小正周期為萬；

②直線為函數(shù)f（x）的一條對稱軸；

③點（-看,0）為函數(shù)/（x）的一個對稱中心；

④函數(shù)/（x）的圖象向右平移？個單位后得到y(tǒng)=0sin2x的圖象.

其中不正確說法的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

12.（3分）數(shù)列｛〃“｝滿足q=1,nan+i=（n+V）an+n（n+1）,若b“=a“cos3工，且數(shù)列｛包｝

的前〃項和為S“，則’|=（）

A.64B.80C.-64D.-80

二、填空題

13.（3分）某校高三科創(chuàng)班共48人，班主任為了解學生高考前的心理狀況，將學生按1至

48的學號用系統(tǒng)抽樣方法抽取8人進行調(diào)查，若抽到的最大學號為48,則抽到的最小學號

為—.

14.（3分）在平行四邊形MCZ）中，E為線段C￡>的中點，AP=yAD,血=光而，其中x,

ye/?,且均不為0.若而//而，則』=.

X

15.（3分）己知/㈤為奇函數(shù)，當用,0時，f（x）=x2-3x,則曲線y=/（x）在點（1,T）處

的切線方程為一

16.（3分）已知矩形ABCZ）中，A8=2,8C=G,E是CZ）邊的中點.現(xiàn)以AE為折痕將AADE

折起，當三棱錐。-ABE的體積最大時，該三棱錐外接球的表面積為一.

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題

17.在AABC中，內(nèi)角A、8、C的對邊分別為〃,b,c,已知Z?（cosA-2cosC）=（2c-a）cosB.

（1）求包工的值；

sinC

（2）若cos3=J,b=2,求AABC的面積S.

4

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABVPC,AD/IBC,ADYCD,且

PC=BC=2AD=2CD=2叵,PA=2.

（1）證明：P4_L平面ABC￡＞；

（2）在線段PZ）上，是否存在一點M,使得二面角M-AC-D的大小為60。？如果存在,

19.為2020年全國實現(xiàn)全面脫貧，湖南貧團縣保靖加大了特色農(nóng)業(yè)建設，其中茶葉產(chǎn)業(yè)是

重要組成部分，由于當?shù)氐牡刭|(zhì)環(huán)境非常適宜種植茶樹，保靖的“黃金茶”享有“一兩黃金

一兩茶”的美譽.保靖縣某茶場的黃金茶場市開發(fā)機構(gòu)為了進一步開拓市場，對黃金茶交易

市場某個品種的黃金茶日銷售情況進行調(diào)研，得到這種黃金茶的定價x（單位：百元/依）和

銷售率y（銷售率是銷售量與供應量的比值）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：

X102030405060

y0.90.650.450.30.20.175

（1）設2=/“，根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)判斷，回歸模型＞Bx+d與?=良+4哪個更合適？并

根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程（4,b的結(jié)果保留一位小數(shù)）；

（2）某茶場的黃金茶生產(chǎn)銷售公司每天向茶葉交易市場提供該品種的黃金茶1200依，根據(jù)

（1）中的回歸方程，估計定價x（單位：百元/依）為多少時，這家公司該品種的黃金茶的

日銷售額卬最大，并求卬的最大值.

參考數(shù)據(jù)：y與x的相關系數(shù)“7-0.96,y與z的相關系數(shù)^0.99,元=35,y?0.45,

234

WX=9100,z?3.4O,6z?69.32,yizi?8.16,￡z；=71.52，/?20.1,e?30.0,

i=lr=l/=l

*==33.1,e、54.6.

t(x：-x)(y,.-y)才占其—rixyt(斗一元)(其一7)

參考公式：b=-^—^-----------=號---------,a=y-bx,r=川“二.

^-riX-位(斗一元這(/_刃2

』MV/=!/=1

20.已知拋物線r：V=0X(4>0)的焦點為P,若過點尸且傾斜角為二的直線交拋物線「于

4

M,N兩點，滿足|MN|=8.

