2019重慶中考數(shù)學(xué)題位復(fù)習(xí)系統(tǒng)之幾何圖形折疊問(wèn)題

..2019XX中考數(shù)學(xué)題位復(fù)習(xí)系統(tǒng)之幾何圖形折疊問(wèn)題典例剖析例1〔2018?XX如圖,把三角形紙片折疊,使點(diǎn)B、點(diǎn)C都與點(diǎn)A重合,折痕分別為DE,FG,得到∠AGE=30°,若AE=EG=2厘米,則△ABC的邊BC的長(zhǎng)為6+4厘米．[分析]根據(jù)折疊的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可．[解答]解：∵把三角形紙片折疊,使點(diǎn)B、點(diǎn)C都與點(diǎn)A重合,折痕分別為DE,FG,∴BE=AE,AG=GC,∵∠AGE=30°,AE=EG=2厘米,∴AG=6,∴BE=AE=2,GC=AG=6,∴BC=BE+EG+GC=6+4,故答案為：6+4,[點(diǎn)評(píng)]此題考查翻折問(wèn)題,關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)解答．例2〔2018?XX如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,CD是斜邊AB上的中線,將△BCD沿直線CD翻折至△ECD的位置,連接AE．若DE∥AC,計(jì)算AE的長(zhǎng)度等于．[分析]根據(jù)題意、解直角三角形、菱形的性質(zhì)、翻折變化可以求得AE的長(zhǎng)．[解答]解：由題意可得,DE=DB=CD=AB,∴∠DEC=∠DCE=∠DCB,∵DE∥AC,∠DCE=∠DCB,∠ACB=90°,∴∠DEC=∠ACE,∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°,∴∠ACD=60°,∠CAD=60°,∴△ACD是等邊三角形,∴AC=CD,∴AC=DE,∵AC∥DE,AC=CD,∴四邊形ACDE是菱形,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,∠B=30°,∴AC=,∴AE=．[點(diǎn)評(píng)]本題考查翻折變化、平行線的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問(wèn)題需要的條件,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．跟蹤訓(xùn)練1．〔2018?XX如圖,將等腰直角三角形ABC〔∠B=90°沿EF折疊,使點(diǎn)A落在BC邊的中點(diǎn)A1處,BC=8,那么線段AE的長(zhǎng)度為5．[分析]由折疊的性質(zhì)可求得AE=A1E,可設(shè)AE=A1E=x,則BE=8﹣x,且A1B=4,在Rt△A1BE中,利用勾股定理可列方程,則可求得答案．[解答]解：由折疊的性質(zhì)可得AE=A1E,∵△ABC為等腰直角三角形,BC=8,∴AB=8,∵A1為BC的中點(diǎn),∴A1B=4,設(shè)AE=A1E=x,則BE=8﹣x,在Rt△A1BE中,由勾股定理可得42+〔8﹣x2=x2,解得x=5,故答案為：5．[點(diǎn)評(píng)]本題主要考查折疊的性質(zhì),利用折疊的性質(zhì)得到AE=A1E是解題的關(guān)鍵,注意勾股定理的應(yīng)用．2．〔2018?崇明縣二模如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),將△ABD,將△ABD沿AD翻折得到△AED,聯(lián)結(jié)CE,那么線段CE的長(zhǎng)等于．[分析]如圖連接BE交AD于O,作AH⊥BC于H．首先證明AD垂直平分線段BE,△BCE是直角三角形,求出BC、BE,在Rt△BCE中,利用勾股定理即可解決問(wèn)題．[解答]解：如圖連接BE交AD于O,作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中,∵AC=8,AB=6,∴BC==10,∵CD=DB,∴AD=DC=DB=5,∵BC?AH=AB?AC,∴AH=,∵AE=AB,∴點(diǎn)A在BE的垂直平分線上．∵DE=DB=DC,∴點(diǎn)D在BE使得垂直平分線上,△BCE是直角三角形,∴AD垂直平分線段BE,∵AD?BO=BD?AH,∴OB=,∴BE=2OB=,在Rt△BCE中,EC===,故答案為[點(diǎn)評(píng)]本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求高,屬于中考?？碱}型．3．〔2018?馬XX二模如圖,△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,將△ABC折疊,使A點(diǎn)落在BC的中點(diǎn)A'處,折痕分別交邊AB、AC于點(diǎn)D、點(diǎn)E,則AD=．[分析]連接AA′交DE于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A′作A′N(xiāo)⊥AB于點(diǎn)N,根據(jù)折疊的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長(zhǎng)度．[解答]解：連接AA′交DE于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A′作A′N(xiāo)⊥AB于點(diǎn)N,如圖所示．