2021年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)沖刺試卷（一）

2021年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)沖刺試卷（一）

一、選擇題（每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）

1.（4分）」的絕對值是（）

3

A.-3B.AC.3D.」

33

2.（4分）下列運(yùn)算結(jié)果為小的是（）

A./.JB.a9-a3C.（a2）3D.?l84-a3

3.（4分）截止北京時(shí)間2020年4月11日21時(shí)許，全球累計(jì)新冠確診病例數(shù)已超171萬

例.將1710000用科學(xué)記數(shù)法表示（）

A.1.71X105B.0.171X107C.1.71X106D.1710000

4.（4分）一個(gè)袋子中裝有6個(gè)黑球3個(gè)白球，這些球除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全

相同，在看不到球的條件下，隨機(jī)地從這個(gè)袋子中摸出一個(gè)球，摸到白球的概率為（）

A.AB.Ac.AD.2

9233

5.（4分）如圖，已知?！◤囊粔K含30°角的直角三角板，如圖所示放置，Z2=30°,則

N1等于（）

A.110°B.130°C.150°D.160°

6.（4分）如圖，在。。中，ZC=30°,OA=2,則弧AB的長為（）

C.—D.TT

A?等"T3

7.（4分）如圖是一個(gè)由5個(gè)棱長為1的小正方形搭成的幾何體，下列說法正確的是（）

A.左視圖的面積為3B.主視圖的面積為5

C.俯視圖的面積為3D.三種視圖的面積都是4

8.（4分）某校為了解學(xué)生在校一周體育鍛煉時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了35名學(xué)生，調(diào)查結(jié)果列表

如下：

鍛煉時(shí)間〃？5678

人數(shù)615104

則這35名學(xué)生在校一周體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）

A.6h,6hB.6h,15〃C.6.5/7,6hD.6.5h,15〃

9.（4分）若二次函數(shù)＞=-7+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）,當(dāng)時(shí)，y有最大值3,

最小值-1,則r的取值范圍應(yīng)是（）

A.-6W忘2B.fW-2C.-6WfW-2D.-2WfW2

10.（4分）將四張邊長各不相同的正方形紙片①、②、③、④按如圖方式放入矩形ABCD

內(nèi)（相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙），未被四張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，若

已知陰影部分⑥與陰影部分⑤的周長之差，則不需測量就能知道周長的正方形的標(biāo)號(hào)為

二、填空題（每小題5分，共30分）

11.（5分）/嬴中x的取值范圍為.

12.（5分）當(dāng)。=時(shí)，三二L的值為零.

a-l

13.（5分）若一次函數(shù)y=x+b（6為常數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，寫出一個(gè)符合

條件的b的值為

14.（5分）已知x和y滿足方程組13'+2尸4,則代數(shù)式9/-由2的值為____.

I6x-4y=3

15.（5分）如圖，Rt2\ACB中，ZC=90°,AC=BC=6,點(diǎn)。在8c邊上，且0B=2,P

是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接。P,以點(diǎn)。為圓心，0P長為半徑為作00.當(dāng)。0與RtZ\ACB

的邊相

切時(shí)，8P的長為.

16.（5分）如圖，矩形ABC￡＞中，點(diǎn)4在函數(shù)y=K（心＞0,x＞0）的圖象上，點(diǎn)8,C在

x

x軸上，交），軸于點(diǎn)凡延長C￡＞至點(diǎn)E,使C￡＞=3OE,連接BE交y軸于點(diǎn)P,連

接PC,PA.若aPCB的面積為5,則上的值為,△POC的面積與

/XPFA的面積差為.

三、解答題（本大題有8小題，共80分）

17.(8分)(1)計(jì)算：(x+2)2-x(x-3).

（2）解不等式：生，空支-2.

23

按要求畫圖:

（1）請?jiān)趫D1中畫一個(gè)五邊形A8CQE,且是軸對稱圖形.

（2）請?jiān)趫D2中畫一個(gè)六邊形ABCDEF,且是中心對稱圖形.

