第一節(jié)微分方程的基本概念

第四章微分方程—積分問題

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微分方程問題

推廣

第一節(jié)微分方程的基本概念一、問題的提出二、微分方程的定義解一、引例例1

一曲線通過點(1,2),且在該曲線上任一點M(x,y)

處的切線的斜率為2x,求這曲線的方程.設所求曲線方程為

y=y(x),則有如下關系式:將

x=1,y=2代入上式，解得:C=1,故所求曲線方程為解例2

列車在平直的線路上以20米/秒的速度行駛,當制動時列車獲得加速度0.4米/秒2,問開始制動后多少時間列車才能停??？以及列車在這段時間內(nèi)行駛了多少路程？設列車在制動后

t

秒行駛了s=s(t)米,則有如下關系式:代入條件后知開始制動到列車完全停住共需列車在這段時間內(nèi)行駛了

1、微分方程定義例實質(zhì):聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)(或微分)之間的關系式.二、微分方程的基本概念注意:

在一個微分方程中,自變量,未知函數(shù)可以不出現(xiàn),但未知函數(shù)的導數(shù)(或微分)一定要出現(xiàn).凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程.（differentialequation）2、微分方程的階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階.例:指出下列各微分方程的階分類1常微分方程：偏微分方程分類2一階微分方程高階(

n階)微分方程未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程.代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解.

3、微分方程的解引例2引例1

4、微分方程的解的分類1)若微分方程的解中含有獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這解為微分方程的通解(generalsolution).2)

用一些條件確定通解中任意常數(shù)而得到的解稱為微分方程的特解(particularsolution).引例2引例1

通解特解特解的圖象:微分方程的積分曲線.通解的圖象:

積分曲線族.3)

用來確定微分方程通解中的任意常數(shù)的值的稱為定解條件.一階微分方程:二階微分方程:定解條件通常也稱為初值條件(initialcondition).引例2引例1

(或初始條件)過定點的積分曲線;一階:二階:過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.5、初值問題

(Cauchy問題)求微分方程滿足初始條件的解的問題.解所求特解為思考題(A)通解；(B)解，但不是通解；(C)特解；(D)解，但不一定是通解.(A)通解；(B)解，但不是通解；(C)特解；(D)解，但不一定是通解.4、已知曲線上點

P(x,y)處的法線與

x

軸交點為

Q

且線段

PQ被

y軸平分,求所滿足的微分方程.4、已知曲線上點

P(x,y)處的法線與

x

軸交點為

Q

且線段

PQ被

y軸平分,求所滿足的微分方程.解

如圖所示,令

Y=0,得

Q

點的橫坐標即點

P(x,y)處的法線方程為補充:微分方程的初等解法:初等積分法.求解微分方程求積分(通解