有限元法的直接剛度法桿單元

有限元法的直接剛度法桿單元第一頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析例如，求圖2.8所示1-1橫截面的內(nèi)力。用截面法，如圖2.9所示，列平衡方程，得（2-48）圖2.10剛架單元的受力

由式（2-48）可知，平面剛架橫截面上的內(nèi)力有3個：軸力、剪力、彎矩，是拉壓與彎曲的組合變形。所以平面剛架單元每個節(jié)點有3個節(jié)點力：軸力、剪力、彎矩，如圖2.10所示，每個節(jié)點有3個節(jié)點位移：軸向位移、橫向撓度、截面的轉角。第二章有限元法的直接剛度法第二頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析劃分單元

對圖2.11所示的平面剛架結構劃分單元，并對單元和節(jié)點進行編號，共得到6個單元和4個節(jié)點。因為平面剛架單元的每個節(jié)點有3個節(jié)點位移，即每個節(jié)點有3個自由度，結構自由度=節(jié)點總數(shù)節(jié)點自由度，所以圖2.11所示的平面剛架結構

具有個自由度，所以結構的整體剛度矩陣是一個的矩陣

圖2.11平面剛架的單元劃分

第二章有限元法的直接剛度法第三頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析單元分析，局部坐標系下的單元剛度矩陣任取一個平面剛架單元，設單元號為，兩個節(jié)點分別為、，建立單元局部坐標系，如圖2.12所示。單元的局部坐標系只對該單元有效，每一個單元都有一個局部坐標系。以下對該單元所進行的分析都是在這個局部坐標系下進行的。圖2.12剛架單元的節(jié)點位移和節(jié)點力第二章有限元法的直接剛度法第四頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析在局部坐標系下，兩個節(jié)點、的節(jié)點位移、見式（2-49），節(jié)點力、見式（2-50）。

（2-49）（2-50）

所以，局部坐標系下平面剛架單元的節(jié)點位移和節(jié)點力見式（2-51）、（2-52）。（2-51） （2-52）規(guī)定：剪力與軸正向一致為正；彎矩逆時針方向為正；軸力與軸正向一致為正。

第二章有限元法的直接剛度法第五頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析根據(jù)材料力學的知識，在線彈性范圍內(nèi)，軸向位移只與軸力有關，彎曲變形的撓度和截面轉角只與剪力和彎矩有關，這樣可分別按軸向拉壓和彎曲來進行分析。

1.軸向拉壓分析求軸向節(jié)點位移、與軸向節(jié)點力、之間的關系。根據(jù)材料力學的知識已知，在線彈性范圍內(nèi)，軸向拉壓桿的軸向變形與軸向力之間的關系為線形關系，見式（2-53）。

（2-53）

式（2-53）中各元素的物理意義如下：——，時，的值；——，時，的值；——，時，的值；——，時,的值。

第二章有限元法的直接剛度法第六頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析求元素、的值，如圖2.13所示，，。因為，所以。根據(jù)平衡，得

，時，同理可求得，

。所以得到軸向節(jié)點位移、與軸向節(jié)點力、之間的關系，見式（2-54）。

（2-54）圖2.13軸向拉壓圖第二章有限元法的直接剛度法第七頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析2.彎曲分析平面剛架單元彎曲變形的撓度、截面轉角與剪力、彎矩之間的關系完全等同于直梁單元的關系，見式（2-22），即有（2-55）

第二章有限元法的直接剛度法第八頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析3.局部坐標系下的單元剛度矩陣綜合上述軸向拉壓分析和彎曲分析，得到局部坐標系下，平面剛架單元的節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關系——單元剛度矩陣。（2-56）

第二章有限元法的直接剛度法第九頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析

式（2-56）寫成分塊形式為： （2-57）或簡寫為 （2-58）

所以得出，局部坐標系下，平面剛架單元的單元剛度矩的通用公式為：

（2-60）將局部坐標系下平面剛架單元的單元剛度矩陣的通用公式應用于每一個單元，即把每一個單元的參數(shù)、、、代入式（2-59），即得到該單元的局部坐標系下的單元剛度矩陣。

第二章有限元法的直接剛度法第十頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析單元剛度矩陣的坐標變換單元剛度矩陣的坐標變換是把平面剛架的所有單元在局部坐標系下的單元剛度矩陣變換到一個統(tǒng)一的坐標系下，這個統(tǒng)一的坐標系稱為整體坐標系，如圖2.14所示。以單元為例：設節(jié)點變形后的位置為，節(jié)點在局部坐標系下的位移和在整體坐標系下的位移，見式（2-61）。

（2-61）

圖2.14整體坐標圖第二章有限元法的直接剛度法第十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析設軸與軸之間的夾角為。節(jié)點對應的轉角，在局部坐標系和整體坐標系下是一樣的。則節(jié)點在局部坐標系下的位移和在整體坐標系下的位移具有如下關系：

（2-62）上式寫成矩陣形式為 （2-63）

圖2.15坐標變換

第二章有限元法的直接剛度法第十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析同理可得節(jié)點在局部坐標系下的位移和在整體坐標系下的位移具有如下關系：（2-64）對整個單元，局部坐標系和整體坐標系下節(jié)點位移有如下關系：

（2-65）

第二章有限元法的直接剛度法第十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析上式寫成分塊形式為 （2-66）或簡寫為 （2-67）其中：——單元的坐標變換矩陣，描述局部坐標系和整體坐標系下節(jié)點位移分量之間的變換關系。對于不同的單元，單元坐標變換矩陣具有相同的形式，見式（2-68），只是角不同。（2-68）

第二章有限元法的直接剛度法第十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析例1：如圖2.16所示，求單元1的坐標變換矩陣。