19.（8分）如圖，小明想在自己家的窗口A處測量對面建筑物CD的高度，他首先測量出

窗口A到地面的距離48=16〃?，又測得從A處看建筑物底部C的俯角為支=30°,看建

筑物頂部。的仰角為0=45°,且AB,CD都與地面垂直，點(diǎn)A,B,C,。在同一平面

內(nèi).

（1）求A8與CZ）之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）求建筑物C￡＞的高度（結(jié)果精確到0.1M.（參考數(shù)據(jù)：加七1.41,A/3^1.73）

20.（10分）如圖，二次函數(shù)）=（x+2）2+加的圖象與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B在拋物線上，且

與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上

的點(diǎn)4（-1,0）及點(diǎn)8.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）根據(jù)圖象，寫出滿足（x+2）2+帆，"+/）的％的取值范圍.

21.（10分）為了了解同學(xué)們每月零花錢的數(shù)額，校園小記者隨機(jī)調(diào)查了本校部分同學(xué)，根

據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

組別分組（單位：元）人數(shù)

40?08

B30〈xW6032

C60VxW90a

D90cxW12016

Ex>1204

請根據(jù)以上圖表，解答下列問題：

（1）這次被調(diào)查的同學(xué)共有人，,m=：

（2）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中C所在的扇形的圓心角度數(shù)；

（3）該校共有學(xué)生2000人，請估計(jì)每月零花錢的數(shù)額x在60<xW120范圍內(nèi)的人數(shù).

調(diào)查結(jié)果扇賒計(jì)圖

22.（10分）某校學(xué)生食堂共有座位3600個(gè)，某天午餐時(shí)，食堂中學(xué)生人數(shù)y（人）與時(shí)間

x（分鐘）變化的函數(shù)關(guān)系圖象如圖中的折線OAB.

（1）試分別求出當(dāng)0Wx<20與20?38時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）已知該校學(xué)生數(shù)有6000人，考慮到安全因素，學(xué)校決定對剩余2400名同學(xué)延時(shí)用

餐，即等食堂空閑座位不少于2400個(gè)時(shí)，再通知剩余2400名同學(xué)用餐.請結(jié)合圖象分

析，這2400名學(xué)生至少要延時(shí)多少分鐘？

23.（12分）【基礎(chǔ)鞏固】

（1）如圖1,在四邊形ABCQ中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，ZDPC=ZA=ZB=90°,求證:

AD-BC=AP'BP.

【嘗試應(yīng)用】

（2）如圖2,在邊長為4的菱形A8CD中，NABC=60°,E為對角線8。上一點(diǎn)，且

BE=2DE,F為AD上一點(diǎn)，ZA￡F=30°,求A尸的長.

【拓展提高】

(3)如圖3,等邊△DEF內(nèi)接于矩形ABCD,其中點(diǎn)E,尸分別在邊A2,8c上，若BE

=4,8=5,求等邊△OEF的邊長.

圖1圖2圖3

24.(14分)定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形.

(1)如圖1,在11X7的網(wǎng)格中，點(diǎn)4,B,。都是網(wǎng)格的格點(diǎn)，請你確定所有格點(diǎn)C,

使得四邊形ABCD是對余四邊形.

(2)如圖2,EF是。0的直徑，點(diǎn)A,D,C在00上，AF,CE相交于點(diǎn)B.求證：

四邊形4BCD是對余四邊形.

(3)已知四邊形ABCO是對余四邊形.

①如圖3,若DA=DB,BC=2,CD=4,AC=6,求/D48的度數(shù)；

②在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(1,2),求線段￡>0長度的取

值范

圖1圖2圖3

2021年浙江省寧波市中考數(shù)學(xué)沖刺試卷（一）

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）

1.（4分）」的絕對值是（）

3

A.-3B.AC.3D.」

33

【解答】解：根據(jù)絕對值的概念可知：I-

33

故選：B.

2.（4分）下列運(yùn)算結(jié)果為M的是（）

A.a3,a2B.a9-a1C.（a2）3D.a184-a3

【解答】解：4。3.〃2="5,故本選項(xiàng)不合題意；

B./與-/不是同類項(xiàng)，所以不能合并，故本選項(xiàng)不合題意；

C.（J）3=不，故本選項(xiàng)符合題意；

D.小。，=小,故本選項(xiàng)不合題意.

