（精品講義）1-6三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用word版含答案2

18/1817/18/eq\a\vs4\al(三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用)預(yù)習(xí)課本P60～64，思考并完成以下問題(1)如何利用數(shù)據(jù)建立擬合三角函數(shù)模型？(2)解三角函數(shù)應(yīng)用題的解題步驟是什么？1．三角函數(shù)模型的作用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規(guī)律、預(yù)測未來等方面發(fā)揮重要作用．2．用函數(shù)模型解決實際問題的一般步驟收集數(shù)據(jù)→畫散點圖→選擇函數(shù)模型→求解函數(shù)模型→檢驗．1．電流I(A)隨時間t(s)變化的關(guān)系是I＝2sin100πt，t∈(0，＋∞)，則電流I變化的周期是()A．eq\f(1,100) B．100C．eq\f(1,50) D．50答案：C2．某人的血壓滿足函數(shù)式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)為血壓，t為時間，則此人每分鐘心跳的次數(shù)為()A．60B．70C．80D．90答案：C3．電流I(A)隨時間t(s)變化的關(guān)系式是I＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))，則當(dāng)t＝eq\f(1,200)時，電流I為________．答案：eq\f(5,2)三角函數(shù)在物理中的應(yīng)用[典例]已知彈簧上掛著的小球做上下振動時，小球離開平衡位置的位移s(cm)隨時間t(s)的變化規(guī)律為s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五點法”作出這個函數(shù)的簡圖，并回答下列問題：(1)小球在開始振動(t＝0)時的位移是多少？(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是多少？(3)經(jīng)過多長時間小球往復(fù)振動一次？[解]列表如下，t－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2t＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))010－10s040－40描點、連線，圖象如圖所示．(1)將t＝0代入s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)，所以小球開始振動時的位移是2eq\r(3)cm.(2)小球上升到最高點和下降到最低點時的位移分別是4cm和－4cm.(3)因為振動的周期是π，所以小球往復(fù)振動一次所用的時間是πs.處理物理學(xué)問題的策略(1)常涉及的物理學(xué)問題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點是具有周期性．(2)明確物理概念的意義，此類問題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對應(yīng)的三角函數(shù)知識結(jié)合解題．[活學(xué)活用]交流電的電壓E(單位：V)與時間t(單位：s)的關(guān)系可用E＝220eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))來表示，求：(1)開始時電壓；(2)電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時間間隔；(3)電壓的最大值和第一次獲得最大值的時間．解：(1)當(dāng)t＝0時，E＝110eq\r(3)(V)，即開始時的電壓為110eq\r(3)V.(2)T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50)(s)，即時間間隔為0.02s.(3)電壓的最大值為220eq\r(3)V，當(dāng)100πt＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即t＝eq\f(1,300)s時第一次取得最大值.三角函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用[典例]如圖，游樂場中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一圈需要12分鐘，其中心O距離地面40.5米，半徑40米．如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離將隨時間的變化而變化，以你登上摩天輪的時刻開始計時．請解答下列問題：(1)求出你與地面的距離y與時間t的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)你第四次距離地面60.5米時，用了多少時間？(3)當(dāng)你登上摩天輪2分鐘后，你的朋友也在摩天輪最低處登上摩天輪，問你的朋友登上摩天輪多少時間后，你和你的朋友與地面的距離之差最大，并求出最大值．[解](1)由已知可設(shè)y＝40.5－40cosωt(t≥0)，由已知周期為12分鐘，可知ω＝eq\f(2π,12)，即ω＝eq\f(π,6).所以y＝40.5－40coseq\f(π,6)t(t≥0)．(2)令y＝40.5－40coseq\f(π,6)t＝60.5，得coseq\f(π,6)t＝－eq\f(1,2)，所以eq\f(π,6)t＝eq\f(2,3)π或eq\f(π,6)t＝eq\f(4,3)π，解得t＝4或t＝8，故第四次距離地面60.5米時，用時為12＋8＝20(分鐘)．(3)與地面的距離之差最大，此時你必須在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再過2分鐘后，你恰在你的朋友的正上方，再過半個周期時，恰相反，故過(6k＋2)(k∈Z)分鐘后距離之差最大，最大值為40米．解三角函數(shù)應(yīng)用問題的基本步驟[活學(xué)活用]已知某海濱浴場海浪的高度y(米)是時間t(0≤t≤24，單位小時)的函數(shù)，記作：y＝f(t)，下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù)：t(時)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.510.50.991.5經(jīng)長期觀測，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acosωt＋b.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式；(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00時至晚上20：00時之間，有多少時間可供沖浪者進(jìn)行運動？