∵AC=BC=4,∠C=90°,A′為線段BC的中點(diǎn),∴A′C=A′B=2,A′N(xiāo)=BN=,AA′==2,AB=4,∴AN=AB﹣BN=3．∵將△ABC折疊,使A點(diǎn)落在BC的中點(diǎn)A'處,折痕分別交邊AB、AC于點(diǎn)D、點(diǎn)E,∴AM=AA′=．∵∠DAM=∠A′AN,∠AMD=∠ANA′=90°,∴△ADM∽△AA′N(xiāo),∴=,即=∴AD=．故答案為．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定及性質(zhì),證明△ADM∽△AA′N(xiāo)是解題的關(guān)鍵．4．〔2018?沙坪壩區(qū)模擬如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),連結(jié)CD,將△BCD沿直線CD翻折得到△ECD,連結(jié)AE．若AC=6,CD=5,則線段AE的長(zhǎng)為．[分析]連接BE,延長(zhǎng)CD交BE與點(diǎn)H,作CF⊥AB,垂足為F．首先證明DC垂直平分線段BE,△ABE是直角三角形,利用三角形的面積求出EH,得到BE的長(zhǎng),在Rt△ABE中,利用勾股定理即可解決問(wèn)題．[解答]解：如圖,連接BE,延長(zhǎng)CD交BE與點(diǎn)H,作CF⊥AB,垂足為F．∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn),CD=5,∴AD=DB=CD=5,AB=10．∵AC=6,∴BC==8．∵S△ABC=AC?BC=AB?CF,∴×6×8=×10×CF,解得CF=．∵將△BCD沿直線CD翻折得到△ECD,∴BC=CE,BD=DE,∴CH⊥BE,BH=HE．∵AD=DB=DE,∴△ABE為直角三角形,∠AEB=90°,∴S△ECD=S△ACD,∴DC?HE=AD?CF,∵DC=AD,∴HE=CF=．∴BE=2EH=．∵∠AEB=90°,∴AE===．故答案為．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了翻折變換〔折疊問(wèn)題,直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì),勾股定理,三角形的面積等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法求高,屬于中考?？碱}型．5．〔2018?雙灤區(qū)一模如圖,△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點(diǎn)O,將∠C沿EF〔E在BC上,F在AC上折疊,點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合,則∠OEC為108度．[分析]連接OB、OC,根據(jù)角平分線的定義求出∠BAO,根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠ABC,再根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得OA=OB,根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABO=∠BAO,再求出∠OBC,然后判斷出點(diǎn)O是△ABC的外心,根據(jù)三角形外心的性質(zhì)可得OB=OC,再根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠OCB=∠OBC,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=CE,然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠COE,再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．[解答]解：如圖,連接OB、OC,∵∠BAC=54°,AO為∠BAC的平分線,∴∠BAO=∠BAC=×54°=27°,又∵AB=AC,∴∠ABC=〔180°﹣∠BAC=〔180°﹣54°=63°,∵DO是AB的垂直平分線,∴OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=27°,∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°,∵AO為∠BAC的平分線,AB=AC,∴△AOB≌△AOC〔SAS,∴OB=OC,∴點(diǎn)O在BC的垂直平分線上,又∵DO是AB的垂直平分線,∴點(diǎn)O是△ABC的外心,∴∠OCB=∠OBC=36°,∵將∠C沿EF〔E在BC上,F在AC上折疊,點(diǎn)C與點(diǎn)O恰好重合,∴OE=CE,∴∠COE=∠OCB=36°,在△OCE中,∠OEC=180°﹣∠COE﹣∠OCB=180°﹣36°﹣36°=108°．故答案為：108．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),等腰三角形三線合一的性質(zhì),等邊對(duì)等角的性質(zhì),以及翻折變換的性質(zhì),綜合性較強(qiáng),難度較大,作輔助線,構(gòu)造出等腰三角形是解題的關(guān)鍵．6．