故選：C.

3.（4分）截止北京時(shí)間2020年4月11日21時(shí)許，全球累計(jì)新冠確診病例數(shù)已超171萬

例.將1710000用科學(xué)記數(shù)法表示（）

A.1.71X105B.0.171X107C.1.71X106D.1710000

【解答】解：將數(shù)據(jù)1710000用科學(xué)記數(shù)法表示為：1.71X1（）6.

故選：C.

4.（4分）一個(gè)袋子中裝有6個(gè)黑球3個(gè)白球，這些球除顏色外，形狀、大小、質(zhì)地等完全

相同，在看不到球的條件下，隨機(jī)地從這個(gè)袋子中摸出一個(gè)球，摸到白球的概率為（）

A.AB.Ac.AD.2

9233

【解答】解：?.?袋子中裝有6個(gè)黑球3個(gè)白球，共有9個(gè)球，

摸到白球的概率為3=」；

93

故選：C.

5.（4分）如圖，已知?！╞,一塊含30°角的直角三角板，如圖所示放置，Z2=30°,則

N1等于（）

1

：<L

A.110°B.130°C.150°D.160°

【解答】解：VZC=90°,Z2=ZCDE=30°>

Z3=ZC+ZCDE

=900+30°

=120°.

AZ4=Z3=120o.

,/NA=30°

??.N1=N4+N4

=120°+30°

=150°.

故選：C.

c

6.（4分）如圖，在。0中，ZC=30°,04=2,則弧A8的長為（）

??c

B

BC7T「

AT-2----D.71

3

【解答】解：???/C=30°,

根據(jù)圓周角定理可知：ZAOB=60°,

VOA=2f

.一幾廿

??1--6-0------X--2-—_—271，

1803

/.弧AB的長為2n.

3

故選：A.

7.（4分）如圖是一個(gè)由5個(gè)棱長為1的小正方形搭成的幾何體，下列說法正確的是（）

A.左視圖的面積為3B.主視圖的面積為5

C.俯視圖的面積為3D.三種視圖的面積都是4

【解答】解：A、從左面看，底層是2個(gè)正方形，上層左邊是1個(gè)正方形，所以面積為3,

故本選項(xiàng)符合題意；

B、從正面看，底層是3個(gè)正方形，上層中間是1個(gè)正方形，所以面積為4,故本選項(xiàng)不

合題意；

C、從上面看，底層是2個(gè)正方形，上層是2個(gè)正方形，所以面積為4,故本選項(xiàng)不合題

意；

。、左視圖的面積為3,故本選項(xiàng)不合題意.

故選：A.

8.（4分）某校為了解學(xué)生在校一周體育鍛煉時(shí)間，隨機(jī)調(diào)查了35名學(xué)生，調(diào)查結(jié)果列表

如下:

鍛煉時(shí)間"5678

人數(shù)615104

則這35名學(xué)生在校一周體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（）

A.6/?,6/2B.6h,15/iC.6.5/?,6hD.6.5/i,15/J

【解答】解：這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為6〃，中位數(shù)為第18個(gè)數(shù)據(jù)，即中位數(shù)為6/7,

故選：A.

9.（4分）若二次函數(shù)y=o?-x+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）,當(dāng)fWxW2時(shí)，y有最大值3,

最小值-1,貝卜的取值范圍應(yīng)是（）

A.-6W忘2B.忘-2C.-6WW-2D.-2WtW2

【解答】解：：二次函數(shù)y=o?-x+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）,

-l=aX22-2+2,

解得-1,

4

；.y=-Ax2-x+2--—（x+2）2+3,

44

.,.該函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸是直線x=-2,當(dāng)x=-2時(shí)，該函數(shù)取得最大值3,

?.?當(dāng)時(shí)，y有最大值3,最小值-1,當(dāng)x=2時(shí)，y=-l,

-6WW-2,

故選：C.