(1)求拋物線「的方程；

(2)過點。(皿0)且斜率為1的直線被拋物線r截得的弦為他，若點F在以45為直徑的

圓內(nèi)，求機的取值范圍.

21.已知函數(shù)/(X)=e*-1-0x(°eR).

(1)試討論函數(shù)〃x)的零點個數(shù)；

(2)若函數(shù)g(x)=/"(e*-1)一/nr,且/［g(x)］<f(x)在xe(0,+oo)上恒成立,求實數(shù)。的取

值范圍.

(二)選考題：請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.［選

修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

x=-l+COS(P

22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為廠(夕為參數(shù)).

y=+sin*

(I)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線。的極坐標方程；

(0)若射線夕=已與曲線。有兩個不同的交點A,B,求—L+—L的取值范圍.

|OA|\OB\

［選修4-5：不等式選講］

23.已知函數(shù)f(x)=\x-2\-2\x\.

(1)求不等式/(x)>l的解集；

11A9

(2)若正數(shù)。，b,。滿足a+4b+9c=/(-)+2,求一+-+—的最小值.

3abc

2021年陜西省西安中學高考數(shù)學五模試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.（3分）Z（M）表示集合M中整數(shù)元素的個數(shù)，設集合A=｛x|-1vxv8｝,

B={x|5<2x<17},則2(峭8)=()

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：fi={x||<x<—}；

AQ/?={X|-<X<8}；

故選：C.

2.（3分）設2=上些，Z是z的共舸復數(shù)，貝Uz!T=（

)

1-/

A.-1B.iC.1D.4

【解答】解…若(l+i)22z

(l-0(l+D~2

z[J=|z/=1.

故選：C.

3.（3分）等差數(shù)列｛（｝的前〃項和為S〃，若q=12,S5=90,則等差數(shù)列｛%｝公差為（

）

3

A.2B.-C.3D.4

2

【解答】解：?.?q=12,S5=90,

3x4

.-.5x12+--d=9Q,

2

解得d=3.

故選：C.

4.（3分）位于德國東部薩克森州的萊科勃克橋（如圖所示）有“仙境之橋”之稱，它的橋

形可近似地看成拋物線，該橋的高度為5根，跨徑為12機，則橋形對應的拋物線的焦點到準

5w

線的距離為（)12m

”〃，

A.B.—mC.-mD.%

12655

【解答】解:（1）設拋物線的解析式為:x2=-2py,p>0,

?.?拋物線過(6,-5),則36=102，可得p=￡,

拋物線的焦點到準線的距離為：-

5

故選：D.

5.（3分）如圖，若在矩陣。中隨機撒一粒豆子，則豆子落在圖中陰影部分的概率為（

)

A.1--B.-C.4D.1_A

7171717t

【解答】解：S矩形=)，Vsxnxdx=-cosxIo=-(cos7i-cos0)=2,

*0

S陰影=4一2,

故豆子落在圖中陰影部分的概率為0=1-2

71幾

故選：A.

6.（3分）設a,b,c都是正數(shù)，且（；）"=（：）”=（'，，那么（

)

A1?1B.11=1—112

A.一+—=一+D.—I—=—

abcbcaabcacb

【解答】解：設，）"=(、)"=($=%，k>0,且Zwl；

所以a=log]&,/?=log)k,c=log!k；

469

所以-=-----=log4-，

alog,k人4

11?1,1?1?12

所以一+-=log&7+logAA=log&m=21ogA：=￡

ac49366b

故選：D.

當x-0時，—^1,貝lJ/（x）fl+O=l,排除A,

x

故選：D.

8.（3分）《數(shù)術記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳（約公元2世紀）所著，

該書主要記述了：積算（即籌算）太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成

數(shù)、把頭、龜算、珠算計數(shù)14種計算器械的使用方法某研究性學習小組3人分工搜集整理

14種計算器械的相關資料，其中一人4種、另兩人每人5種計算器械，則不同的分配方法

有（）

G!1c以圖

F一

c.

A；

D.

【解答】解：將14種計算器械的相關資料分成滿足題意的3組只有4,5,5則不同的分配

方法有

A2

故選：A.