解：(1)由表中數(shù)據(jù)，知周期T＝12.∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6).由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5， ①由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0， ②∴A＝0.5，b＝1，∴振幅為eq\f(1,2)，∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1.(2)由題知，當(dāng)y＞1時才可對沖浪者開放，∴eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1＞1，∴coseq\f(π,6)t＞0.∴2kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(π,6)t＜2kπ＋eq\f(π,2).即12k－3＜t＜12k＋3， ③∵0≤t≤24，故可令③中k分別為0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.∴在規(guī)定時間上午8：00至晚上20：00之間，有6個小時時間可供沖浪者運動：上午9：00至下午3：00.層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1.如圖是一向右傳播的繩波在某一時刻繩子各點的位置圖，經(jīng)過eq\f(1,2)周期后，乙的位置將移至()A．x軸上 B．最低點C．最高點 D．不確定解析：選C相鄰的最大值與最小值之間間隔半個周期，故乙移至最高點．2．在兩個彈簧上各掛一個質(zhì)量分別為M1和M2的小球，它們做上下自由振動．已知它們在時間t(s)時離開平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分別由下列兩式確定：s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,6)))，s2＝5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(π,3))).則在時間t＝eq\f(2π,3)時，s1與s2的大小關(guān)系是()A．s1＞s2 B．s1＜s2C．s1＝s2 D．不能確定解析：選C當(dāng)t＝eq\f(2π,3)時，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2.選C.3.如圖所示，一個單擺以O(shè)A為始邊，OB為終邊的角θ(－π＜θ＜π)與時間t(s)滿足函數(shù)關(guān)系式θ＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,2)))，則當(dāng)t＝0時，角θ的大小及單擺頻率是()A．eq\f(1,2)，eq\f(1,π) B．2，eq\f(1,π)C．eq\f(1,2)，π D．2，π解析：選A當(dāng)t＝0時，θ＝eq\f(1,2)sineq\f(π,2)＝eq\f(1,2)，由函數(shù)解析式易知單擺周期為eq\f(2π,2)＝π，故單擺頻率為eq\f(1,π)，故選A.4.(陜西高考)如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k.據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為()A．5 B．6C．8 D．10解析：選C根據(jù)圖象得函數(shù)的最小值為2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值為3＋k＝8.5．穩(wěn)定房價是我國今年實施宏觀調(diào)控的重點，國家最近出臺的一系列政策已對各地的房地產(chǎn)市場產(chǎn)生了影響，溫州市某房地產(chǎn)中介對本市一樓盤在今年的房價作了統(tǒng)計與預(yù)測：發(fā)現(xiàn)每個季度的平均單價y(每平方米的價格，單位：元)與第x季度之間近似滿足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω＞0)，已知第一、二季度平均單價如下表所示：x123y100009500？則此樓盤在第三季度的平均單價大約是()A．10000元 B．9500元C．9000元 D．8500元解析：選C因為y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω＞0)，所以當(dāng)x＝1時，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；當(dāng)x＝2時，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取eq\f(3π,2)，φ可取π，即y＝500sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)x＋π))＋9500.當(dāng)x＝3時，y＝9000.6．如圖所示的是某簡諧運動的圖象，則這個簡諧運動需要________s往復(fù)一次．解析：由圖象知周期T＝0.8－0＝0.8，則這個簡諧運動需要0.8s往復(fù)一次．答案：0.87.如圖，電流強(qiáng)度I(單位：安)隨時間t(單位：秒)變化的函數(shù)I＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt＋\f(π,6)))(A>0，ω≠0)的圖象，則當(dāng)t＝eq\f(1,50)秒時，電流強(qiáng)度是________安．解析：由圖象可知，A＝10，周期T＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,300)－\f(1,300)))＝eq\f(1,50)，所以ω＝eq\f(2π,T)＝100π，所以I＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6))).當(dāng)t＝eq\f(1,50)秒時，I＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,6)))＝5(安)．答案：58．某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)?x－6?))(x＝1,2,3，…，12)來表示．已知6月份的月平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份的平均氣溫為________℃.解析：依題意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋A＝28，,a－A＝18，))則a＝eq\f(28＋18,2)＝23，A＝eq\f(28－18,2)＝5，則y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)?x－6?))，當(dāng)x＝10時，y＝23＋5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＝20.5(℃)．