圖2.16單元1的坐標變換解：單元1的局部坐標系的軸與整體坐標系的軸之間的夾角，代入單元坐標變換矩陣公式（2-68），可得單元1的坐標變換矩陣。

（2-69）。第二章有限元法的直接剛度法第十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析

則單元1在局部坐標系下和整體坐標系下的節(jié)點位移有如下關系： （2-70）

第二章有限元法的直接剛度法第十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析在前面的推導中，若把節(jié)點位移都換成節(jié)點力，同理可得節(jié)點力的坐標變換矩陣，其與節(jié)點位移的坐標變換矩陣具有完全相同的形式，見式（2-68）。單元在局部坐標系下的節(jié)點力列陣和在整體坐標系下的節(jié)點力列陣，見式（2-75）。（2-75）則單元在局部坐標系下和整體坐標系下的節(jié)點力具有如下關系： （2-76）

在局部坐標系下，平面剛架單元的節(jié)點力和節(jié)點位移之間的關系見式（2-58），即，其中是單元在局部坐標系下的單元剛度矩陣。第二章有限元法的直接剛度法第十七頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析

平面剛架單元的節(jié)點力在局部坐標系下和整體坐標系下的變換關系見式（2-76），單元的節(jié)點位移在局部坐標系下和整體坐標系下的變換關系見式（2-67），即

將式（2-76）和式（2-67）分別代入式（2-58）的左端和右端，得 （2-77）將上式兩端分別左乘以的逆矩陣，得 （2-78）因為，所以有 （2-79）上式簡寫為 （2-80）第二章有限元法的直接剛度法第十八頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析其中：——平面剛架單元在整體坐標系下的單元剛度矩陣。由式（2-79）和（2-80）可得。又因為可以證明，所以平面剛架單元在整體坐標系下的單元剛度矩陣和在局部坐標系下的單元剛度矩陣之間的變換關系為式（2-81）。通過單元剛度矩陣的坐標變換式，可以求出平面剛架的所有單元在整體坐標系下的單元剛度矩陣。

（2-81）

第二章有限元法的直接剛度法第十九頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析形成整體剛度矩陣因為本例中（圖2.14）共劃分有4個節(jié)點，結構共有12個自由度，若采用上一節(jié)中講到的形成整體剛度矩陣的第一種方法，即對整個結構的每個節(jié)點進行受力分析，通過建立節(jié)點平衡方程式得到有限元基本方程和整體剛度矩陣，則共需列出12個方程，非常復雜，所以這里采用形成整體剛度矩陣的第二種方法，即采用疊加法形成整體剛度矩陣。

1）將單元剛度矩陣寫成分塊形式 （2-82）其中：——單元號；、——單元的兩節(jié)點的編號；——單元在節(jié)點的節(jié)點力向量；——節(jié)點的節(jié)點位移向量；——單元上，節(jié)點單位位移在節(jié)點引起的節(jié)點力向量。第二章有限元法的直接剛度法第二十頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析例如，圖2.14所示平面剛架的8號單元和9號單元分別見式（2-83）和（2-84）。

(a)1號單元： （2-83）

(b)2號單元： （2-84）

2）將整體剛度矩陣寫成分塊形式（分塊矩陣的階數(shù)等于結構的節(jié)點數(shù)）

3）疊加形成整體剛度矩陣（2-85）

第二章有限元法的直接剛度法第二十一頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析則得到平面剛架的有限元基本方程 （2-86）其中：——整體坐標系下整個結構的節(jié)點載荷列陣；——整體坐標系下整個結構的節(jié)點位移列陣；——整體剛度矩陣。

第二章有限元法的直接剛度法第二十二頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析求解有限元基本方程分析圖2.14所示平面剛架結構的邊界約束條件，可以得出結構的位移邊界條件為：，載荷邊界條件為：。將邊界約束條件代入有限元基本方程（2-86），并劃掉已知位移所在的行和列，得到降階的有限元基本方程，解之得各節(jié)點位移。

舉例例：如圖2.19所示平面桁架結構中的一個桿單元，已知材料的彈性模量、桿長為、桿的橫截面面積為，桿的軸線與整體坐標系軸之間的夾角為，求該桿單元在整體坐標系下的單元剛度矩陣。第二章有限元法的直接剛度法第二十三頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析-例題解：建立局部坐標系，如圖2.20所示。

圖2.19平面桿單元圖2.20整體坐標和局部坐標第二章有限元法的直接剛度法第二十四頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析-例題因為平面桁架結構中的任一桿均為二力桿，所以在局部坐標系下，平面桁架單元的每一個節(jié)點的節(jié)點位移只有一個軸向位移，對應的節(jié)點力也只有一個軸向力，根據(jù)材料力學知識，可得在局部坐標系下單元節(jié)點力與節(jié)點位移的關系，見式（2-87）。

（2-87）所以，平面桁架單元在局部坐標系下的單元剛度矩陣為： （2-88）第二章有限元法的直接剛度法第二十五頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析-例題在整體坐標系下，平面桁架單元的每一個節(jié)點的節(jié)點位移有2個分量：、，節(jié)點力也有2個分量：、。則在整體坐標下單元節(jié)點力與節(jié)點位移的關系，見式（2-89）。

（2-89）

所以，平面桁架單元在整體坐標系下的單元剛度矩陣是一個4階方陣，見式（2-90）。

（2-90）第二章有限元法的直接剛度法第二十六頁，共四十二頁，2022年，8月28日2.2平面剛架的有限元分析-例題平面桁架單元可以看作是平面剛架單元的特殊情況，為了求出平面桁架單元在整體坐標系下的單元剛度矩陣，將式（2-87）擴階寫為 （2-91），由前面學習已知，單元的節(jié)點位移的坐標變換式為（2-92），單元的坐標變換矩陣，見式（2-93）。 （2-92）