9.（3分）在空間四邊形A88中，若A3=8C=C￡>=D4=AC=8L>,且E,F分別是AB,

8的中點，則異面直線AC與跖所成角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解答】解：因為在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD,

所以空間四邊形ABCD是一個正四面體ABCD,

在圖1中，連結(jié)DE,EC,因為ADEC為等腰三角形，設空間四邊形ABCD的邊長為2,

在ADEC1中，DE=EC=6,CF=\,可得EF=6,

在圖2中，取AD的中點連結(jié)〃￡,MF,

因為E,尸分別是反，CD的中點，所以MF=1,￡M=1,

ZEFM是異面直線AC與砂所成的角,

在AEMF中，MF2+EM2^EF2,故ABWF為等腰直角三角形,

所以/ERW=45。,

故異面直線AC與EF所成角的大小為45。.

故選：B.

=1（a>0力>0）相交于不同的兩點4,B,F

為雙曲線C的左焦點，且滿足|4尸|=3|8尸I，|。4|=儀0為坐標原點)，則雙曲線C的漸近

線方程為()

A.y=±-^-xB.y=+-^-xC.y=±x[2xD.y=±>/3x

【解答】解：設則解用=3|3F|=3m,

取雙曲線的右焦點廣，連接A尸，BF',

所以四邊形位環(huán)為平行四邊形，

所以|AF'|=|8尸|=相，

設A在第一象限，得3〃?—機=2a,即，"=a,

由平行四邊形的對角線的平方和等于四邊的平方和，

可得(26)2+(2C)2=2(/+9/)，所以02=3a2,

則b2=c2-o2=2a2,BP—=>

a

所以雙曲線的漸近線的方程為丫=±2》=士夜x,

a

故選：C.

11.(3分)函數(shù)/(x)=Asin(azx+9)(A>O,0>O,O<e</)的部分圖象如圖所示，給下列說

法：

①函數(shù)/(%)的最小正周期為開；

②直線x=-^為函數(shù)/(x)的一條對稱軸；

③點(-y,0)為函數(shù)/(X)的一個對稱中心；

④函數(shù)f(x)的圖象向右平移"個單位后得至Uy=&sin2x的圖象.

其中不正確說法的個數(shù)是()

，八碧/

.pF

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：由圖象可知，A=叵,最小正周期T=4x(K-工)=萬，所以/=二=2,

123T

將點(普,-7可代入函數(shù)得，一收=0411(2x^+9),

所以1+3=-]+2'不，即e=-,+2%應上eZ,

因為0<9<],所以取2=1,(p=%,所以/'(x)=夜sin(2x+至.

因此①正確；

②"一意)=血Sinl2*(一言)*=一夜'所以②正確；

③令2尤+生=無應?eZ,則％=-乙+竺，ZeZ,當人=—1時，X=--.

3623

所以點(-,,0)為函數(shù)/(x)的一個對稱中心，即③正確；

④函數(shù)f(x)的圖象向右平移(個單位得到y(tǒng)=7isin[2(x-§+g=&sin(2x-至，即④錯

誤.

所以不正確的為④，

故選：A.

12.(3分)數(shù)列｛〃“｝滿足q=1,nan+x=(n+l)an+n(n+1),若％=a“cos^且數(shù)列｛b〃｝

的前〃項和為S〃，則品=()

A.64B.80C.-64D.-80

【解答】解：數(shù)列｛%｝滿足q=1,”+1=(〃+1)?！?九(〃+1),

則4tL=%+],

〃+1n

可得數(shù)列｛殳｝是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，

n

即有%=〃，即為%=/,

Mil.2”122n兀

WUbn=ancos------ncos—,

22222222222

則5n=--(l+2+4+5+7+8+10+11)+(3+6+9)

=--(l2+22-32-32+42+52-62-62-72+82-92-92+102+ll2)

2

=」x(5+23+41+59)=-64.

故選：C.