答案：20.59.如圖所示，某地夏天從8～14時的用電量變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)求這一天的最大用電量和最小用電量．(2)寫出這段曲線的函數(shù)解析式．解：(1)最大用電量為50萬kW·h，最小用電量為30萬kW·h.(2)觀察圖象可知從8～14時的圖象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個周期的圖象，所以A＝eq\f(1,2)×(50－30)＝10，b＝eq\f(1,2)×(50＋30)＝40.因為eq\f(1,2)×eq\f(2π,ω)＝14－8，所以ω＝eq\f(π,6).所以y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋40.將x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝eq\f(π,6).所以所求解析式為y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))＋40，x∈[8,14]．10．某動物種群數(shù)量1月1日低至700,7月1日高至900，其總量在此兩值之間依正弦型曲線變化．(1)求出種群數(shù)量y關(guān)于時間t的函數(shù)解析式；(2)畫出種群數(shù)量y關(guān)于時間t變化的草圖．(其中t以年初以來經(jīng)過的月份數(shù)為計量單位)解：(1)設(shè)表示該曲線的函數(shù)為y＝Asin(ωt＋a)＋b(A＞0，ω＞0，|a|＜π)．由已知平均數(shù)為800，最高數(shù)與最低數(shù)差為200，數(shù)量變化周期為12個月，故振幅A＝eq\f(200,2)＝100，ω＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，b＝800.又∵7月1日種群數(shù)量達(dá)到最高，∴eq\f(π,6)×6＋a＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．又∵|a|＜π，∴a＝－eq\f(π,2).故種群數(shù)量y關(guān)于時間t的函數(shù)解析式為y＝800＋100sineq\f(π,6)(t－3)．(2)種群數(shù)量關(guān)于時間變化的草圖如圖．層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.如圖所示的是一個半徑為3米的水輪，水輪的圓心O距離水面2米，已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點P到水面的距離y(米)與時間t(秒)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝Asin(ωt＋φ)＋2，則()A．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3 B．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝5解析：選B由題意知A＝3，ω＝eq\f(2π×4,60)＝eq\f(2,15)π.2．商場人流量被定義為每分鐘通過入口的人數(shù)，五一節(jié)某商場的人流量滿足函數(shù)F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，則在下列哪個時間段內(nèi)人流量是增加的？()A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20]解析：選C由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，知函數(shù)F(t)的增區(qū)間為[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.當(dāng)k＝1時，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]．3．動點A(x，y)在圓x2＋y2＝1上繞坐標(biāo)原點沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，12秒旋轉(zhuǎn)一周，已知時間t＝0時，點A的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，則當(dāng)0≤t≤12時，動點A的縱坐標(biāo)y關(guān)于t(單位：秒)的函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．[0,1] B．[1,7]C．[7,12] D．[0,1]，[7,12]解析：選D∵T＝12，∴eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，從而可設(shè)y關(guān)于t的函數(shù)為y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ)).又t＝0時，y＝eq\f(\r(3),2)，即sinφ＝eq\f(\r(3),2)，不妨取φ＝eq\f(π,3)，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,3))).∴當(dāng)2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(π,6)t＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即12k－5≤t≤12k＋1(k∈Z)時，該函數(shù)遞增，∵0≤t≤12，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0,1]，[7,12]．4．有一沖擊波，其波形為函數(shù)y＝－sineq\f(πx,2)的圖象，若其在區(qū)間[0，t]上至少有2個波峰，則正整數(shù)t的最小值是()A．5 B．6C．7 D．8解析：選C由y＝－sineq\f(πx,2)的圖象知，要使在區(qū)間[0，t]上至少有2個波峰，必須使區(qū)間[0，t]的長度不小于2T－eq\f(T,4)＝eq\f(7T,4)，即t≥eq\f(7,4)·eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(7,4)·eq\f(2π,\f(π,2))＝7，故選C.5．下圖表示相對于平均海平面的某海灣的水面高度h(m)在某天0～24時的變化情況，則水面高度h關(guān)于時間t的函數(shù)解析式為____________________．解析：根據(jù)題圖設(shè)h＝A·sin(ωt＋φ)，則A＝6，T＝12，eq\f(2π,ω)＝12，∴ω＝eq\f(π,6)，點(6,0)為“五點”作圖法中的第一點，∴eq\f(π,6)×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h＝6·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－π))＝－6·sineq\f(π,6)t，t∈[0,24]．