〔2018?XX如圖,已知Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2+4,點(diǎn)M、N分別在線段AC、AB上,將△ANM沿直線MN折疊,使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段BC上,當(dāng)△DCM為直角三角形時(shí),折痕MN的長(zhǎng)為或．[分析]依據(jù)△DCM為直角三角形,需要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠CDM=90°時(shí),△CDM是直角三角形；當(dāng)∠CMD=90°時(shí),△CDM是直角三角形,分別依據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì),即可得到折痕MN的長(zhǎng)．[解答]解：分兩種情況：①如圖,當(dāng)∠CDM=90°時(shí),△CDM是直角三角形,∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=60°,AC=2+4,∴∠C=30°,AB=AC=,由折疊可得,∠MDN=∠A=60°,∴∠BDN=30°,∴BN=DN=AN,∴BN=AB=,∴AN=2BN=,∵∠DNB=60°,∴∠ANM=∠DNM=60°,∴∠AMN=60°,∴AN=MN=；②如圖,當(dāng)∠CMD=90°時(shí),△CDM是直角三角形,由題可得,∠CDM=60°,∠A=∠MDN=60°,∴∠BDN=60°,∠BND=30°,∴BD=DN=AN,BN=BD,又∵AB=,∴AN=2,BN=,過(guò)N作NH⊥AM于H,則∠ANH=30°,∴AH=AN=1,HN=,由折疊可得,∠AMN=∠DMN=45°,∴△MNH是等腰直角三角形,∴HM=HN=,∴MN=,故答案為：或．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了翻折變換﹣折疊問(wèn)題,等腰直角三角形的性質(zhì),正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．7．〔2018?烏魯木齊如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=2,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn),沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于點(diǎn)F．若△AB′F為直角三角形,則AE的長(zhǎng)為3或．[分析]利用三角函數(shù)的定義得到∠B=30°,AB=4,再利用折疊的性質(zhì)得DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°,設(shè)AE=x,則BE=4﹣x,EB′=4﹣x,討論：當(dāng)∠AFB′=90°時(shí),則∴BF=cos30°=,則EF=﹣〔4﹣x=x﹣,于是在Rt△B′EF中利用EB′=2EF得到4﹣x=2〔x﹣,解方程求出x得到此時(shí)AE的長(zhǎng)；當(dāng)∠FB′A=90°時(shí),作EH⊥AB′于H,連接AD,如圖,證明Rt△ADB′≌Rt△ADC得到AB′=AC=2,再計(jì)算出∠EB′H=60°,則B′H=〔4﹣x,EH=〔4﹣x,接著利用勾股定理得到〔4﹣x2+[〔4﹣x+2]2=x2,方程求出x得到此時(shí)AE的長(zhǎng)．[解答]解：∵∠C=90°,BC=2,AC=2,∴tanB===,∴∠B=30°,∴AB=2AC=4,∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置,B′D交AB于點(diǎn)F∴DB=DC=,EB′=EB,∠DB′E=∠B=30°,設(shè)AE=x,則BE=4﹣x,EB′=4﹣x,當(dāng)∠AFB′=90°時(shí),在Rt△BDF中,cosB=,∴BF=cos30°=,∴EF=﹣〔4﹣x=x﹣,在Rt△B′EF中,∵∠EB′F=30°,∴EB′=2EF,即4﹣x=2〔x﹣,解得x=3,此時(shí)AE為3；當(dāng)∠FB′A=90°時(shí),作EH⊥AB′于H,連接AD,如圖,∵DC=DB′,AD=AD,∴Rt△ADB′≌Rt△ADC,∴AB′=AC=2,∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°,∴∠EB′H=60°,在Rt△EHB′中,B′H=B′E=〔4﹣x,EH=B′H=〔4﹣x,在Rt△AEH中,∵EH2+AH2=AE2,∴〔4﹣x2+[〔4﹣x+2]2=x2,解得x=,此時(shí)AE為．綜上所述,AE的長(zhǎng)為3或．故答案為3或．[點(diǎn)評(píng)]本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理．8．〔2018?莘縣一模如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E為AB上一點(diǎn),將△BCE沿CE翻折至△FCE,EF與AD相交于點(diǎn)G,且AG=FG,則線段AE的長(zhǎng)為1．[分析]設(shè)BE=x,根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用x表示出AE、EG,根據(jù)勾股定理列出方程,解方程即可．