二、填空題

13.(3分)某校高三科創(chuàng)班共48人，班主任為了解學生高考前的心理狀況，將學生按1至

48的學號用系統(tǒng)抽樣方法抽取8人進行調(diào)查，若抽到的最大學號為48,則抽到的最小學號

為6.

【解答】解：系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為生=6,

8

則48-6x7=6,

則抽到的最小學號為6,

故答案為：6.

14.(3分)在平行四邊形中，E為線段CD的中點，AP=yAD,AQ=xAB,其中x,

ywR,且均不為0.若麗//曲，則上=2.

X

【解答】解：如圖所示，

APD

BG

口488中，E為8的中點，AP=yAD,AQ=xAB,

所以用=而_麗=彳而-y而，

BE=BC+CE=AD+-CD=--AB+AD,

22

又聞/展，

所以x.l_(_g).(_y)=0,解得2x=y,

又xwO且"0,所以2=2.

X

故答案為：2.

15.(3分)已知/(九)為奇函數(shù)，當用,0時，f(x)=x2-3x,則曲線y=/(x)在點(1,-4)處

的切線方程為_5x+y-\=0_

【解答】解：設x>0,則一xvO,/./(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x.

又/(X)為奇函數(shù)，.,.一/(x)=V+3x,/(X)=一"2-3x(x>0),

f\x)=-2x-3f

f(1)=-2-3=-5,f(1)=4

y+4=-5(x-l)=-5x+5,

5x+y—1=0.

故答案為：5x+y—1=0

16.(3分)已知矩形中，A8=2,8C=G,E是C￡>邊的中點.現(xiàn)以AE為折痕將A4DE

折起，當三棱錐O-叱的體積最大時，該三棱錐外接球的表面積為—.

-3一

【解答】解：由題意，當平面AQEL平面A3E時，三棱錐O—A3E的高最大值，此時體積

最大.

???AADE是直角三角形，

三棱錐。一他￡換成B-ADE

底面AADE外接圓半徑r=,AE=1,

2

垂直面AA8E是邊長為2等邊三角形，

可得AE邊上的高h=G；

設球心與圓心距離為d,球半徑為R,

R2=r2+d2……①

&d=R...②

由①②解得R卷;

三棱錐外接球的表面積S=4萬六=啊

3

故答案為：—

3

三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試

題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題

17.在AAfiC中，內(nèi)角A、8、C的對邊分別為a,b,c,已知b(cosA-2cosc)=(2c—a)cos8.

(1)求任4的值；

sinC

(2)若cosB=-,b=2,求AABC的面積S.

4

【解答】解：(1)?.?在AABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a,b,c,

伙cosA-2cosC)=(2c-a)cosB.

/.由正弦定理得：sin8(cosA-2cosC)=(2sinC-sinA)cosB,

化簡,得：sin(A+B)=2sin(8+C),

「.sinC=2sinA,

sinA1

----=-?

sinC2

/C、sinA1-

sinC2

由余弦定理得：b2=a2+c2-2tzccosB,

?/cosB=—>b=2,

4

:.4=a2+4<72-a2.解得a=l,c=2,

?：cos3=；，0<Bv4,/.sinfi=Jl_(；)2=,

「.AABC的面積S=—sinB=—x1x2x.

2244

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABLPC,AD!IBC,ADA.CD,且

PC=BC=2AD=2CD=2叵,PA=2.

(1)證明：氏_L平面ABC。；

(2)在線段PD上，是否存在一點M,使得二面角M—AC-。的大小為60。？如果存在,

求也的值；如果不存在，請說明理由.

PD

【解答】證明：（1）?.?在四棱錐尸一438中，ABYPC,AD//BC,ADYCD,

且尸C=8C=2AO=2CE>=2及，PA=2.

AB=AC=siAD2+CD2=2,

AB2+AC2=BC2,M2+AC2=PC2,

.-.ABA.AC,API.AC,

?：ABrPC,.?.AB_L平面姑C,:.PAYAB,

■：AB^AC=A,平面A3CD.