10.（4分）將四張邊長各不相同的正方形紙片①、②、③、④按如圖方式放入矩形ABCD

內(nèi)（相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙），未被四張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，若

已知陰影部分⑥與陰影部分⑤的周長之差，則不需測量就能知道周長的正方形的標(biāo)號(hào)為

【解答】解：設(shè)①、②、③、④四個(gè)正方形的邊長分別為氏c、d,陰影部分⑥與陰

影部分⑤的周長之差為I,

由題意得2（a+b~d+d）-2（.h-a+a）—I,

整理得2a=I,

則知道/的值，不需測量就能知道正方形①的周長.

故選：A.

二、填空題（每小題5分，共30分）

11.（5分）中x的取值范圍為x2-2.

【解答】解：根據(jù)題意得x+220,解得x）-2.

故答案為x2-2.

12.（5分）當(dāng)“=-I時(shí),a-1的值為零.

a-l

2

【解答】解：由題意得，a-1-0,Q-1W0,

解得，a=-1,

故答案為：-1.

13.（5分）若一次函數(shù)y=x+6（。為常數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，寫出一個(gè)符合

條件的b的值為-1（滿足:<。即可）.

【解答】解：由題意得，z=1>0,b<0

故符合條件的函數(shù)可以為：y=x-l

故答案為：-1（滿足力<0即可）

14.（5分）已知x和y滿足方程組［3、+2片4,則代數(shù)式97-4?的值為6.

I6x-4y=3

【解答】解：由6x-4y=3得3x-2y=1.5,

9?-4y2=（3x+2y）（3x-2y）=4X1.5=6.

故答案為6.

15.（5分）如圖，RtZ\4CB中，ZC=90°,AC=BC=6,點(diǎn)。在BC邊上，且OB=2,P

是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接OP,以點(diǎn)。為圓心，。尸長為半徑為作。0.當(dāng)與

的邊相

切時(shí)，BP的長為、歷或6.

【解答】解：VZC=90°,AC=BC=6,

：.ZB=45°,

當(dāng)O尸與A3相切，如圖1,

：.OP1.AB,

：.NOPB=90°,

，8。=返08=我；

2

當(dāng)。。與AC相切，如圖2,過P點(diǎn)作于",

則OP=OC=4,

設(shè)OH=x,則PH=BH=x+2,

在RtZ\P?！敝?，/+(x+2)2=42,

解得xi=J，+l(舍去)，-1,

PH—x+2,—1，

:.PB=近PH=?

故答案為或J14+

16.（5分）如圖，矩形ABC。中，點(diǎn)A在函數(shù)y=K（上＞0,x＞0）的圖象上，點(diǎn)B,C在

x

x軸上，A。交y軸于點(diǎn)F,延長C￡＞至點(diǎn)E,使C￡）=3OE,連接8E交y軸于點(diǎn)尸，連

接PC,PA.若△PCB的面積為5,則k的值為_」旦△POC的面積與△戶心的面積

差為”.

【解答】解：如圖，設(shè)。E=a,A。與BE交于點(diǎn)Q,

,:CD=3DE,

：.CD^3a,

:.CE=CD+DE=4a,

?.?四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,AB〃CQ〃y軸，AB=CD,

:.AEDQs/\ECB,

地，即：且_=典，

ECBC4aBC

.?.購=L

BC4

設(shè)DQ=b,則BC=46,

：.S^PCH=^BC-OP=^X4b'OP=2b'OP,

22

「△PCB的面積為5,

：.2b?OP=5,

0P=_L,

2b

'：OP//CD,

:.△BOPsWCE,

?OB=OP(

*'BCCE"

08=理?02=也?-§-=巨，

CE4a2b2a

，A巨，3a),

2a

?點(diǎn)A在函數(shù))，=K(k>0,x>0)的圖象上，

X

仁旦X3“=電

2a2

?：S&APB=^0B'AB=XX1L=1L,

2224

S^BOP+S^PFA=

244

S^POC-S^PFA—S^POC-S^PFA+S^BOP-S^BOP—CS^POC+S^BOP)-(S^PFA+S^BOP)

=5-15=1.

44

故答案為：」互；立.

24

17.(8分)(1)計(jì)算：(x+2)2-x(x-3).