答案：h＝－6sineq\f(π,6)t，t∈[0,24]6．一物體相對于某一固定位置的位移y(cm)和時間t(s)之間的一組對應(yīng)值如下表所示，則可近似地描述該物體的位置y和時間t之間的關(guān)系的一個三角函數(shù)式為________.t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0解析：設(shè)y＝Asin(ωt＋φ)，則從表中可以得到A＝4，T＝0.8，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,0.8)＝eq\f(5π,2).又由4sinφ＝－4.0，可得sinφ＝－1，取φ＝－eq\f(π,2)，故y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t－\f(π,2)))，即y＝－4coseq\f(5π,2)t.答案：y＝－4coseq\f(5π,2)t7．在一個港口，相鄰兩次高潮發(fā)生時間相距12h，低潮時水的深度為8.4m，高潮時為16m，一次高潮發(fā)生在10月10日4：00.每天漲潮落潮時，水的深度d(m)與時間t(h)近似滿足關(guān)系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.(1)若從10月10日0：00開始計算時間，選用一個三角函數(shù)來近似描述該港口的水深d(m)和時間t(h)之間的函數(shù)關(guān)系；(2)10月10日17：00該港口水深約為多少？(精確到0.1m)(3)10月10日這一天該港口共有多少時間水深低于10.3m?解：(1)依題意知T＝eq\f(2π,ω)＝12，故ω＝eq\f(π,6)，h＝eq\f(8.4＋16,2)＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋12.2.又因為t＝4時，d＝16，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,6)＋φ))＝1，所以φ＝－eq\f(π,6)，所以d＝3.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋12.2.(2)t＝17時，d＝3.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17π,6)－\f(π,6)))＋12.2＝3.8sineq\f(2π,3)＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋12.2＜10.3，有sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＜－eq\f(1,2)，因此2kπ＋eq\f(7π,6)＜eq\f(π,6)t－eq\f(π,6)＜2kπ＋eq\f(11π,6)(k∈Z)，所以2kπ＋eq\f(4π,3)＜eq\f(π,6)t＜2kπ＋2π，k∈Z，所以12k＋8＜t＜12k＋12.令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)．故這一天共有8h水深低于10.3m.8.如圖為一個觀光纜車示意圖，該觀光纜車半徑為4.8m，圓上最低點與地面距離為0.8m,60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB，設(shè)點B與地面距離為h.(1)求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式；(2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒到達(dá)OB，求h與t間關(guān)系的函數(shù)解析式．解：(1)由題意可作圖如圖．過點O作地面平行線ON，過點B作ON的垂線BM交ON于點M.當(dāng)θ＞eq\f(π,2)時，∠BOM＝θ－eq\f(π,2).h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))；當(dāng)0≤θ≤eq\f(π,2)時，上述解析式也適合．則h與θ間的函數(shù)解析式為h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))).(2)點在⊙O上逆時針運動的角速度是eq\f(2π,60)＝eq\f(π,30)，∴t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為eq\f(π,30)t，∴h＝4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＋5.6，t∈[0，＋∞)．(時間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．y＝sineq\f(x,2)是()A．周期為4π的奇函數(shù) B．周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)C．周期為π的偶函數(shù) D．周期為2π的偶函數(shù)解析：選Ay＝sineq\f(x,2)為奇函數(shù)，T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π，故選A.2．1弧度的圓心角所對的弧長為6，則這個圓心角所夾的扇形的面積是()A．3 B．6C．18 D．36解析：選C∵l＝αr，∴6＝1×r.∴r＝6.∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×6×6＝18.3．若－eq\f(π,2)＜α＜0，則點P(tanα，cosα)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選B∵－eq\f(π,2)＜α＜0，∴tanα<0，cosα＞0，∴點P(tanα，cosα)位于第二象限．4．已知角θ的終邊過點(4，－3)，則cos(π－θ)＝()A．eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：選B∵角θ的終邊過(4，－3)，∴cosθ＝eq\f(4,5).∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－eq\f(4,5).5．函數(shù)y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致圖象是()解析：選B取x＝0，則y＝1，排除C、D；取x＝eq\f(π,2)，則y＝0，排除A，選B.6．已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則sin2α－sinαcosα的值是()A．eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5)C．－2 D．