解：(2)以A為原點，43為x軸，AC為y軸，轉(zhuǎn)為z軸，

建立空間直角坐標系，

設在線段PQ上，存在一點M(a,b,c),

使得二面角〃一AC-。的大小為60。，且現(xiàn)=4,(噴必1),

PD

A(0,0,0),C(0,2,0),尸(0,0,2),

L>(-1,1,0),

Per=-2

PM=3，b,c—2),PD—(—1,1j—2),(Z?=4,.0.M(—A,A,2-24),

[c=2-22

AC=(0,2,0),AM=(-Af2,2-22),

設平面ACM的法向量比=(x,y,z),

_.[in'AC=2y=0口/口2

則《_',取x=l,得玩=(1,0,--------),

m-AM=-Ax+Ay+(2-22)z=02-22

平面AC￡>的法向量為=(0,0,1),

???二面角加一AC-。的大小為60。，

1^—1

2-22

,2=顯+(^—)2

2-22

解得2=4—2y/3.

二.在線段PO上，存在一點M,使得二面角M—AC-。的大小為60。，—=4-2>/3.

PD

p

19.為2020年全國實現(xiàn)全面脫貧，湖南貧團縣保靖加大了特色農(nóng)業(yè)建設，其中茶葉產(chǎn)業(yè)是

重要組成部分，由于當?shù)氐牡刭|(zhì)環(huán)境非常適宜種植茶樹，保靖的“黃金茶”享有“一兩黃金

一兩茶”的美譽.保靖縣某茶場的黃金茶場市開發(fā)機構(gòu)為了進一步開拓市場，對黃金茶交易

市場某個品種的黃金茶日銷售情況進行調(diào)研，得到這種黃金茶的定價x（單位：百元/必）和

銷售率y（銷售率是銷售量與供應量的比值）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:

X102030405060

y0.90.650.450.30.20.175

（1）設z=/nr,根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)判斷，回歸模型+d與夕=良+3哪個更合適？并

根據(jù)你的判斷結(jié)果求回歸方程（G,b的結(jié)果保留一位小數(shù)）;

（2）某茶場的黃金茶生產(chǎn)銷售公司每天向茶葉交易市場提供該品種的黃金茶1200依，根據(jù)

（1）中的回歸方程，估計定價x（單位：百元/依）為多少時，這家公司該品種的黃金茶的

日銷售額W最大，并求卬的最大值.

參考數(shù)據(jù)：y與x的相關系數(shù)/=-0.96,y與z的相關系數(shù)弓=0.99,x=35,y?0.45,

666

=9100,z?3.40,6z2?69.32,工y/產(chǎn)8.16,?71.52,e3^20A,e34?30.0,

/=l?=1i=l

e“。33.1,/a54.6.

Z（七_亍）（y-y）Xx1-y--時Z（%—五）（%一1）

參考公式：b=---------=號---------,a=y-bx,r=“.

￡（玉-方￡片-療位（苦_君吃

<=1V/=!；=1

【解答】解：（1）因為回歸模型9=%+4的相關系數(shù)|“歸0.96,回歸模型$=會+&的相關

系數(shù)|41=0.99,

因為0.96<0.99<1,

由線性相關系數(shù)的意義可知，回歸模型夕=R+4更合適,

^(z,.-z)(yf-y)

8.16-6x3.40x0.45

b=^-^-----i=--l_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-___x-0.46x-0.5,

t71.52-69.32

E(z,-z)2之Z”田

1=1i=l

a=y-b^=0.45-(-0.45)x3.40?2.0，

所以回歸方程為y=-0.5/nr+2.0：

(2)由題意可知，W=1200x(-0.5/zzr+2.0)x,

所以W'=1200x(1.5-0.5/nx),

令W，=0,解得/nr=3,BPx=e3?20.1,

當0<x</時，W'>0,W單調(diào)遞增，

當joe?時，W'<0,卬單調(diào)遞減，

所以當售價約為20.1百元/依時，日銷售額W最大,

最大值為1200x(-0.5xIne3+2.0)xe3?1200x(-0.5x3+2.0)x20.1=12060百元,

所以最大日銷售額為120.6萬元.

