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第二節(jié)證明不等式的基本方法【知識梳理】1.比較法比較法是證明不等式最基本的方法，可分為作差比較法和作商比較法兩種.名稱作差比較法作商比較法理論依據(jù)a>b?______a<b?______a=b?______b>0,>1?a>bb<0,>1?a<b

a-b>0a-b<0a-b=0名稱作差比較法作商比較法適用類型適用于___________特征的不等式的證明主要適用于積、商、冪、對數(shù)、根式形式的不等式證明證明步驟作差→變形→判斷符號→得出結(jié)論作商→變形→判斷與1的大小關(guān)系→得出結(jié)論具有多項式2.綜合法和分析法(1)綜合法：一般地，從_________出發(fā)，利用_____、公理、_____、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的_____、_____而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法.綜合法又叫_________或由因?qū)Ч?已知條件定義定理推理論證順推證法(2)分析法：證明命題時，從___________出發(fā)，逐步尋求使它成立的_________，直至所需條件為_________或___________________(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法.要證的結(jié)論充分條件已知條件一個明顯成立的事實(shí)【考點(diǎn)自測】1.(2015·襄陽模擬)若a>b>1，x=a+，y=b+，則x與y的大小關(guān)系是(

)A.x>y

B.x<y

C.x≥y

D.x≤y【解析】選A.x-y=由a>b>1得ab>1，a-b>0，所以>0.即x-y>0，所以x>y.2.(2015·瀘州模擬)若a，b，c，d，m，n都是正實(shí)數(shù)，則有(

)A.P≥QB.P≤QC.P>QD.P，Q大小關(guān)系不確定【解析】選B.P2=ab+2+cd，Q2=(ma+nc)·=ab+cd+ad+cb.因為ad+cb≥2，所以Q2≥P2，又由已知得P>0，Q>0，所以Q≥P，故選B.3.(2015·合肥模擬)設(shè)x>0，y>0，則A，B的大小關(guān)系是(

)A.A=BB.A<B

C.A≤B

D.A>B【解題提示】分析式子結(jié)構(gòu)，通過對式子B的分母進(jìn)行放大使得與式子A分母一樣，然后進(jìn)行比較大小.【解析】選B.通過對式子B進(jìn)行放縮可得B==A，即A<B.故選B.4.(2015·臨沂模擬)給出下列命題：①比較法最終要判斷式子的符號得出結(jié)論；②綜合法是從原因推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達(dá)到待證的結(jié)論；③分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論成立的必要條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)；④使用反證法時，“反設(shè)”不能作為推理的條件應(yīng)用；⑤放縮法就是把分式的分子放大，分母縮小.其中正確的命題是(

)A.①②

B.②

C.②③

D.②④⑤【解析】選B.①錯誤.當(dāng)使用作商比較法時要判斷與1的大小關(guān)系才能得出結(jié)論.②正確.根據(jù)綜合法的定義可得結(jié)論正確.③錯誤.根據(jù)分析法的定義，應(yīng)把“必要條件”改為“充分條件”才是正確的結(jié)論.④錯誤.根據(jù)反證法的定義，“反設(shè)”能作為已知條件充分使用.⑤錯誤.不符合放縮法的定義.考點(diǎn)1

用比較法證明不等式

【典例1】求證：(1)當(dāng)x∈R時，1+2x4≥2x3+x2.(2)當(dāng)a，b∈(0，+∞)時，aabb≥【解題視點(diǎn)】第(1)小題的不等式為一元型的整式不等式，可以考慮采用作差比較法證明；而第(2)小題是冪指型的不等式，可考慮采用作商比較法證明.【規(guī)范解答】(1)方法一：(1+2x4)-(2x3+x2)=2x3(x-1)-(x+1)(x-1)=(x-1)(2x3-x-1)=(x-1)(2x3-2x+x-1)=(x-1)[2x(x2-1)+(x-1)]=(x-1)2(2x2+2x+1)=所以1+2x4≥2x3+x2.方法二：(1+2x4)-(2x3+x2)=x4-2x3+x2+x4-2x2+1=(x-1)2·x2+(x2-1)2≥0，所以1+2x4≥2x3+x2.(2)當(dāng)a=b時，=1；當(dāng)a>b>0時，當(dāng)b>a>0時，所以aabb≥【互動探究】保持本例(2)小題的條件不變.(1)若a<b，比較(a2+b2)(a-b)與(a2-b2)(a+b)的大小.(2)證明abba≤【解析】(1)因為(a2+b2)(a-b)-(a2-b2)(a+b)=(a-b)[a2+b2-(a+b)2]=-2ab(a-b).又因為0<a<b，所以-2ab<0，a-b<0，所以(a2+b2)(a-b)-(a2-b2)(a+b)>0，所以(a2+b2)(a-b)>(a2-b2)(a+b).(2)當(dāng)a=b時，=1；當(dāng)a>b>0時，0<<1，當(dāng)b>a>0時，所以≤1，即abba≤【規(guī)律方法】比較法證明不等式的方法與步驟1.作差比較法(1)作差比較法證明不等式的一般步驟：①作差：將不等式左右兩邊的式子看作一個整體進(jìn)行作差；②變形：將差式進(jìn)行變形，化簡為一個常數(shù)，或通分，因式分解變形為若干個因式的積，或配方變形為一個或幾個平方和等；③判號：根據(jù)已知條件與上述變形結(jié)果，判斷不等式兩邊差的正負(fù)號；④結(jié)論：肯定不等式成立的結(jié)論.(2)作差比較法的應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩端是多項式、分式或?qū)?shù)式時，一般使用作差比較法.2.作商比較法(1)作商比較法證明不等式的一般步驟：①作商：將不等式左右兩邊的式子進(jìn)行作商；②變形：將商式的分子放(縮)，分母不變，或分子不變，分母放(縮)，或分子放(縮)，分母縮(放)，從而化簡商式為容易和1比較大小的形式；③判斷：判斷商與1的大小關(guān)系，就是判斷商大于1或小于1或等于1；④結(jié)論.(2)作商比較法的應(yīng)用范圍：當(dāng)被證的不等式兩邊含有冪式或指數(shù)式或乘積式時，一般使用作商比較法.提醒：在使用作商比較法時，要注意說明分母的符號.【變式訓(xùn)練】1.已知a∈R，且a≠1，求證：3(a4+a2+1)>(1+a+a2)2.【證明】因為3(1+a2+a4)-(1+a+a2)2=3[(1+a2)2-a2]-(1+a+a2)2=3(1+a+a2)(1-a+a2)-(1+a+a2)2=(1+a+a2)(2a2-4a+2)=2(1+a+a2)(a-1)2=又a∈R，a≠1，所以>0，故3(a4+a2+1)>(1+a+a2)2.2.設(shè)a>b>0，求證：【證明】方法一：因為a>b>0，所以左邊-右邊=故原不等式成立.方法二：由a>b>0，知>0，所以【加固訓(xùn)練】1.(2015·吉林模擬)已知函數(shù)f(x)=2x，x1，x2是任意實(shí)數(shù)且x1≠x2，證明：【證明】因為x1≠x2，所以即>0，所以2.已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且a+b=2，求證：【證明】左邊-右邊=因為a+b=2，所以左邊-右邊=因為a，b都是正實(shí)數(shù)，所以ab≤=1.所以1-ab≥0，所以≥0.所以≥1成立.考點(diǎn)2