2解析：選A由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，得12cosα＝6sinα，即tanα＝2，所以sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2,5).7．函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))且x≠0))的值域為()A．[－1,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)解析：選B∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))且x≠0，∴eq\f(π,2)－x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))且eq\f(π,2)－x≠eq\f(π,2)，即eq\f(π,2)－x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，當(dāng)eq\f(π,2)－x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))時，y≥1；當(dāng)eq\f(π,2)－x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))時，y≤－1，∴函數(shù)的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．8．將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖象向左平移eq\f(π,3)個單位，得到的圖象對應(yīng)的解析式為()A．y＝sineq\f(1,2)x B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,2)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))解析：選C將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，即將x變?yōu)閑q\f(1,2)x，即可得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，然后將其圖象向左平移eq\f(π,3)個單位，即將x變?yōu)閤＋eq\f(π,3).∴y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6))).9.已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)的周期為T，在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，則正確的結(jié)論是()A．A＝3，T＝2π B．B＝－1，ω＝2C．T＝4π，φ＝－eq\f(π,6) D．A＝3，φ＝eq\f(π,6)解析：選C由題圖可知T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋\f(2π,3)))＝4π，A＝eq\f(1,2)(2＋4)＝3，B＝－1.∵T＝4π，∴ω＝eq\f(1,2).令eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)＋φ＝eq\f(π,2)，得φ＝－eq\f(π,6).10．設(shè)函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,3)對稱B．f(x)的圖象關(guān)于點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))對稱C．把f(x)的圖象向左平移eq\f(π,12)個單位，得到一個偶函數(shù)的圖象D．f(x)的最小正周期為π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上為增函數(shù)解析：選C當(dāng)x＝eq\f(π,3)時，2x＋eq\f(π,3)＝π，f(x)＝sinπ＝0，不合題意，A不正確；當(dāng)x＝eq\f(π,4)時，2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(5π,6)，f(x)＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，B不正確；把f(x)的圖象向左平移eq\f(π,12)個單位，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x，是偶函數(shù)，C正確；當(dāng)x＝eq\f(π,12)時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝sineq\f(π,2)＝1，當(dāng)x＝eq\f(π,6)時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)＜1，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上f(x)不是增函數(shù)，D不正確．11．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7π,12)，\f(5π,12)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7π,12)，－\f(π,12)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，\f(17π,12)))解析：選D由圖象可得eq\f(1,4)T＝eq\f(2,3)π－eq\f(5,12)π，∴T＝π，則ω＝2.又圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)π，2))，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(5,12)π＋φ))＝2，∴φ＝－eq\f(π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，其單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5,12)π))(k∈Z)，取k＝1，即得選項D.12．中國最高的摩天輪是“南昌之星”，它的最高點離地面160米，直徑為156米，并以每30分鐘一周的速度勻速旋轉(zhuǎn)，若從最低點開始計時，則摩天輪運行5分鐘后離地面的高度為()A．41米 B．43米C．78米 D．118米解析：選B摩天輪轉(zhuǎn)軸離地面高160－eq\f(156,2)＝82(米)，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,15)，摩天輪上某個點P離地面的高度h(米)與時間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系是h＝82－78coseq\f(π,15)t，當(dāng)摩天輪運行5分鐘時，其離地面高度為h＝82－78coseq\f(π,15)t＝82－78×eq\f(1,2)＝43(米)．