(2)解不等式：生》2x-l

23

【解答】解：(1)(x+2)2-xG-3)

=X2+4X+4-f+3x

=7x+4；

(2)jileZx-l-2、

23

去分母，得3(2+x)(2x-1)-12,

去括號(hào)，得6+3x24x-2-12,

移項(xiàng)，得3x-4x?-2-12-6,

合并同類項(xiàng)，得-x2-20,

系數(shù)化為1,得啟20.

18.(8分)圖1、圖2是6義6的方格紙，點(diǎn)A,8都在格點(diǎn)上，按要求畫圖:

(1)請?jiān)趫D1中畫一個(gè)五邊形A8CQE,且是軸對稱圖形.

(2)請?jiān)趫D2中畫一個(gè)六邊形ABCOEF,且是中心對稱圖形.

【解答】解：(1)如圖，五邊形A8CDE即為所求作.

(2)如圖，六邊形A8CDE尸即為所求作.

19.（8分）如圖，小明想在自己家的窗口A處測量對面建筑物CO的高度，他首先測量出

窗口A到地面的距離A8=16w,又測得從A處看建筑物底部C的俯角為a=30°,看建

筑物頂部。的仰角為0=45°,且AB,C￡＞都與地面垂直，點(diǎn)A,B,C,。在同一平面

內(nèi).

（1）求A8與CD之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）求建筑物CD的高度（結(jié)果精確到0.1W.（參考數(shù)據(jù)：加右1.41,?F.73）

【解答】解：（1）作AE_LC￡＞于E,

則四邊形ABCE為矩形，

：.CE=AB=\6,AE=BC,

在RtAACE中,

tanNCAE=S?>,

AE

：.AE=————=——16V3（加，

tan/CAEtan300

答：AB與CD之間的距離

（2）在RtZXAOE中，

'：ZDAE=45°,

...△ADE為等腰直角三角形，

.,.DE=AE=AB—1仇/"§??’

又,.?CE=AB=16"?,

CD=CE+DE=16+165/3（相）比43.7m,

答：建筑物CD的高度約為43.7m

20.（10分）如圖，二次函數(shù)、=（x+2）2+小的圖象與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)B在拋物線上，且

與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，已知一次函數(shù)y^kx+b的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上

的點(diǎn)4（-1,0）及點(diǎn)B.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）根據(jù)圖象，寫出滿足（x+2）2+加2區(qū)+/,的x的取值范圍.

【解答】解：（1）將（-1,0）代入y=（x+2）2+m得0=1+m,

解得m--1,

（x+2）2-1,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,

???點(diǎn)。坐標(biāo)為（0,3）,

?.,點(diǎn)8與點(diǎn)C關(guān)于軸對稱，對稱軸為直線冗=-2,

?,?點(diǎn)3坐標(biāo)為（-4,3）.

（2）??,點(diǎn)A坐標(biāo)為（7,0）,點(diǎn)B坐標(biāo)（-4,3）,

由圖象可知，G+2）2+加2辰+/;時(shí)，xW-4或-1.

21.(10分)為了了解同學(xué)們每月零花錢的數(shù)額，校園小記者隨機(jī)調(diào)查了本校部分同學(xué)，根

據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制出了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

組別分組(單位：元)人數(shù)

A0?08

B30<x^6032

C60<x^90a

D90<x^l2016

Ex>1204

請根據(jù)以上圖表，解答下列問題：

(1)這次被調(diào)查的同學(xué)共有100人,a=40,m=8；

(2)求扇形統(tǒng)計(jì)圖中C所在的扇形的圓心角度數(shù)；

(3)該校共有學(xué)生2000人，請估計(jì)每月零花錢的數(shù)額x在60VxW120范圍內(nèi)的人數(shù).

調(diào)查結(jié)果扇賒計(jì)圖

【解答】解：(1)這次被調(diào)查的同學(xué)總數(shù)：44-4%=100(人),

?=100-8-32-16-4=40,

m％=8+100=8%,

則，"=8,

故答案為：100；40；8；

(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中C所在的扇形的圓心角度數(shù)是：360。x/2_=144。；

100

(3)每月零花錢的數(shù)新在60<xW120范圍內(nèi)的人數(shù)為2000X蓋=1120(人)，

答：每月零花錢的數(shù)額x在60<xW120范圍內(nèi)的人數(shù)為1120人.