用綜合法證明不等式

【典例2】已知三個互不相等的正數(shù)a，b，c，滿足abc=1.試證明：【解題視點(diǎn)】本題可用abc=1代換，中的a，b，c，然后利用基本不等式證明或者利用基本不等式從右向左證明.【規(guī)范解答】方法一：因為a，b，c>0，且互不相等，abc=1，所以即方法二：因為所以以上三式相加，得又因為a，b，c互不相等，所以方法三：因為a，b，c是互不相等的正數(shù)，且abc=1，所以所以【互動探究】本例已知條件不變，判斷(a+2)(b+2)(c+2)與27的大小關(guān)系.【解析】由已知得(a+2)(b+2)(c+2)=(a+1+1)(b+1+1)·(c+1+1)>【規(guī)律方法】1.綜合法證明不等式的方法(1)綜合法證明不等式，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系.合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵.(2)在用綜合法證明不等式時，不等式的性質(zhì)和基本不等式是最常用的.在運(yùn)用這些性質(zhì)時，要注意性質(zhì)成立的前提條件.2.綜合法證明時常用的不等式(1)a2≥0.(2)|a|≥0.(3)a2+b2≥2ab，它的變形形式有a2+b2≥2|ab|；a2+b2≥-2ab；(a+b)2≥4ab；(4)它的變形形式有(5)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.【變式訓(xùn)練】已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，求證：【證明】①由已知得1=a+b+c≥所以abc≤②因為a+b+c=1，所以≥3+2+2+2=9，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時取等號，所以③因為a+b+c=1，所以a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1(*)又因為a2+b2+c2=[(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)]≥ab+bc+ca，所以(*)式變?yōu)?≥ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)，即ab+bc+ca≤.④因為故即≥a+b+c，所以≥1.⑤因為a>0，b>0，c>0，所以三式相加得2(a+b+c)≥兩邊同加a+b+c得3(a+b+c)≥又因為a+b+c=1，所以3≥所以【加固訓(xùn)練】(2015·蘭州模擬)若a，b，x，y均為正實(shí)數(shù)，并且x+y=1，求證：ab≤(ax+by)(ay+bx)≤【證明】(ax+by)(ay+bx)-ab=a2xy+b2xy+abx2+aby2-ab=xy(a2+b2)+ab(x2+y2-1)=xy(a2+b2)+ab[(x+y)2-2xy-1].因為x+y=1，所以(ax+by)(ay+bx)-ab=xy(a2+b2)-2abxy=xy(a-b)2≥0(x，y>0)，所以ab≤(ax+by)(ay+bx).又(ax+by)(ay+bx)≤所以ab≤(ax+by)(ay+bx)≤考點(diǎn)3

用分析法證明不等式

【典例3】(2015·十堰模擬)設(shè)a，b，c>0，且ab+bc+ca=1.求證：(1)a+b+c≥.(2)【解題視點(diǎn)】(1)不好直接用比較法和綜合法，可選擇用分析法證明.(2)先將不等式左邊通分變形后利用分析法證明，注意使用(1)中已證得的結(jié)論.【規(guī)范解答】(1)要證a+b+c≥，由于a，b，c>0，因此只需證明(a+b+c)2≥3.即證：a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3，而ab+bc+ca=1，故需證明：a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca).即證：a2+b2+c2≥ab+bc+ca.而這可以由ab+bc+ca≤=a2+b2+c2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立)證得.所以原不等式成立.(2)在(1)中已證a+b+c≥.因此要證原不等式成立，只需證明即證即證而所以≤ab+bc+ca(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時等號成立).所以原不等式成立.【規(guī)律方法】1.用分析法證“若A則B”這個命題的模式為了證明命題B為真，只需證明命題B1為真，從而有…只需證明命題B2為真，從而有………只需證明命題A為真，而已知A為真，故B必真.2.分析法的應(yīng)用當(dāng)所證明的不等式不能使用比較法，且和重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.3.綜合法與分析法的邏輯關(guān)系用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч保治龇ㄗC明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理、清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野.【變式訓(xùn)練