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)13．已知sin(π－α)＝－eq\f(2,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，則tan(2π－α)＝________.解析：sin(π－α)＝sinα＝－eq\f(2,3)，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),3)，tan(2π－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(2\r(5),5).答案：eq\f(2\r(5),5)14．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最大值為3，最小正周期是eq\f(2π,7)，初相是eq\f(π,6)，則這個函數(shù)的解析式為________________．解析：由題意，知A＝3，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,\f(2π,7))＝7，φ＝eq\f(π,6)，∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(π,6))).答案：y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(π,6)))15．已知函數(shù)y＝tanωx(ω＞0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝1和y＝2所得的線段長分別為m，n，則m，n的大小關(guān)系是________．解析：∵兩條直線所截得的線段長都為y＝tanωx(ω＞0)的最小正周期，∴m＝n＝eq\f(π,ω).答案：m＝n16．將函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))(ω＞0)的圖象向左平移eq\f(π,3ω)個單位得到函數(shù)y＝g(x)的圖象．若y＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上為增函數(shù)，則ω的最大值為______．解析：根據(jù)題意得g(x)＝2sinωx，又y＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上為增函數(shù)，∴eq\f(T,4)≥eq\f(π,4)，即ω≤2，所以ω的最大值為2.答案：2三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝eq\f(1,2)，求eq\f(cos?3π＋θ?,cosθ[cos?π＋θ?－1])＋eq\f(cos?θ－4π?,cos?θ＋2π?cos?3π＋θ?＋cos?－θ?)的值．解：因為coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝－sinθ，所以sinθ＝－eq\f(1,2).原式＝eq\f(－cosθ,cosθ?－cosθ－1?)＋eq\f(cosθ,cosθ?－cosθ?＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝8.18．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝eq\f(π,8).(1)求φ；(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．解：(1)∵x＝eq\f(π,8)是函數(shù)y＝f(x)的圖象的對稱軸，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)＋φ))＝±1.∴eq\f(π,4)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∵－π＜φ＜0，∴φ＝－eq\f(3π,4).(2)由(1)知φ＝－eq\f(3π,4)，因此y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4))).由題意得2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(3π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∴kπ＋eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)，k∈Z.∴函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))，k∈Z.19．(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的部分圖象如圖所示．(1)寫出f(x)的最小正周期及圖中x0，y0的值．(2)求f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,12)))上的最大值和最小值．解：(1)f(x)的最小正周期為π，x0＝eq\f(7π,6)，y0＝3.(2)因為x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,12)))，所以2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，0))，于是當(dāng)2x＋eq\f(π,6)＝0，即x＝－eq\f(π,12)時，f(x)取得最大值0；當(dāng)2x＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,2)，即x＝－eq\f(π,3)時，f(x)取得最小值－3.20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))＋1(其中0＜ω＜1)，若點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，1))是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心．(1)試求ω的值．(2)先列表，再作出函數(shù)f(x)在區(qū)間x∈[－π，π]上的圖象．解：(1)因為點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，1))是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心，所以－eq\f(ωπ,3)＋eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，所以ω＝－3k＋eq\f(1,2)，k∈Z.因為0＜ω＜1，所以k＝0，ω＝eq\f(1,2).(2)由(1)知f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋1，x∈[－π，π]．列表如下，x＋eq\f(π