20.已知拋物線「丁=以5>0)的焦點為尸，若過點尸且傾斜角為生的直線交拋物線「于

4

M,N兩點，滿足|MN|=8.

(1)求拋物線「的方程；

(2)過點。(皿0)且斜率為1的直線被拋物線「截得的弦為43,若點F在以45為直徑的

圓內(nèi)，求，”的取值范圍.

【解答】解：(1)拋物線「〉2=加(。>0)的焦點為尸(色，0),

4

則過點尸的傾斜角為?的直線方程為y=x-t,

聯(lián)立y1-ax,Wx2-—x+—=0,

216

設M(Xi，y),N?,%),

則否+々=與，

由拋物線的定義可得|A/N|=芭+々+卷=2。=8,解得a=4,

所以拋物線「的方程為V=4x.

(2)設直線/W的方程為y=x-帆，

代入y2=4%,得y2-4y-4m-0,

由△=16+16帆>0,得機>—1,

設4當，必)，B(x4,

得%+”=4，y3y4=Tm，

又尸(1,0),所以而=(芻-1，%)，麗=(%-1，%)，

因為點尸在以為直徑的圓內(nèi)，

所以NAEB為鈍角，即序?麗<0,

得(芻-1)(七-1)+'|居<0，得玉毛一(毛+王)+1—4加<0,

22

所以''機——1(為+為)+2a]+1-4/〃<0,得加2_-3<0,

解得3-26<〃?<3+26，又利>一1,

所以m的取值范圍為(3-26，3+26).

21.己知函數(shù)/'(x)=e]—1—ax(ciG/?).

(1)試討論函數(shù)/(x)的零點個數(shù)；

(2)若函數(shù)g(x)=/"(e*,且/Ig(x)]<f(x)在xe(0,+oo)上恒成立,求實數(shù)a的取

值范圍.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，可得((x)=e'-a,則有：

①若知0,則/(x)=e'-a>0,此時可得函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，

又因為“0)=0,所以函數(shù)只有一個零點；

②若a>0,令/(x)=0,則有x=/"，

所以fr(x)>0^>x>lna>此時函數(shù)/(x)在(/“a,*0)上單調(diào)遞增；

f'(x)<0^>x<lna，此時函數(shù)/(%)在(-oo,/〃a)上單調(diào)遞減；即得

/(x)OT；?=f(lna)=a-\-alna,

則有:⑺當癡=O=a=l時，則/(x)..O,此時函數(shù)f(x)只有一個零點；

(ii)當/㈤*0時,即ax1時，則f(lna)</(0)=0,

又因為X--00時，/(X)—>+CO;X->+8時，/(x)f+oo,

根據(jù)零點存在定理可得，此時函數(shù)/(x)在R上有兩個零點.

綜上可得，當%0或a=l時，函數(shù)f(x)只有一個零點；當ae(0,1)D(1,+8)時，函數(shù)f(x)

有兩個零點.

(2)由(1)可知，當q,0或a=l時，f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

x

e_1

則有flsMi</(%)。g(x)<x=/〃(，-1)一加x<x=In----<%在(0,4-oo)上恒成立,

x

x_1x_1x-1

又因為x>0時，-e--->0,所以例-e----exo-e----<ex<^>ex-l<xex<^>xex-ex+l>0

xxx

令H(x)=xex-ex+\(x>0)

?/H\x)=x">0在(0,+oo)上恒成立，即得函數(shù)”(%)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

故有H(x)>H(0)=0,即得力g(x)]v/(x)在x￡(0,”o)上恒成立，符合題意；

當Ovavl時，由(1)得，/(幻在(0,+OD)上單調(diào)遞增，則由上結(jié)論可知,f[g(x)]</(x)在

xe(0,+oo)上恒成立，符合題意；

當時，由(1)得，/(幻在(0,方4)上單調(diào)遞減，在々肛yo)上單調(diào)遞增，

此時當0<%<癡時，Ovg(x)<x<Inaof[g(x)]>f(x),不合題意，

綜上可得，4,1,即aw(-oo,1].

(二)選考題:請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選