[解答]解：如圖所示,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠D=∠B=∠A=90°,AB=CD=4,AD=BC=6,根據(jù)題意得：△BCE≌△CEF,∴EF=BE,∠F=∠B=90°,CF=BC=6,在△GAE和△GFH中,,∴△GAE≌△GFH〔ASA,∴EG=GH,AE=FH,∴AH=EF,設(shè)BE=EF=x,則AE=FH=4﹣x,AH=x,∴DH=6﹣x,CH=6﹣〔4﹣x=2+x,根據(jù)勾股定理得：DC2+DH2=CH2,即42+〔6﹣x2=〔x+22,解得：x=3,∴BE=3,∴AE=1,故答案為：1．[點(diǎn)評(píng)]本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用,翻折變換是一種對(duì)稱變換,它屬于軸對(duì)稱,折疊前后圖形的形狀和大小不變,位置變化,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．9．〔2017?沙坪壩區(qū)一模如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且AC=2,BD=6,將△AOD沿AD翻折得到△AED,延長(zhǎng)EA交BD于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)G．連接OG,則△FOG的面積是．[分析]作AH⊥CD于H,GN⊥AC于N．思想利用勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng),根據(jù)菱形的兩個(gè)面積公式求出AH,利用相似三角形求出GN、AN、OF即可解決問(wèn)題．[解答]解：作AH⊥CD于H,GN⊥AC于N．∵四邊形ABCD是菱形．∴AC⊥BD,OA=OC=1,OB=OD=3,∴CD==,∴?AC?BD=CD?AH,∴AH=,DH==,∵∠CAG+2∠DAC=180°,∠ADC+2∠DAC=180°,∴∠CAG=∠ADC,∵∠ACG=∠ACD=∠CAD,∠AGC=∠ACG,∴AG=AC=2,∵∠ANG=∠AHD,∴△AGN∽△DAH,∴==,∴GN=,AN=,∵OF∥GN,∴=,∴OF=,∴S△OFG=?OF?ON=??=．故答案為．[點(diǎn)評(píng)]本題考查菱形的性質(zhì)、翻折變換、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題,屬于中考?？碱}型．10．〔2017?XX如圖,正方形ABCD中,AD=4,點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn),連接DE,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED,交AB于點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)G,將△EFG沿EF翻折,得到△EFM,連接DM,交EF于點(diǎn)N,若點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn),則△EMN的周長(zhǎng)是．[分析]解法一：如圖1,作輔助線,構(gòu)建全等三角形,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明FQ=BQ=PE=1,△DEF是等腰直角三角形,利用勾理計(jì)算DE=EF=,PD==3,如圖2,由平行相似證明△DGC∽△FGA,列比例式可得FG和CG的長(zhǎng),從而得EG的長(zhǎng),根據(jù)△GHF是等腰直角三角形,得GH和FH的長(zhǎng),利用DE∥GM證明△DEN∽△MNH,則,得EN=,從而計(jì)算出△EMN各邊的長(zhǎng),相加可得周長(zhǎng)．解法二,將解法一中用相似得出的FG和CG的長(zhǎng),利用面積法計(jì)算得出,其它解法相同．解法三：作輔助線構(gòu)建正方形和全等三角形,設(shè)EP=x,則DQ=4﹣x=FP=x﹣2,求x的值得到PF=1,AE的長(zhǎng)；由△DGC和△FGA相似,求AG和GE的長(zhǎng)；證△GHF和△FKM全等,所以GH=FK=4/3,HF=MK=2/3,ML=AK=10/3,DL=AD﹣MK=10/3,即DL=LM,所以DM在正方形對(duì)角線DB上,設(shè)NI=y,列比例式可得NI的長(zhǎng),分別求MN和EN的長(zhǎng),相加可得結(jié)論．[解答]解：解法一：如圖1,過(guò)E作PQ⊥DC,交DC于P,交AB于Q,連接BE,∵DC∥AB,∴PQ⊥AB,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠ACD=45°,∴△PEC是等腰直角三角形,∴PE=PC,設(shè)PC=x,則PE=x,PD=4﹣x,EQ=4﹣x,∴PD=EQ,∵∠DPE=∠EQF=90°,∠PED=∠EFQ,∴△DPE≌△EQF,∴DE=EF,∵DE⊥EF,∴△DEF是等腰直角三角形,易證明△DEC≌△BEC,∴DE=BE,∴EF=BE,∵EQ⊥FB,∴FQ=BQ=BF,∵AB=4,F是AB的中點(diǎn),∴BF=2,∴FQ=BQ=PE=1,∴CE=,PD=4﹣1=3,Rt△DAF中,DF==2,DE=EF=,如圖2,∵DC∥AB,∴△DGC∽△FGA,∴==2,∴CG=2AG,DG=2FG,∴FG=×=,∵AC==4,∴CG=×=,∴EG=﹣=,連接GM、GN,交EF于H,∵∠GFE=45°,∴△GHF是等腰直角三角形,∴GH=FH==,∴EH=EF﹣FH=﹣=,由折疊得：GM⊥EF