22.（10分）某校學(xué)生食堂共有座位3600個(gè)，某天午餐時(shí)，食堂中學(xué)生人數(shù)y（人）與時(shí)間

x（分鐘）變化的函數(shù)關(guān)系圖象如圖中的折線0AB.

（1）試分別求出當(dāng)0WxW20與20WxW38時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）己知該校學(xué)生數(shù)有6000人，考慮到安全因素，學(xué)校決定對剩余2400名同學(xué)延時(shí)用

餐，即等食堂空閑座位不少于2400個(gè)時(shí)，再通知剩余2400名同學(xué)用餐.請結(jié)合圖象分

析，這2400名學(xué)生至少要延時(shí)多少分鐘？

【解答】解：（1）當(dāng)0WxW20時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為〉=日，

202=3600,得k=180,

即當(dāng)0WxW20時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=180x,

當(dāng)20?8時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=ax+h,

[20a+b=3600,得卜=-200,

138a+b=0'1b=7600'

即當(dāng)20WxW38時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為丫=-200x+7600；

（2）I?空閑座位不少于2400個(gè)時(shí)，

???有人坐的座位不大于1200個(gè)，

Vy=-200X+7600,

.,.當(dāng)y=1200時(shí)，-200X+7600=1200,

解得，x—32,

答：至少要延時(shí)32分鐘.

23.（12分）【基礎(chǔ)鞏固】

（1）如圖1,在四邊形A8CD中，點(diǎn)P為A3上一點(diǎn)，/￡）PC=/A=N8=90°,求證:

AD'BC=AP'BP.

【嘗試應(yīng)用】

（2）如圖2,在邊長為4的菱形ABCZ）中，/ABC=60°,E為對角線BQ上一點(diǎn)，且

BE=2DE,F為AQ上一點(diǎn)，ZAEF=30Q,求4尸的長.

【拓展提高】

(3)如圖3,等邊△OEF內(nèi)接于矩形ABC。，其中點(diǎn)E,F分別在邊AB,8C上，若BE

=4,CD=5,求等邊△DEF的邊長.

圖1圖2圖3

【解答】(1)證明：如圖1中，

圖1

VZA=ZB=ZDPC=90°,

AZAPD+ZBPC=90",

VZAPD+ZADP=90°,

/ADP=ZBPC,

：.△ADPsgPC,

?AD=AP

"BPBC，

：.AD'BC=AP-BP.

(2)解：如圖2中，連接AC交8。于T.

圖2

?四邊形A8CQ是菱形，ZABC=60°,

：.AB=BC=CD=AD^4,NA8Q=/O8C=NA￡>E=30°,BDLAC,

：.AT=lj\B=2,BT=TD=2y/3,

2

?：BE=2DE,

:DE=-W^.?ET=?四,

333_

心VAT2+ET2=^22+(-^-)

'：ZAEF=ZADE=30°,ZEAF=ZDAE,

：.IXAEFsMADE,

：.AE2=AF'AD,

/W32

.?MF=_3__^4.

43

(3)如圖3中，設(shè)DE=EF=DF=x,

圖3

:四邊形A8CZ）是矩形，

.*.N4=NB=NC=NADC=90°,

?,?"=&-16,—="-25,

/MD=BC=VX2-16+7X2-25,

,：AD2+AE2=DE2,

A（^2-16+^2-25）2+正=/，

解得x=26或-26或0,

經(jīng)檢驗(yàn)，1=2或是方程的解，且符合題意，

:.等這ADEF的邊長為2夜.

解法二：分別在CB、BC延長線上取M、N點(diǎn),使得NEMB=N￡WC=60°,可證：△

EMF相似于△FNQ,設(shè)BF=x,可列方程求解.

24.（14分）定義：有一組對角互余的凸四邊形稱為對余四邊形.

（1）如圖1,在11X7的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,